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Análisis Matemático I — Capítulo 1

Por Eduardo Espinoza Ramos · 14 capítulos · 1,850 ejercicios resueltos

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Capítulo 1

Sistema de Números Reales

Axiomas, desigualdades, valor absoluto e intervalos

1.1 · Introducción

El sistema de los números reales que hoy conocemos es el resultado de 5 000 años de reflexión humana: desde las primeras tablillas babilónicas hasta la fundamentación lógica del siglo XIX. Esta sección recorre los hitos esenciales antes de pasar a la axiomatización formal en §1.2.

Los inicios: Egipto y Babilonia

Desde el comienzo de nuestra civilización ya se conocían los números enteros positivos: 1, 2, 3, …1,\,2,\,3,\,\ldots Los egipcios manejaban enteros tan grandes como 100 000 hacia el año 300 a. C., aunque su aritmética se limitaba a la adición y la multiplicación — la división no se desarrolló por completo. Estos pueblos también utilizaban fracciones para repartos, así que los números racionales aparecieron muy temprano en nuestra civilización. Recordemos que un *número racional* es el cociente de dos enteros: Q={p/q : p,q∈Z, q≠0}\mathbb{Q} = \{p/q\,:\,p,q\in\mathbb{Z},\,q\neq 0\}. Los babilonios tuvieron más éxito que los egipcios en el desarrollo de la aritmética y el álgebra. Su notación posicional con base 60 era análoga a nuestro sistema decimal pero con 60 dígitos. Una buena notación es prerrequisito para el desarrollo de las matemáticas — aún hoy conservamos el legado sexagesimal (60 minutos en una hora, 360° en un círculo).

La crisis de los irracionales (siglo V a. C.)

La armonía pitagórica se rompió cuando descubrieron que la diagonal de un cuadrado de lado 1 mide 2\sqrt{2}, un número que no puede expresarse como cociente de enteros. Cuenta la leyenda que Hipaso de Metaponto fue exiliado (o ahogado) por revelar este descubrimiento herético. Los griegos no resolvieron filosóficamente el problema: para ellos, los irracionales eran "cantidades inconmensurables" — útiles geométricamente pero sospechosas aritméticamente. Esta tensión persistió dos milenios.

El sistema decimal hindú-arábigo

Nuestro sistema decimal moderno (con el cero como número independiente, no solo como marcador posicional) fue creado por los hindúes y formalizado por Brahmagupta en el siglo VII. Llegó a Europa Occidental en el siglo XII mediante traducciones árabes de matemática hindú. Fibonacci popularizó estos numerales en el *Liber Abaci* (1202), pero su aceptación generalizada en Europa tomó casi 500 años: los comerciantes los adoptaron antes que los académicos. La transición desde los engorrosos numerales romanos fue lenta.

La aceptación tardía de los negativos

Más tarde aún llegó la aceptación de los números negativos: hasta finales del siglo XVI las raíces negativas de ecuaciones se descartaban como "ficticias" o "absurdas". Cardano (en *Ars Magna*, 1545) y Bombelli los usaron operacionalmente pero con escepticismo. Descartes (1637) y Newton (1707) los normalizaron al fin. Curiosamente, Brahmagupta ya manejaba negativos con reglas correctas mil años antes — pero Europa redescubrió el concepto desde cero.

La fundamentación lógica del siglo XIX

A diferencia de la geometría, que los griegos desarrollaron como modelo de sistema lógico desde Euclides (300 a. C.), los números irracionales como 3\sqrt{3}, π\pi o 73\sqrt[3]{7} no tenían una fundamentación lógica rigurosa. Esto cambió en la última parte del siglo XIX: • 1872 — Richard Dedekind define un número real como una *cortadura* de Q\mathbb{Q} (una partición en dos clases). Por primera vez se construye R\mathbb{R} desde fundamentos lógicos, sin apelar a intuiciones geométricas. • 1872 — Georg Cantor da una construcción alternativa basada en *sucesiones de Cauchy*. • 1889 — Giuseppe Peano publica los 5 axiomas modernos para N\mathbb{N}. Combinadas, estas construcciones completan el programa de fundamentar la cadena N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} a partir de axiomas.

Hoy: el método axiomático

Actualmente disponemos de un sistema de axiomas que describe completamente R\mathbb{R}. Partiendo de estos axiomas podemos deducir todas las propiedades de los números reales. Este es el mismo método que usó Euclides para la geometría: aceptar un conjunto pequeño de proposiciones (axiomas, postulados o hipótesis) y demostrar todo lo demás como teorema. La ventaja de la presentación axiomática es la economía intelectual: en lugar de memorizar cientos de propiedades sueltas, se demuestran a partir de un puñado de axiomas fundamentales.
Cita destacada
> *"Dios creó los enteros; todo lo demás es obra del hombre."* > — Leopold Kronecker (1823–1891) Kronecker desconfiaba profundamente de las construcciones de Dedekind y Cantor: para él, los irracionales eran ficciones lógicas. La historia le dio la razón parcialmente — la consistencia de R\mathbb{R} depende de aceptar conjuntos infinitos.
¿Qué viene a continuación?
En §1.2 axiomatizamos formalmente lo que la historia tardó milenios en consolidar: R\mathbb{R} como cuerpo ordenado completo con dos operaciones (+, ·), una relación de orden (<) y el axioma del supremo (la propiedad que distingue R\mathbb{R} de Q\mathbb{Q}).

1.2 · Definición

Llamaremos sistema de los números reales a un conjunto R\mathbb{R}, provisto de dos operaciones —adición (+)(+) y multiplicación (⋅)(\cdot) (leyes de composición interna)— una relación de orden denotada por "<<" y el axioma del supremo, es decir:

1º LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:

+ :  R imesR⟶R+\,:\;\mathbb{R}\ imes\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}
(a, b)⟼a+b(a,\,b)\longmapsto a+b
Además deben cumplirse los axiomas siguientes:
A0A_0 · Cerradura
\ orall a,b∈R⇒a+b∈R\ orall\, a, b \in \mathbb{R} \Rightarrow a+b \in \mathbb{R}
A1A_1 · Conmutatividad
a+b=b+a, \ orall a,b∈Ra+b = b+a,\ \ orall\, a,b \in \mathbb{R}
A2A_2 · Asociatividad
(a+b)+c=a+(b+c), \ orall a,b,c∈R(a+b)+c = a+(b+c),\ \ orall\, a,b,c \in \mathbb{R}
A3A_3 · Identidad aditiva
\ orall a∈R, ∃ 0∈R / a+0=0+a=a\ orall\, a \in \mathbb{R},\ \exists\, 0 \in \mathbb{R}\ /\ a+0 = 0+a = a
A4A_4 · Opuesto aditivo
∀ a∈R, ∃ −a∈R\forall\, a \in \mathbb{R},\ \exists\, -a \in \mathbb{R}, y es único, tal que a+(−a)=(−a)+a=0a+(-a) = (-a)+a = 0

2º LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:

⋅ :  R imesR⟶R\cdot\,:\;\mathbb{R}\ imes\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}
(a, b)⟼a⋅b(a,\,b)\longmapsto a\cdot b
Además deben cumplirse los axiomas siguientes:
M0M_0 · Cerradura
\ orall a,b∈R⇒a⋅b∈R\ orall\, a, b \in \mathbb{R} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{R}
M1M_1 · Conmutatividad
a⋅b=b⋅a, \ orall a,b∈Ra \cdot b = b \cdot a,\ \ orall\, a,b \in \mathbb{R}
M2M_2 · Asociatividad
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c), \ orall a,b,c∈R(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c),\ \ orall\, a,b,c \in \mathbb{R}
M3M_3 · Identidad multiplicativa
∀ a∈R, ∃ 1∈R\forall\, a \in \mathbb{R},\ \exists\, 1 \in \mathbb{R}, 1≠01 \neq 0, tal que 1⋅a=a1 \cdot a = a
M4M_4 · Inverso multiplicativo
∀ a≠0, ∃ a−1∈R\forall\, a \neq 0,\ \exists\, a^{-1} \in \mathbb{R}, tal que a⋅a−1=a−1⋅a=1a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1

3º RELACIÓN DE ORDEN:

O1O_1 · Ley de tricotomía
\ orall a,b∈R\ orall\, a, b \in \mathbb{R}, una y solamente una de las relaciones se cumple: a<ba<b, a=ba=b, b<ab<a
O2O_2 · Transitividad
Si a<ba<b y b<cb<c, entonces a<ca<c
O3O_3 · Compatibilidad con la adición
Si a<ba < b, entonces a+c<b+ca+c<b+c (\ orall a,b,c∈R\ orall\, a,b,c \in \mathbb{R})
O4O_4 · Compatibilidad con la multiplicación
Si a<ba<b y c>0c>0, entonces a⋅c<b⋅ca \cdot c < b \cdot c
• A los números aa y bb los llamaremos sumandos, y al número a+ba+b, suma de aa y bb. • En a⋅ba\cdot b, a los números aa y bb los llamaremos factores y al número a⋅ba\cdot b, producto de aa y bb. • El opuesto es único; análogamente, el inverso es único.

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