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Álgebra Tomo II — Capítulo 1

Por Eduardo Espinoza Ramos · 10 capítulos · 1,330 ejercicios resueltos

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Capítulo 1

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Ecuaciones con incógnitas en el exponente y logaritmos

13.1 · Ecuación exponencial.

Definición

 • Llamaremos ecuación exponencial, a la ecuación que contiene una incógnita o incógnitas como exponente.
Ejemplos de ecuaciones Exponenciales.-
Diagrama del libro

13.2 · Técnicas de convertibilidad.

Las ecuaciones exponenciales se transforman en ecuaciones algebraicas aplicando ciertas técnicas que describiremos enseguida.

 • Se debe expresar a la ecuación exponencial, de tal manera que las potencias tengan bases iguales, luego se igualan los exponentes de las potencias y se resuelve la ecuación obtenida, es decir:
ax=ay⟺x=y;a>0∧a≠1a^x=a^y \Longleftrightarrow x=y; a>0 \wedge a \neq 1
Ejemplo.- La solución de la ecuación 16x−2=4x+116^{x-2}=4^{x+1} es:
a) 5
b) 3
c) 4
d) 6
e) 7
DESARROLLO:
Como 16=4216=4^2, entonces a la ecuación dada expresaremos como 42(x−2)=4x+14^{2(x-2)}=4^{x+1}, donde las bases son iguales, entonces se igualan los exponentes: 2(x−2)=x+12(x-2)=x+1, luego 2x−4=x+12x-4=x+1 entonces x=5x=5, la respuesta es (a) Ejemplo.- Hallar “x” de tal manera que: 2x+1−2x−1+2x+2−2x−2=3362^{x+1}-2^{x-1}+2^{x+2}-2^{x-2}=336.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 5
DESARROLLO:
Sacando factor común 2x−22^{x-2} del 1er miembro de la ecuación. 2x−2[23−2+24−1]=336=24.212^{x-2}[2^3-2+2^4-1]=336=2^4.21, simplificando 2x−2.21=24.212^{x-2}.21=2^4.21 entonces 2x−2=242^{x-2}=2^4, de donde x−2=4x-2=4 entonces x=6x=6 la respuesta es (c)

 • Para los casos donde existan términos de la forma kxk^x, se hace un cambio de variable de la forma kx=yk^x=y, mediante el cual se tiene una ecuación algebraica respecto a y.
Ejemplo.- La solución de 2x+4x=722^x+4^x=72 es:
a) 1
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
DESARROLLO:
Como 4x=22x4^x=2^{2x} entonces reemplazamos en la ecuación dada 2x+22x=722^x+2^{2x}=72 lo que es lo mismo (2x)2+2x=72(2^x)^2+2^x=72 si y=2x⇒y2+y−72=0⇒(y+9)(y−8)=0y=2^x \Rightarrow y^2+y-72 =0 \Rightarrow (y+9)(y-8)=0, de donde y+9=0∨y−8=0⇒y=−9;y=8y+9=0 \vee y-8=0 \Rightarrow y=-9; y=8 si y=2x=−9y=2^x=-9 absurdo, ∄x∈R\nexists x \in R tal que 2x=−92^x=-9 si y=2x=8=23y=2^x=8=2^3 entonces x=3x=3, la respuesta es (b)

 • Se presentan casos en que la ecuación tiene exponentes iguales, es decir:
ax=bx⇒a=b,a>0∧b>0;x≠0a^x=b^x \Rightarrow a=b, a>0 \wedge b>0; x \neq 0
Ejemplo.- La solución de la ecuación (7n)x=(24+3n)x(7n)^x=(24+3n)^x es:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 1
DESARROLLO:
Como los exponentes de la ecuación (7n)x=(24+3n)x(7n)^x=(24+3n)^x son iguales, entonces igualamos las bases, es decir: 7n=24+3n7n=24+3n de donde 4n=244n=24 entonces n=6n=6. Luego la respuesta es ( (c))

 • Una de las propiedades de mayor utilidad es la siguiente:
(xxn)n=(xn)xn(x^{x^n})^n=(x^n)^{x^n}
que resulta de aplicar la propiedad (an)m=anm(a^n)^m=a^{nm}
Ejemplo.- La solución de la ecuación xx4=64x^{x^4}=64 es:
a) 1
b) 84\sqrt[4]{8}
c) 34\sqrt[4]{3}
d) 4
e) 54\sqrt[4]{5}
DESARROLLO:
Para aplicar la propiedad 4to, elevamos a la 4ta potencia. (xx4)4=644(x^{x^4})^4=64^4 de donde (x4)x4=(82)4=88(x^4)^{x^4}=(8^2)^4=8^8, entonces x4=8x^4=8, entonces x=84x=\sqrt[4]{8}, la respuesta es (b)

 • Si xxxxx=aaaaax^{x^{x^{x^x}}}=a^{a^{a^{a^{a}}}}, entonces x=ax=a, ∀x≠0\forall x \neq 0 En esta propiedad se aplica la “analogía matemática” Si xxxx..xn=nx^{x^{x^{x^{.^{.^{x^n}}}}}}=n, entonces x=nnx=\sqrt[n]{n}
Ejemplo.- La solución de la ecuación xxxx4=4x^{x^{x^{x^4}}}=4 es:
a) 2\sqrt{2}
b) 24\sqrt[4]{2}
c) 44\sqrt[4]{4}
d) 44\sqrt[4]{4}
e) 3\sqrt{3}
DESARROLLO:
Aplicando la propiedad 5ta se tiene: xxxx4=4x^{x^{x^{x^4}}}=4, entonces x=44=2x=\sqrt[4]{4}=\sqrt{2} Luego la respuesta es (a)

 • Equivalencias usuales
1) 12=22=(12)\ rac12=(14)\ rac14\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=(\dfrac{1}{2})^{\ rac{1}{2}}=(\dfrac{1}{4})^{\ rac{1}{4}}
2) x−a−b−c−1=(1x)(\ rac1a)(\ rac1b)(\ rac1c)x^{-a^{-b^{-c^{-1}}}}=(\dfrac{1}{x})^{(\ rac{1}{a})^{(\ rac{1}{b})^{(\ rac{1}{c})}}}
3) 2−2=(14)(\ rac14)(\ rac14)2^{-\sqrt{2}}=(\dfrac{1}{4})^{(\ rac{1}{4})^{(\ rac{1}{4})}}
4) (13)(\ rac13)=(133)(\ rac133)(\dfrac{1}{\sqrt{3}})^{(\ rac{1}{\sqrt{3}})}=(\dfrac{1}{3\sqrt{3}})^{(\ rac{1}{3\sqrt{3}})}
Ejemplo.- La solución de la ecuación (x33x)332=x99(x^{3^{3^x}})^{3^{3^2}}=x^{9^9} es:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
DESARROLLO:
Aplicando la propiedad: (an)m=anm(a^n)^m=a^{nm} (x33x)332=x33x.332=x33x+32=x33x+9=x99(x^{3^{3^x}})^{3^{3^2}}=x^{3^{3^x}.3^{3^2}}=x^{3^{3^x+3^2}}=x^{3^{3x+9}}=x^{9^9} (bases iguales) 33x+9=99⇒33x+9=3183^{3^x+9}=9^9 \Rightarrow 3^{3^x+9}=3^{18} de donde 3x+9=183^x+9=18 3x=9=323^x=9=3^2 de donde x=2x=2, la respuesta es (a) Ejemplo.- Si 16(x+1)2−x=1,x>0\sqrt[(x+1)^2]{16}-x=1, x>0, el valor de “x” es:
a) 12\dfrac{1}{2}
b) 1
c) 2
d) 13\dfrac{1}{3}
e) 3
DESARROLLO:
La expresión dada escribiremos en la forma: 16(x+1)2=x+1\sqrt[(x+1)^2]{16}=x+1 de donde 16=(x+1)(x+1)216=(x+1)^{(x+1)^2}, como 16=22216=2^{2^2}
Diagrama del libro
de donde x+1=2x+1=2 entonces x=1x=1 por lo tanto la respuesta es (b)

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