Inicio›Cap. 1: Integral indefinida
Capítulo 1
Integral indefinida
1.1.Introducción
El problema básico de la derivación es: dado el recorrido de un punto móvil, calcular su velocidad; o también, dada una curva, calcular su pendiente.
El problema básico de la integración es el caso inverso de la derivación: dada la velocidad de un punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria; o también, dada la pendiente de una curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva.
En el estudio del cálculo diferencial se ha tratado esencialmente la pregunta: dada una función, hallar su derivada. Muchas aplicaciones importantes del cálculo guardan relación con el problema inverso, es decir:
Dada la derivada de una función, hallar tal función. Por ejemplo: $f'(x) = 4$, $g'(x) = 5x^{4}$. Ahora el problema es hallar $f(x)$ y $g(x)$; con un poco de astucia se ve que
Esta operación —recuperar la función original a partir de su derivada— es la inversa de la derivación. El resultado de esta operación, cuando existe, se llama función primitiva o antiderivada.
Antes de las definiciones formales, fijemos las hipótesis técnicas que se asumen, salvo aviso en contrario, en todo el capítulo:
- $I \subseteq \mathbb{R}$ es un intervalo (acotado o no, abierto o cerrado).
- $f : I \to \mathbb{R}$ es continua sobre $I$ — esto garantiza la existencia de antiderivadas (Teorema Fundamental del Cálculo, Cap. 2).
- $F : I \to \mathbb{R}$ es diferenciable sobre $I$ cuando se afirma $F'(x) = f(x)$.
- La notación $\langle a, b\rangle$ designa el intervalo abierto, equivalente a $(a,b)$. Es la convención del original.
1.2.La antiderivada de una función
1.3.La antiderivada general
El significado geométrico de la antiderivada $F(x)$ de $f(x)$ es que cualquier otra antiderivada de $f(x)$ es una curva paralela al gráfico de $y = F(x)$.
El proceso del cálculo de antiderivadas o primitivas se suele denominar integración y se denota por el símbolo $\displaystyle\int$, llamado signo de integración. El símbolo $\displaystyle\int f(x)\,dx$ se llama integral indefinida de $f(x)$.
1.4.La integral indefinida
1.4.1.Teorema de la función constante
Sea $F$ una función diferenciable en un intervalo abierto $\langle a, b\rangle$. Entonces
donde $c$ es una constante.
Ver demostración
La implicación $F'(x) = 0 \Rightarrow F$ constante no es trivial: se demuestra usando el Teorema del Valor Medio del cálculo diferencial.
Sean $x_1 < x_2$ dos puntos cualesquiera de $\langle a, b\rangle$. Por el TVM aplicado a $F$ en $[x_1, x_2]$, existe $\xi \in (x_1, x_2)$ tal que
$$F(x_2) - F(x_1) = F'(\xi)\,(x_2 - x_1).$$
Como $F'(\xi) = 0$ por hipótesis, se sigue que $F(x_1) = F(x_2)$. Siendo $x_1, x_2$ arbitrarios, $F$ toma el mismo valor en todo el intervalo, luego es constante.
La implicación recíproca es inmediata: $(c)' = 0$.
La hipótesis «intervalo» es esencial: en un dominio disconexo, $F$ puede tomar valores constantes distintos en cada componente.
1.4.2.Teorema de la diferencia constante
Sean $F$ y $f$ dos funciones diferenciables en un intervalo abierto $\langle a, b\rangle$. Entonces
$$F'(x) = f'(x) \;\text{ en }\; \langle a, b\rangle \quad\Longleftrightarrow\quad F(x) = f(x) + c,$$
donde $c$ es una constante.
Ver demostración
(⇒) Por hipótesis $F'(x) = f'(x)$ en $\langle a, b\rangle$, de donde
$$\bigl(F(x) - f(x)\bigr)' = 0.$$
Por el Teorema 1.1 (función constante), existe $c \in \mathbb{R}$ tal que $F(x) - f(x) = c$, es decir, $F(x) = f(x) + c$.
(⇐) Si $F(x) = f(x) + c$ en $\langle a, b\rangle$, derivando respecto a $x$:
$$F'(x) = f'(x) + 0 = f'(x),$$
pues la derivada de la constante $c$ es cero. $\;\blacksquare$
·Propiedades de la integral indefinida
De la definición de integral indefinida se deducen las siguientes propiedades.
El original enumera cuatro propiedades, pero dos de ellas son simplemente reescrituras de las otras dos con la notación de diferenciales. Por honestidad pedagógica las agrupamos: hay dos hechos esenciales (integrar y derivar se cancelan mutuamente) y una herramienta operativa (linealidad).
-
Derivar deshace integrar. La derivada de una integral indefinida reproduce el integrando:
$$\dfrac{d}{dx}\!\int f(x)\,dx \;=\; f(x), \qquad\text{equivalentemente,}\qquad d\!\left(\int f(x)\,dx\right) = f(x)\,dx.$$La primera forma usa el operador $d/dx$; la segunda, la diferencial $d(\cdot)$. Son equivalentes — multiplicar por $dx$ a la primera da la segunda.
-
Integrar deshace derivar. La integral indefinida de una derivada recupera la función, módulo constante:
$$\int f'(x)\,dx \;=\; f(x) + c, \qquad\text{equivalentemente,}\qquad \int d\bigl(f(x)\bigr) \;=\; f(x) + c.$$Esto convierte la integración en operación inversa de la diferenciación.
-
Linealidad. Si $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, entonces
$$\int \bigl(\alpha\, f(x) + \beta\, g(x)\bigr)\,dx \;=\; \alpha\!\int f(x)\,dx \;+\; \beta\!\int g(x)\,dx.$$Es la propiedad más usada en la práctica: reduce una integral complicada al cálculo de sus términos por separado. Aplicación inmediata:
$$\int \bigl(2x^{3} + 5\cos x\bigr)\,dx \;=\; 2\!\int x^{3}\,dx + 5\!\int \cos x\,dx \;=\; \dfrac{x^{4}}{2} + 5\sen x + c.$$Sobre $+c$Las dos integrales aportan sendas constantes $c_1, c_2$; siendo arbitrarias, $\alpha c_1 + \beta c_2$ es también una constante arbitraria que absorbemos en un único «$+c$» al combinar.
Olvidar el «$+\,c$» convierte cualquier integral indefinida en una respuesta parcialmente correcta: se pierde una infinidad de soluciones válidas. Tres reglas prácticas:
- El «$+\,c$» se escribe siempre al final de una integral indefinida, incluso cuando $c = 0$ resulta razonable.
- $\int f(x)\,dx$ no denota una función concreta sino la familia de todas las antiderivadas de $f$.
- El «$+\,c$» desaparece en la integral definida (Cap. 2) cuando se evalúan los extremos: hasta entonces, escríbelo.
1.5.Fórmulas básicas de integración
Las técnicas de integración descansan sobre un núcleo de fórmulas básicas que conviene tener internalizadas. Cada una corresponde a invertir una derivada que ya conocés; si dudás de alguna, derivá el lado derecho — debe darte el integrando.
Para que el estudio sea ameno y gradual, agrupamos las fórmulas en cuatro tablas de complejidad creciente. En esta sección presentamos la primera; las otras tres aparecen en §1.5.2, §1.5.3 y §1.5.4.
1.5.1.Primeras fórmulas básicas
Técnica · Retrieval practice (Roediger)Verificá tus prerrequisitos. Sin volver atrás:
Sean $f, g$ funciones derivables y $k, c \in \mathbb{R}$ constantes:
Sea ahora $u = f(x)$ diferenciable en $x$ — las fórmulas se extienden:
La linealidad (fórmula 5) permite separar sumas y restas. No permite separar productos:
✅ $\int (f + g)\,dx \;=\; \int f\,dx + \int g\,dx$
❌ $\int (f \cdot g)\,dx \;\neq\; \int f\,dx \cdot \int g\,dx$
Para productos hay técnicas específicas: integración por partes (§1.6.5), sustitución (§1.5.5), o reconocer el producto como derivada de algo conocido (ver Ejemplo 3 abajo).
Ejemplo 1 · Calcular $\displaystyle\int x(a - b x^{2})\,dx$
Aplicación directa de linealidad + fórmula (4)Distribuir. El producto $x(a - bx^{2})$ se vuelve una suma de potencias:
$$x(a - bx^{2}) = ax - bx^{3}.$$
¿Por qué este paso?
Aplicar linealidad (fórmulas 2 y 5):
$$\int (ax - bx^{3})\,dx = a\!\int x\,dx - b\!\int x^{3}\,dx.$$
¿Por qué este paso?
Aplicar la fórmula (4) a cada integral:
$$a\!\int x\,dx = a\cdot\dfrac{x^{2}}{2}, \qquad b\!\int x^{3}\,dx = b\cdot\dfrac{x^{4}}{4}.$$
Combinar y agregar la constante:
$$\int x(a - bx^{2})\,dx = \dfrac{ax^{2}}{2} - \dfrac{bx^{4}}{4} + c.$$
Ejemplo 2 · $\displaystyle\int (x - \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 1)\,dx$
Probá vos · click para revelar cada blancoMultiplicar los dos factores y simplificar:
¿Por qué se simplifica tanto?
Integrar usando la fórmula (4) en cada término:
Ejemplo 3 · $\displaystyle\int \dfrac{g(x)\,f'(x) - g'(x)\,f(x)}{g^{2}(x)}\,dx$
Reconocer una diferencial completaRecordar la diferencial del cociente:
$$d\!\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) = \dfrac{g(x)\,f'(x) - f(x)\,g'(x)}{g^{2}(x)}\,dx.$$
Reconocer que el integrando es exactamente $d(f/g)$. Por la fórmula (3),
$$\int d\!\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) = \dfrac{f(x)}{g(x)} + c.$$
¿Por qué este paso lo evita todo?
Estrategia · ¿Qué fórmula uso?
Heurísticas para los patrones más frecuentes| Si en el integrando ves… | Probá… |
|---|---|
| Una constante sola, sin variable | Fórmula (1) · $\displaystyle\int k\,dx = kx + c$ |
| $x^{n}$ con $n \neq -1$ | Fórmula (4) · $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | Fórmula (7) · $\ln|x| + c$ (caso $n=-1$) |
| $e^{x}$ o $a^{x}$ | Fórmulas (8) o (9) |
| $\dfrac{1}{x^{2} + a^{2}}$ | Fórmula (10) · $\dfrac{1}{a}\arctg\dfrac{x}{a}$ |
| Suma o diferencia de funciones | Linealidad (5) — separar y resolver cada una |
| Producto de polinomios | Distribuí primero, luego linealidad |
| Una derivada multiplicada por otra cosa | Posible sustitución (§1.5.5) |
| Algo que «huele» a $d(f \cdot g)$ o $d(f/g)$ | Mirá si reconocés la diferencial completa |
exp(3*x) para $e^{3x}$. La «$+c$» es opcional.1.5.2.Segundas fórmulas básicas — raíces de expresiones cuadráticas
Estas fórmulas cubren los casos en que el integrando contiene una raíz cuadrada de una expresión cuadrática. Junto con la sustitución (§1.5.5) y el método del trinomio cuadrado (§1.5.6), reducen una enorme cantidad de integrales a uno de estos cinco patrones.
Sea $u = f(x)$ una función diferenciable en $x$ y $a > 0$:
Discriminador · ¿$a^{2} - u^{2}$, $u^{2} + a^{2}$ o $u^{2} - a^{2}$?
Mirá el signo y el orden| Forma bajo la raíz | Resultado típico |
|---|---|
| $a^{2} - u^{2}$ (constante menos variable²) | arcoseno — fórmulas (1) y (4) |
| $u^{2} + a^{2}$ (variable² más constante²) | logaritmo — fórmula (2) |
| $u^{2} - a^{2}$ (variable² menos constante) | logaritmo — fórmulas (3) y (5) |
Truco: «con $a^{2} - u^{2}$, da arcoseno (función trigonométrica)». «Con $u^{2} \pm a^{2}$ da logaritmo (función hiperbólica disfrazada)».
Ejemplo · $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}$
Aplicar la fórmula requiere completar cuadrados primeroCompletar el cuadrado en $5 + 4x - x^{2}$. Factorizamos el signo negativo:
$$5 + 4x - x^{2} = -(x^{2} - 4x - 5) = -(x^{2} - 4x + 4) + 4 + 5 = 9 - (x - 2)^{2}.$$
¿Por qué este paso?
Identificar $u$, $du$ y $a$:
$$u = x - 2, \quad du = dx, \quad a = 3.$$
Aplicar la fórmula (1):
$$\int \dfrac{dx}{\sqrt{9 - (x-2)^{2}}} = \int \dfrac{du}{\sqrt{a^{2} - u^{2}}} = \arcsen\!\left(\dfrac{x-2}{3}\right) + c.$$
1.5.3.Terceras fórmulas básicas — trigonométricas
Diez fórmulas que cubren las integrales de las seis funciones trigonométricas básicas y sus combinaciones más frecuentes. Las primeras cuatro son las recíprocas de las derivadas trigonométricas; las restantes vienen del cálculo de derivadas de productos.
Sea $u = f(x)$ una función diferenciable en $x$:
Las seis funciones básicas
Cuadrados y productos (vienen de derivadas)
Tres errores típicos en estas fórmulas:
- Signo del coseno: $\int \sen u\,du = -\cos u$ (negativo), pero $\int \cos u\,du = \sen u$ (positivo). Memotécnica: «derivar coseno introduce un menos; integrar seno también».
- $\sen u^{2}$ vs $\sen^{2} u$: son cosas distintas. $\sen^{2} u = (\sen u)^{2}$; $\sen u^{2} = \sen(u^{2})$. Las fórmulas son para $\sen u$ con $u$ cualquier expresión — no para $\sen^{2}$.
- El signo de tangente: $\int \tg u\,du = -\ln|\cos u|$ (no $\ln|\sec u|$ — son lo mismo módulo signo).
Ejemplo · $\displaystyle\int \sen(x^{2} - 4x + 5)\,(x - 2)\,dx$
Reconocer la sustitución $u = $ argumento del senoSustituir $u = x^{2} - 4x + 5$:
$$du = (2x - 4)\,dx = 2(x - 2)\,dx \;\Longrightarrow\; (x - 2)\,dx = \dfrac{du}{2}.$$
Reescribir:
$$\int \sen(x^{2} - 4x + 5)\,(x - 2)\,dx = \int \sen u \cdot \dfrac{du}{2} = \dfrac{1}{2}\!\int \sen u\,du.$$
Aplicar la fórmula (1):
$$\dfrac{1}{2}\!\int \sen u\,du = -\dfrac{\cos u}{2} + c = -\dfrac{\cos(x^{2} - 4x + 5)}{2} + c.$$
1.5.4.Cuartas fórmulas básicas — hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas se definen por $\senh u = \tfrac{e^{u} - e^{-u}}{2}$ y $\cosh u = \tfrac{e^{u} + e^{-u}}{2}$. Sus integrales son casi idénticas a las trigonométricas, con la diferencia clave de algunos signos.
Sea $u = f(x)$ una función diferenciable en $x$:
Comparación · Trigonométricas vs hiperbólicas
Lee la tabla en pares — facilita la memorización| Trigonométrica | Hiperbólica |
|---|---|
| $\int \sen u\,du = \mathbf{-}\cos u + c$ | $\int \senh u\,du = \mathbf{+}\cosh u + c$ |
| $\int \cos u\,du = +\sen u + c$ | $\int \cosh u\,du = +\senh u + c$ |
| $\int \tg u\,du = \mathbf{-}\ln|\cos u| + c$ | $\int \tgh u\,du = \mathbf{+}\ln|\cosh u| + c$ |
| $\int \sec^{2} u\,du = +\tg u + c$ | $\int \operatorname{sech}^{2} u\,du = +\tgh u + c$ |
| $\int \sec u\cdot\tg u\,du = \mathbf{+}\sec u + c$ | $\int \operatorname{sech} u\cdot\tgh u\,du = \mathbf{-}\operatorname{sech} u + c$ |
Patrón: donde la trigonométrica tiene un signo menos por el cambio en derivada de coseno ($\frac{d}{du}\cos u = -\sen u$), la hiperbólica tiene signo más ($\frac{d}{du}\cosh u = +\senh u$). Los signos «se ablandan» al pasar al mundo hiperbólico — excepto en (7) y (8) donde se invierten.
Ejemplo · Calcular $\displaystyle\int \operatorname{sech} x\,dx$
Reducir a exponenciales + sustituciónExpresar en exponenciales: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x} = \dfrac{2}{e^{x} + e^{-x}}$.
Multiplicando arriba y abajo por $e^{x}$:
$$\operatorname{sech} x = \dfrac{2e^{x}}{e^{2x} + 1}.$$
Sustituir $u = e^{x}$, con lo cual $du = e^{x}\,dx$:
$$\int \operatorname{sech} x\,dx = \int \dfrac{2\,du}{u^{2} + 1} = 2\arctg u + c.$$
¿Por qué este paso?
Volver a $x$:
$$\int \operatorname{sech} x\,dx = 2\arctg(e^{x}) + c.$$
1.5.5.Integración por sustitución o cambio de variable
Cuando una integral no calza directamente con ninguna fórmula básica, la técnica más usada del cálculo integral consiste en cambiar la variable de integración para reescribirla como una integral conocida. Es, literalmente, deshacer la regla de la cadena.
Técnica · Misconception explícitaLa sustitución no es «cambiar $x$ por $u$ en el integrando y listo». Si el factor $g'(x)\,dx$ no aparece (ni siquiera multiplicado por una constante), la sustitución no es directa:
✅ $\int 2x\,\cos(x^{2})\,dx$ ← el $2x$ está → sustitución $u=x^{2}$
❌ $\int \cos(x^{2})\,dx$ ← falta $2x$ → no tiene primitiva elemental
Si tu primer impulso es sustituir y el $du$ no aparece, retrocedé: la sustitución no aplica acá.
Ejemplo 1 · $\displaystyle\int 2x\,\cos(x^{2})\,dx$
Sustitución directa · todos los pasos visiblesIdentificar la función interior. En $\cos(x^{2})$, la función «de adentro» es $x^{2}$:
$$u = x^{2}.$$
¿Por qué este paso?
Calcular $du$:
$$\dfrac{du}{dx} = 2x \;\Longrightarrow\; du = 2x\,dx.$$
Reescribir el integrando $2x\cos(x^{2})\,dx$ como $\cos(u)\,du$:
$$\int 2x\cos(x^{2})\,dx = \int \cos(u)\,du.$$
Integrar con fórmula básica:
$$\int \cos(u)\,du = \sen(u) + c.$$
Volver a $x$ reemplazando $u = x^{2}$:
$$\int 2x\cos(x^{2})\,dx = \sen(x^{2}) + c.$$
¿Por qué este paso final?
Ejemplo 2 · $\displaystyle\int (2x+1)(x^{2}+x)^{5}\,dx$
Completá los blancos · click para revelarEl factor $(2x+1)$ se parece a la derivada de algo conocido. Proponé:
Calculá $du$:
Reescribí en $u$:
Integrá (fórmula 6 de §1.5.1):
Volvé a $x$:
Esta integral admite dos sustituciones distintas que dan resultados aparentemente diferentes pero equivalentes:
Sustitución 1: $u = \sen x$, $du = \cos x\,dx$:
$$\int \sen x\cos x\,dx = \int u\,du = \dfrac{u^{2}}{2} + c_{1} = \dfrac{\sen^{2} x}{2} + c_{1}.$$
Sustitución 2: $u = \cos x$, $du = -\sen x\,dx$:
$$\int \sen x\cos x\,dx = -\!\int u\,du = -\dfrac{u^{2}}{2} + c_{2} = -\dfrac{\cos^{2} x}{2} + c_{2}.$$
¿Por qué ambas son correctas? Difieren en una constante. Usando $\sen^{2} x + \cos^{2} x = 1$:
$$\dfrac{\sen^{2} x}{2} = \dfrac{1 - \cos^{2} x}{2} = -\dfrac{\cos^{2} x}{2} + \dfrac{1}{2}.$$
La diferencia $1/2$ se absorbe en la constante. Esta es la razón profunda del «$+c$»: las primitivas son una familia, no una función única.
¿Cuándo aplicar sustitución? · 5 disparadores
Memorizá estos patrones — son el 80% de los casos| Si en el integrando ves… | Probá $u = \;$… |
|---|---|
| Una función compuesta $f(g(x))$ multiplicada por $g'(x)$ | g(x) |
| $\sqrt[n]{ax+b}$ | ax+b (linealiza la raíz) |
| $e^{g(x)} \cdot g'(x)$ | g(x) (convierte en $\int e^{u}\,du$) |
| $\dfrac{g'(x)}{g(x)}$ | g(x) (da $\int du/u = \ln|u|+c$) |
| Funciones de $\sqrt{a^{2} \pm x^{2}}$ | Sustitución trigonométrica (§1.6.8) |
Heurística: si elegiste $u$ y el $du$ no aparece, sustitución directa no aplica. Buscá otra técnica (partes, fracciones simples, etc.).
exp(x^2) para $e^{x^{2}}$. El «$+c$» es opcional.1.5.6.Integrales con trinomio cuadrado
Una amplia familia de integrales tiene un trinomio cuadrado $ax^{2} + bx + c$ en el denominador, o bajo una raíz. La técnica estándar es completar el cuadrado para reducirlas a las fórmulas de §1.5.1 (10–12) o §1.5.2.
Se reconocen cuatro formas canónicas:
Estrategia · ¿Qué hago según la forma?
Dos pasos según el numerador| Forma | Técnica |
|---|---|
| (1) y (2) — numerador constante | Completar cuadrado: $ax^{2}+bx+c = a\bigl[(x+\tfrac{b}{2a})^{2} + \tfrac{4ac-b^{2}}{4a^{2}}\bigr]$. Aplicar §1.5.1 (10/11/12) o §1.5.2 (1/2/3). |
| (3) y (4) — numerador lineal | Partir el numerador: escribir $\alpha x + \beta = \frac{\alpha}{2a}\cdot(2ax+b) + \bigl(\beta - \frac{\alpha b}{2a}\bigr)$. La primera integral es del tipo $\int du/u$ o $\int du/\sqrt{u}$; la segunda cae en (1) o (2). |
Ejemplo 1 · $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^{2} - 6x + 13}$
Numerador constante · completar cuadradoCompletar cuadrado en $x^{2} - 6x + 13$:
$$x^{2} - 6x + 13 = (x^{2} - 6x + 9) + 4 = (x-3)^{2} + 4.$$
¿Por qué este paso?
Sustituir $u = x - 3$, $du = dx$, $a = 2$:
$$\int \dfrac{dx}{(x-3)^{2} + 4} = \int \dfrac{du}{u^{2} + 2^{2}}.$$
Aplicar la fórmula (10) de §1.5.1:
$$\int \dfrac{du}{u^{2} + 2^{2}} = \dfrac{1}{2}\arctg\dfrac{u}{2} + c = \dfrac{1}{2}\arctg\dfrac{x-3}{2} + c.$$
Ejemplo 2 · $\displaystyle\int \dfrac{(2x + 3)\,dx}{x^{2} + 4x + 5}$
Numerador lineal · partir + completar cuadradoIdentificar la derivada del denominador. Si $D(x) = x^{2} + 4x + 5$, entonces $D'(x) = 2x + 4$.
Reescribimos el numerador en términos de $D'(x)$:
$$2x + 3 = (2x + 4) - 1 = D'(x) - 1.$$
Partir la integral en dos:
$$\int \dfrac{(2x+3)\,dx}{x^{2}+4x+5} = \int \dfrac{(2x+4)\,dx}{x^{2}+4x+5} - \int \dfrac{dx}{x^{2}+4x+5}.$$
Primera integral: numerador = derivada del denominador → da logaritmo (fórmula 7 de §1.5.1):
$$\int \dfrac{(2x+4)\,dx}{x^{2}+4x+5} = \ln|x^{2}+4x+5| + c_{1}.$$
Segunda integral: completar cuadrado:
$$x^{2} + 4x + 5 = (x+2)^{2} + 1.$$
$$\int \dfrac{dx}{(x+2)^{2} + 1} = \arctg(x+2) + c_{2}.$$
Combinar:
$$\int \dfrac{(2x+3)\,dx}{x^{2}+4x+5} = \ln|x^{2}+4x+5| - \arctg(x+2) + c.$$
1.5.7.Ejercicios propuestos de las fórmulas básicas (muestra de 12 sobre 250)
El original lista 250 ejercicios para practicar las fórmulas y técnicas de §1.5.1 a §1.5.6. Acá presentamos una muestra de 12 cubriendo el espectro de técnicas; el resto se incorpora en próximos batches como banco completo navegable por dificultad y técnica.
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1.5.8.Ecuaciones diferenciales muy sencillas
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una función incógnita y sus derivadas. El caso más simple es
donde la variable dependiente $y$ no aparece en el lado derecho. La solución es directa: integrar ambos lados.
Técnica · Worked example generalEjemplo 1 · Solución general de $\dfrac{dy}{dx} = 2x$
Sin condición inicial · queda una constante libreIntegrar ambos lados respecto a $x$:
$$y(x) = \int 2x\,dx + c = x^{2} + c.$$
Ejemplo 2 · Resolver $\dfrac{dy}{dx} = 3x^{2}$, $y(1) = 5$
La condición inicial determina $c$Solución general: integrar.
$$y(x) = \int 3x^{2}\,dx + c = x^{3} + c.$$
Aplicar la condición inicial $y(1) = 5$:
$$5 = (1)^{3} + c \;\Longrightarrow\; c = 4.$$
Solución particular:
$$y(x) = x^{3} + 4.$$
1.5.9.Movimiento rectilíneo
Las antiderivadas tienen una aplicación natural en física: si una partícula se mueve a lo largo de una recta (el eje $X$), su movimiento queda descrito por la función de posición $x(t)$.
Las funciones cinemáticas se relacionan por derivación:
- Velocidad: $\;v(t) = \dfrac{dx}{dt} = x'(t).$
- Aceleración: $\;a(t) = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}.$
El problema inverso es típico: conocemos la aceleración $a(t)$ y las condiciones iniciales $x(0) = x_{0}$, $v(0) = v_{0}$; queremos determinar $x(t)$. Se resuelve en dos pasos integrando dos veces:
Resuelta esta EDO para $v(t)$, planteamos:
que da $x(t)$.
1.5.10.Aceleración constante
El caso $a(t) = a$ constante es la base de la cinemática elemental. Las dos integraciones dan las dos ecuaciones clásicas del movimiento bajo aceleración constante (a veces llamado «MRUV» en la tradición hispanoamericana).
Derivación · Del $a$ constante a las fórmulas de Galileo
Dos integraciones sucesivasPrimera integración: de $\dfrac{dv}{dt} = a$,
$$v(t) = \int a\,dt + c_{1} = at + c_{1}.$$
Aplicando $v(0) = v_{0}$: $\;c_{1} = v_{0}$.
Segunda integración: como $x'(t) = v(t)$,
$$x(t) = \int (at + v_{0})\,dt + c_{2} = \dfrac{at^{2}}{2} + v_{0}t + c_{2}.$$
Aplicando $x(0) = x_{0}$: $\;c_{2} = x_{0}$.
Cuando un problema dice «el auto frena con desaceleración de $5$ m/s²», eso significa que la aceleración opone el movimiento. Si el auto avanza en el sentido positivo del eje, el modelo es
✅ $a = -5$ m/s² (signo negativo, magnitud $5$)
❌ $a = +5$ m/s² (aceleración en el mismo sentido que el movimiento — eso aumentaría la velocidad)
La palabra «desaceleración» indica oposición al movimiento, no un signo absoluto. Si la partícula se mueve en $-x$, una desaceleración correspondería a $a > 0$.
1.5.11.Movimiento vertical con aceleración gravitacional constante
Para un objeto en caída libre o lanzado verticalmente cerca de la superficie terrestre, la aceleración es la gravedad:
El signo negativo se debe a la convención: tomamos el eje $y$ positivo hacia arriba, y la gravedad apunta hacia abajo.
Especializando las fórmulas de §1.5.10 con $a = -g$:
Ejemplo · Tiro vertical
Desde el suelo se dispara una piedra a $20$ m/s. ¿Cuánto tarda en regresar?Datos: $y_{0} = 0$, $v_{0} = 20\,\text{m/s}$, $g = 9{,}8\,\text{m/s}^{2}$.
La función de altura:
$$y(t) = -\dfrac{9{,}8\,t^{2}}{2} + 20\,t = -4{,}9\,t^{2} + 20\,t.$$
Vuelve al suelo cuando $y(t) = 0$ (con $t > 0$):
$$0 = t\,(-4{,}9\,t + 20) \;\Longrightarrow\; t = 0 \;\;\text{o}\;\; t = \dfrac{20}{4{,}9} \approx 4{,}08\,\text{s}.$$
Verificación con la velocidad: $v(t) = -9{,}8\,t + 20 = 0$ da $t \approx 2{,}04\,$s (altura máxima). El tiempo total es el doble, confirmando $\approx 4{,}08\,$s. ✓
1.5.12.Ejercicios desarrollados
Selección de problemas con solución completa que cierran el bloque básico. La mayoría son ecuaciones diferenciales que extienden §1.5.8 al caso separable: $\,f(x)\,dx + g(y)\,dy = 0$, integrable directamente sumando antiderivadas en cada variable.
Técnica · EDO con condición inicialEjemplo 1 · Resolver $\dfrac{dy}{dx} = (x-2)^{3}$, $y(2) = 1$
Integración directa + ajuste de constanteSolución general:
$$y(x) = \int (x-2)^{3}\,dx + k = \dfrac{(x-2)^{4}}{4} + k.$$
Aplicar $y(2) = 1$:
$$1 = \dfrac{(2-2)^{4}}{4} + k = 0 + k \;\Longrightarrow\; k = 1.$$
Ejemplo 2 · Resolver $\;x\sqrt{1 + y^{2}} + y\sqrt{1 + x^{2}}\,\dfrac{dy}{dx} = 0$
Separar variables · integrar cada ladoReescribir con diferenciales:
$$x\sqrt{1 + y^{2}}\,dx + y\sqrt{1 + x^{2}}\,dy = 0.$$
Separar variables dividiendo por $\sqrt{1+x^{2}}\sqrt{1+y^{2}}$:
$$\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \dfrac{y\,dy}{\sqrt{1 + y^{2}}} = 0.$$
¿Por qué este paso?
Integrar cada lado (cada uno es $\int u\,du/\sqrt{1+u^{2}}$ con sustitución):
$$\int \dfrac{x\,dx}{\sqrt{1+x^{2}}} + \int \dfrac{y\,dy}{\sqrt{1+y^{2}}} = k.$$
$$\sqrt{1 + x^{2}} + \sqrt{1 + y^{2}} = k.$$
Ejemplo 3 · Resolver $\;(4x + xy^{2})\,dx + (y + x^{2}y)\,dy = 0$
Factorizar para descubrir la separabilidadFactorizar cada coeficiente:
$$x(4 + y^{2})\,dx + y(1 + x^{2})\,dy = 0.$$
Separar dividiendo por $(1 + x^{2})(4 + y^{2})$:
$$\dfrac{x\,dx}{1 + x^{2}} + \dfrac{y\,dy}{4 + y^{2}} = 0.$$
Integrar (cada lado es $\frac{1}{2}\ln(\text{denom})$):
$$\dfrac{1}{2}\ln(1 + x^{2}) + \dfrac{1}{2}\ln(4 + y^{2}) = \ln k.$$
Simplificar (combinar logaritmos):
$$\ln\sqrt{(1 + x^{2})(4 + y^{2})} = \ln k \;\Longrightarrow\; (1 + x^{2})(4 + y^{2}) = c.$$
Ejemplo 4 · Una piedra cae desde una altura. Análisis completo.
Tirada hacia arriba a 20 pies/s · cuándo cae y a qué velocidadDatos y planteo: $a = -32$ pies/s², $v(0) = 20$ pies/s, $x(0) = 0$.
De $\dfrac{dv}{dt} = -32$ con $v(0) = 20$:
$$v(t) = -32t + 20.$$
Integrar $v$ para obtener $x$, con $x(0) = 0$:
$$x(t) = \int (-32t + 20)\,dt + k = -16t^{2} + 20t + k.$$
$k = 0$ por la condición inicial. Luego $x(t) = -16t^{2} + 20t$.
Tiempo total de vuelo: cuando $x(t) = 0$ con $t > 0$:
$$-16t^{2} + 20t = 0 \;\Longrightarrow\; t = \dfrac{20}{16} = \dfrac{5}{4}\,\text{s}.$$
Velocidad al impacto:
$$v\!\left(\dfrac{5}{4}\right) = -32 \cdot \dfrac{5}{4} + 20 = -40 + 20 = -20\,\text{pies/s}.$$
El signo negativo indica que va hacia abajo. La magnitud, $20$ pies/s, coincide con la velocidad inicial — manifestación de la simetría temporal del tiro libre descubierta por Galileo: el tiempo de subida (hasta velocidad cero, $t = 5/8$ s) iguala al tiempo de bajada ($5/8$ s). Bajo aceleración constante y mismo nivel de partida y llegada, la velocidad al regresar tiene la misma magnitud que la inicial.
1.5.13.Ejercicios y problemas propuestos (cierre del bloque básico)
Banco de problemas que combinan todas las técnicas vistas en §1.5: integración directa, sustitución, trinomio cuadrado, EDOs separables y aplicaciones a movimiento.
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1.6.Métodos de integración
Con las cuatro tablas básicas y la sustitución de §1.5 cubrimos un universo grande de integrales. Pero hay muchas que no calzan directamente: $\int x e^{x}\,dx$, $\int \frac{dx}{x^{2} - 1}$, $\int \sqrt{1 - x^{2}}\,dx$, entre otras. Para ellas necesitamos métodos avanzados:
- Funciones trigonométricas (§1.6.1–§1.6.4): $\int \sen^{n}x\,dx$, $\int \sen^{m}x \cos^{n}x\,dx$, etc.
- Integración por partes (§1.6.5–§1.6.7): para productos como $x\,e^{x}$, $x \sen x$.
- Sustitución trigonométrica (§1.6.8–§1.6.9): para $\sqrt{a^{2} \pm x^{2}}$ y $\sqrt{x^{2} - a^{2}}$.
- Funciones racionales (§1.6.10–§1.6.13): fracciones parciales, método de Hermite-Ostrogradski.
- Racionales de seno y coseno (§1.6.14–§1.6.15) y funciones irracionales (§1.6.16).
- Fórmulas de reducción (§1.6.17–§1.6.20): casos donde se reduce el problema a una integral del mismo tipo pero más simple.
1.6.1.Integración de las funciones trigonométricas
Cubrimos las integrales de la forma
La estrategia depende de la paridad de los exponentes $m, n$. Tres identidades trigonométricas son el motor:
Y dos identidades del ángulo doble para los casos pares:
Estas integrales descansan sobre identidades trigonométricas. Verificá que las tenés a mano:
Caso A · Potencias puras de seno o coseno
Técnica · Tarjeta de patrones¿$n$ par o impar?
La paridad decide la técnica| Caso | Técnica |
|---|---|
| $n$ par (ej: $\int \sen^{2} x\,dx$, $\int \cos^{4} x\,dx$) | Identidad de ángulo doble: $\sen^{2} x = \frac{1-\cos 2x}{2}$, $\cos^{2} x = \frac{1+\cos 2x}{2}$. Reduce el grado a la mitad; iterar si hace falta. |
| $n$ impar (ej: $\int \sen^{3} x\,dx$, $\int \cos^{5} x\,dx$) | Factorizar un seno (o coseno): $\sen^{n} x = \sen^{n-1} x \cdot \sen x$, con $n-1$ par. Usar $\sen^{2} = 1 - \cos^{2}$ y sustituir $u = \cos x$. |
Ejemplo 1 · $\displaystyle\int \sen^{2}(3x)\,dx$
Exponente par · identidad de ángulo dobleSustituir $\sen^{2}(3x) = \dfrac{1 - \cos 6x}{2}$:
$$\int \sen^{2}(3x)\,dx = \int \dfrac{1 - \cos 6x}{2}\,dx = \dfrac{1}{2}\!\int dx - \dfrac{1}{2}\!\int \cos 6x\,dx.$$
Integrar cada término (linealidad + sustitución $u = 6x$ en el segundo):
$$= \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sen 6x}{6} + c = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sen 6x}{12} + c.$$
Ejemplo 2 · $\displaystyle\int \sen^{3} x\,dx$
Exponente impar · factorizar + PitágorasFactorizar un seno y aplicar Pitágoras al resto:
$$\sen^{3} x = \sen^{2} x \cdot \sen x = (1 - \cos^{2} x)\,\sen x.$$
Sustituir $u = \cos x$, $du = -\sen x\,dx$:
$$\int \sen^{3} x\,dx = \int (1 - \cos^{2} x)\,\sen x\,dx = -\!\int (1 - u^{2})\,du.$$
¿Por qué la sustitución funciona?
Integrar en $u$ y volver:
$$-\!\int (1 - u^{2})\,du = -u + \dfrac{u^{3}}{3} + c = -\cos x + \dfrac{\cos^{3} x}{3} + c.$$
Caso B · Potencias de tangente o cotangente
Técnica · Tarjeta de patronesEstrategia para $\tg^{n} x$ y $\ctg^{n} x$
También depende de la paridad de $n$| Caso | Técnica |
|---|---|
| $n$ par | Separar $\tg^{n} x = \tg^{n-2} x \cdot \tg^{2} x$ y usar $\tg^{2} x = \sec^{2} x - 1$. Aplicar fórmula (7) de §1.5.3. |
| $n$ impar | Separar $\tg^{n} x = \tg^{n-1} x \cdot \tg x$ con $n-1$ par; usar $\tg^{2} x = \sec^{2} x - 1$ y la fórmula (3) de §1.5.3 (logaritmo). |
Ejemplo 3 · $\displaystyle\int \tg^{3} x\,dx$
Exponente impar · Pitágoras secanteReescribir usando $\tg^{2} x = \sec^{2} x - 1$:
$$\tg^{3} x = \tg x \cdot \tg^{2} x = \tg x\,(\sec^{2} x - 1) = \tg x \sec^{2} x - \tg x.$$
Integrar cada término:
$$\int \tg x \sec^{2} x\,dx - \int \tg x\,dx.$$
Para el primero, $u = \tg x$, $du = \sec^{2} x\,dx$: da $\dfrac{\tg^{2} x}{2}$. El segundo es $-\ln|\cos x|$ por §1.5.3 (3).
Combinar:
$$\int \tg^{3} x\,dx = \dfrac{\tg^{2} x}{2} + \ln|\cos x| + c.$$
Caso C · Productos $\sen^{m}x \cdot \cos^{n}x$
Técnica · Tarjeta de patrones¿Cuál exponente es impar?
El factor «extra» se va al $du$| Paridad | Estrategia |
|---|---|
| $m$ impar, $n$ cualquiera | Factorizar $\sen x$: $\sen^{m} x = (1 - \cos^{2} x)^{(m-1)/2} \sen x$. Sustituir $u = \cos x$. |
| $n$ impar, $m$ cualquiera | Factorizar $\cos x$ análogamente. Sustituir $u = \sen x$. |
| Ambos pares | Aplicar identidades de ángulo doble (varias veces si hace falta). |
Ejemplo 4 · $\displaystyle\int \cos^{3} x \cdot \sen^{4} x\,dx$
$n = 3$ impar (el del coseno) · factorizar $\cos x$Factorizar un coseno y aplicar Pitágoras:
$$\cos^{3} x \cdot \sen^{4} x = \cos^{2} x \cdot \sen^{4} x \cdot \cos x = (1 - \sen^{2} x)\,\sen^{4} x \cdot \cos x.$$
Sustituir $u = \sen x$, $du = \cos x\,dx$:
$$\int (1 - u^{2})\,u^{4}\,du = \int (u^{4} - u^{6})\,du.$$
Integrar y volver a $x$:
$$\dfrac{u^{5}}{5} - \dfrac{u^{7}}{7} + c = \dfrac{\sen^{5} x}{5} - \dfrac{\sen^{7} x}{7} + c.$$
Tres expresiones muy distintas que se confunden:
$\sen^{2} x = (\sen x)^{2}$ (cuadrado del seno · admite identidad ½(1−cos2x))
$\sen(x^{2})$ (seno de $x^{2}$ · no se simplifica · no tiene primitiva elemental)
$\sen 2x$ (seno del ángulo doble · igual a $2\sen x \cos x$)
Las técnicas de esta sección aplican solo a la primera. La segunda requiere métodos numéricos (no tiene primitiva elemental); la tercera se trata con identidades del ángulo doble.
cos(x)^2 para $\cos^{2} x$, sin(2*x) para $\sen 2x$. El «$+c$» es opcional.1.6.2.Ejercicios propuestos — integrales trigonométricas
Banco de 12 problemas que recorren los tres casos (A, B, C) y las variantes pares/impares.
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1.6.5.Integración por partes ★ el método más demandado en exámenes
Si la sustitución es la inversa de la regla de la cadena, la integración por partes es la inversa de la regla del producto. De $d(uv) = u\,dv + v\,du$, despejando $u\,dv$ e integrando:
La fórmula convierte una integral en otra. La nueva $\int v\,du$ debe ser más simple que la original; si no, conviene elegir $u$ y $dv$ de otra manera.
Técnica · Regla LIATE (mnemotécnica para elegir $u$)LIATE · ¿Quién es $u$?
En productos, $u$ es el primero que aparece en este orden| Letra | Tipo de función | Ejemplos |
|---|---|---|
| L | Logarítmica | $\ln x$, $\ln(1+x^{2})$ |
| I | Inversa trigonométrica | $\arctg x$, $\arcsen x$ |
| A | Algebraica (polinomios, raíces) | $x^{n}$, $\sqrt{x}$ |
| T | Trigonométrica | $\sen x$, $\cos x$ |
| E | Exponencial | $e^{x}$, $a^{x}$ |
Doble criterio: $u$ debe simplificarse al derivar, y $dv$ debe tener antiderivada fácil. LIATE captura ambos al mismo tiempo:
- L, I al derivar producen una expresión racional simple ($\ln x \to 1/x$, $\arctg x \to 1/(1+x^{2})$). Son ideales como $u$.
- A al derivar baja un grado polinómico — también es buena como $u$, especialmente combinada con T o E.
- T y E tienen antiderivada inmediata, sirven perfectamente como $dv$.
Atención: LIATE es heurística — funciona ~95 % de las veces. Para los casos restantes (como $\int e^x \sen x$, donde no hay L/I/A presentes), se aplica el criterio cíclico de §1.6.6.
Ejemplo 1 · $\displaystyle\int x\,e^{x}\,dx$
El ejemplo paradigmático de partesElegir $u$ y $dv$ por LIATE (A antes que E → $u = x$):
Aplicar la fórmula $\int u\,dv = uv - \int v\,du$:
$$\int x\,e^{x}\,dx = x\,e^{x} - \int e^{x}\,dx = x\,e^{x} - e^{x} + c.$$
¿Por qué quedó más simple?
Ejemplo 2 · $\displaystyle\int x^{2} \ln x\,dx$
Log + polinomio → elegir $u = \ln x$ (L gana a A)Elegir: por LIATE L > A, así que $u = \ln x$.
Aplicar partes:
$$\int x^{2} \ln x\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}\ln x - \int \dfrac{x^{3}}{3}\cdot\dfrac{dx}{x} = \dfrac{x^{3} \ln x}{3} - \dfrac{1}{3}\!\int x^{2}\,dx.$$
Resolver la integral remanente:
$$\dfrac{x^{3} \ln x}{3} - \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{x^{3}}{3} + c = \dfrac{x^{3} \ln x}{3} - \dfrac{x^{3}}{9} + c.$$
Ejemplo 3 · $\displaystyle\int \ln x\,dx$
Sin más factores · «inventar» $dv = dx$Truco: aunque no haya producto, ponemos $dv = dx$. Esto crea la oportunidad de derivar el log.
Aplicar:
$$\int \ln x\,dx = x \ln x - \int x \cdot \dfrac{dx}{x} = x \ln x - \int dx = x \ln x - x + c.$$
¿Cuándo usar este truco?
Ejemplo 4 · $\displaystyle\int x^{2} \sen x\,dx$
Partes dos veces · polinomio se «consume»Primera aplicación (LIATE A > T → $u = x^{2}$):
$$\int x^{2} \sen x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\!\int x \cos x\,dx.$$
Segunda aplicación a $\int x \cos x\,dx$ (otra vez A > T → $u = x$):
$$\int x \cos x\,dx = x \sen x - \int \sen x\,dx = x \sen x + \cos x.$$
Combinar:
$$\int x^{2} \sen x\,dx = -x^{2}\cos x + 2(x \sen x + \cos x) + c = -x^{2}\cos x + 2x \sen x + 2\cos x + c.$$
Elegir mal $u$ y $dv$ no produce un error matemático — produce una integral más complicada que la original. Por ejemplo en $\int x e^{x}\,dx$, si elegimos $u = e^{x}$, $dv = x\,dx$:
$$\int x e^{x}\,dx = e^{x}\cdot\dfrac{x^{2}}{2} - \int \dfrac{x^{2}}{2}\cdot e^{x}\,dx,$$
y la nueva integral $\int x^{2}e^{x}\,dx$ es peor (potencia más alta). Si esto te pasa: retrocedé y elegí al revés. La regla LIATE existe para evitar este desperdicio.
sin(x), cos(x), x*sin(x). El «$+c$» es opcional.1.6.6.Casos especiales de integración por partes
Algunas integrales requieren técnicas alternativas que evitan aplicar partes repetidamente o que tratan situaciones donde partes «no termina». Cubrimos dos:
A · Método de coeficientes indeterminados (polinomio × exponencial)
Para integrales de la forma $\displaystyle\int P_{n}(x)\,e^{ax}\,dx$ con $P_{n}$ polinomio de grado $n$, se postula directamente:
con $Q_{n}$ polinomio del mismo grado $n$, de coeficientes desconocidos. Se hallan derivando y comparando coeficientes — sin aplicar partes ni una sola vez.
Técnica · Worked example · coeficientes indeterminadosEjemplo · $\displaystyle\int (x^{2} + 3)\,e^{2x}\,dx$
Postular forma · derivar · igualar coeficientesPostular:
$$\int (x^{2} + 3)\,e^{2x}\,dx = (Ax^{2} + Bx + C)\,e^{2x} + c.$$
Derivar el lado derecho (debe igualar el integrando):
$$\dfrac{d}{dx}\bigl[(Ax^{2} + Bx + C)\,e^{2x}\bigr] = (2Ax + B)\,e^{2x} + 2(Ax^{2} + Bx + C)\,e^{2x}.$$
Factorizando $e^{2x}$:
$$= \bigl[2Ax^{2} + (2A + 2B)x + (B + 2C)\bigr]\,e^{2x}.$$
Igualar coeficientes con $x^{2} + 3$ (coefs $1, 0, 3$):
$$2A = 1, \qquad 2A + 2B = 0, \qquad B + 2C = 3.$$
De donde $A = \tfrac{1}{2}$, $B = -\tfrac{1}{2}$, $C = \tfrac{7}{4}$.
Escribir la primitiva:
$$\int (x^{2} + 3)\,e^{2x}\,dx = \left(\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x}{2} + \dfrac{7}{4}\right) e^{2x} + c.$$
B · Integrales auto-referentes ($e^{ax}\sen bx$, $e^{ax}\cos bx$)
Hay integrales donde, al aplicar partes dos veces, la integral original reaparece. Aprovechamos ese ciclo para despejarla algebraicamente.
Técnica · Worked example · integral cíclicaEjemplo · $\displaystyle I = \int e^{x} \sen x\,dx$
Partes dos veces · resolver para $I$Primera aplicación: $u = e^{x}$, $dv = \sen x\,dx$ → $du = e^{x}dx$, $v = -\cos x$.
$$I = -e^{x}\cos x + \int e^{x}\cos x\,dx \qquad\ldots\,(1)$$
Segunda aplicación a $\int e^{x}\cos x\,dx$ con la misma elección de $u$ (es clave): $u = e^{x}$, $dv = \cos x\,dx$ → $du = e^{x}dx$, $v = \sen x$.
$$\int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\sen x - \int e^{x}\sen x\,dx = e^{x}\sen x - I \qquad\ldots\,(2)$$
¿Por qué mantener el mismo tipo de $u$?
Sustituir (2) en (1):
$$I = -e^{x}\cos x + e^{x}\sen x - I.$$
Despejar $I$ algebraicamente:
$$2I = e^{x}(\sen x - \cos x) \;\Longrightarrow\; I = \dfrac{e^{x}(\sen x - \cos x)}{2} + c.$$
1.6.7.Ejercicios propuestos — integración por partes
Banco de 15 problemas cubriendo todos los patrones LIATE y los dos casos especiales.
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1.6.8.Integración por sustitución trigonométrica
Cuando aparece $\sqrt{a^{2} - u^{2}}$, $\sqrt{u^{2} + a^{2}}$ o $\sqrt{u^{2} - a^{2}}$ en el integrando, la sustitución trigonométrica convierte la raíz en una expresión trigonométrica usando identidades pitagóricas. Las tres formas canónicas son:
donde $R$ es una función racional. La elección de la sustitución se guía por un triángulo rectángulo auxiliar:
Caso I · $\sqrt{u^{2} + a^{2}}$ → sustitución $u = a \tg\theta$
Ejemplo 1 · $\displaystyle\int \dfrac{x^{2}\,dx}{\sqrt{x^{2} + 9}}$
Aquí $a = 3$ · sustitución $x = 3\tg\theta$Sustituir: $x = 3\tg\theta$, $dx = 3\sec^{2}\theta\,d\theta$, $\sqrt{x^{2}+9} = 3\sec\theta$.
$$\int \dfrac{x^{2}\,dx}{\sqrt{x^{2}+9}} = \int \dfrac{9\tg^{2}\theta \cdot 3\sec^{2}\theta\,d\theta}{3\sec\theta} = 9\!\int \tg^{2}\theta \cdot \sec\theta\,d\theta.$$
Usar identidad $\tg^{2}\theta = \sec^{2}\theta - 1$:
$$9\!\int (\sec^{2}\theta - 1)\sec\theta\,d\theta = 9\!\int \sec^{3}\theta\,d\theta - 9\!\int \sec\theta\,d\theta.$$
Aplicar $\int \sec^{3}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\sec\theta\tg\theta + \tfrac{1}{2}\ln|\sec\theta+\tg\theta|$ (de §1.6.7 #15) y $\int \sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta+\tg\theta|$:
$$9\!\int \sec^{3}\theta\,d\theta - 9\!\int \sec\theta\,d\theta = \dfrac{9}{2}\sec\theta\tg\theta + \dfrac{9}{2}\ln|\sec\theta+\tg\theta| - 9\ln|\sec\theta+\tg\theta|.$$
Combinando los logaritmos ($\tfrac{9}{2} - 9 = -\tfrac{9}{2}$):
$$= \dfrac{9}{2}\sec\theta\tg\theta - \dfrac{9}{2}\ln|\sec\theta+\tg\theta| + c.$$
Volver a $x$ desde el triángulo: $\tg\theta = x/3$, $\sec\theta = \sqrt{x^{2}+9}/3$:
$$= \dfrac{x\sqrt{x^{2}+9}}{2} - \dfrac{9}{2}\ln\!\left|x + \sqrt{x^{2}+9}\right| + c'.$$
Caso II · $\sqrt{a^{2} - u^{2}}$ → sustitución $u = a\sen\theta$
Ejemplo 2 · $\displaystyle\int \sqrt{4 - x^{2}}\,dx$
$a = 2$ · sustitución $x = 2\sen\theta$Sustituir: $x = 2\sen\theta$, $dx = 2\cos\theta\,d\theta$, $\sqrt{4-x^{2}} = 2\cos\theta$.
$$\int \sqrt{4-x^{2}}\,dx = \int 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta\,d\theta = 4\!\int \cos^{2}\theta\,d\theta.$$
Identidad de ángulo doble (§1.6.1): $\cos^{2}\theta = \tfrac{1+\cos 2\theta}{2}$:
$$4\!\int \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = 2\theta + \sen 2\theta + c.$$
Volver a $x$: $\theta = \arcsen(x/2)$ y $\sen 2\theta = 2\sen\theta\cos\theta = \tfrac{x\sqrt{4-x^{2}}}{2}$:
$$= 2\arcsen\!\dfrac{x}{2} + \dfrac{x\sqrt{4-x^{2}}}{2} + c.$$
Caso III · $\sqrt{u^{2} - a^{2}}$ → sustitución $u = a\sec\theta$
Ejemplo 3 · $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2} - 1}}$ ($x > 1$)
$a = 1$ · sustitución $x = \sec\theta$Sustituir: $x = \sec\theta$, $dx = \sec\theta\tg\theta\,d\theta$, $\sqrt{x^{2}-1} = \tg\theta$.
$$\int \dfrac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-1}} = \int \dfrac{\sec\theta\tg\theta\,d\theta}{\sec^{2}\theta \cdot \tg\theta} = \int \cos\theta\,d\theta.$$
Integrar y volver a $x$: $\int \cos\theta\,d\theta = \sen\theta + c$. Del triángulo, $\sen\theta = \sqrt{x^{2}-1}/x$.
Decisión rápida · ¿Qué sustitución uso?
Mirá la forma de la raíz| Si ves… | Sustituí $u =$… | Identidad clave |
|---|---|---|
| $\sqrt{a^{2} - u^{2}}$ | $a\sen\theta$ | $1 - \sen^{2}\theta = \cos^{2}\theta$ |
| $\sqrt{u^{2} + a^{2}}$ | $a\tg\theta$ | $1 + \tg^{2}\theta = \sec^{2}\theta$ |
| $\sqrt{u^{2} - a^{2}}$ | $a\sec\theta$ | $\sec^{2}\theta - 1 = \tg^{2}\theta$ |
Truco mnemónico: «si la constante está antes con signo positivo, va seno; si va detrás con signo positivo, tangente; si va detrás con signo negativo, secante».
En el Caso III ($\sqrt{u^{2} - a^{2}}$), la condición $u^{2} \geq a^{2}$ se traduce en $u \geq a$ o $u \leq -a$. El triángulo y la sustitución $u = a\sec\theta$ están planteados para $u > a$.
Para $u < -a$ conviene sustituir $v = -u$, resolver la integral resultante y reemplazar al final. La primitiva puede tener distinta expresión en cada dominio — por eso aparece el «$\ln|u + \sqrt{u^{2}-a^{2}}|$» con valor absoluto.
sqrt(x^2+16), log(...) para $\ln$.1.6.9.Ejercicios propuestos — sustitución trigonométrica
Banco de 12 problemas que recorren los tres casos.
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1.6.10.Integración de funciones racionales
Una función racional es el cociente de dos polinomios, $R(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$. La técnica de fracciones parciales descompone $R(x)$ en una suma de fracciones simples cuyas integrales son inmediatas (logaritmos, arcotangentes, potencias).
La descomposición depende de cómo factorice $Q(x)$. Cinco casos cubren todo:
Técnica · Tarjeta de patrones globalLos 5 casos · ¿Cómo se factoriza $Q(x)$?
Memorizá la tabla — es el corazón del método| Forma del factor en $Q(x)$ | Aporta a la descomposición |
|---|---|
| Caso 1. Una sola cuadrática irreducible $ax^{2}+bx+c$ | $\dfrac{Ax + B}{ax^{2}+bx+c}$ (completar cuadrado + sustituir) |
| Caso 2. Factores lineales distintos: $(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots$ | $\sum_{k} \dfrac{A_{k}}{x - \alpha_{k}}$ |
| Caso 3. Factor lineal repetido $p$ veces: $(x-a)^{p}$ | $\dfrac{A_1}{x-a} + \dfrac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \dfrac{A_p}{(x-a)^p}$ |
| Caso 4. Cuadrática irreducible no repetida $x^{2}+bx+c$ | $\dfrac{B x + C}{x^{2}+bx+c}$ |
| Caso 5. Cuadrática irreducible repetida $q$ veces: $(x^{2}+bx+c)^{q}$ | $\dfrac{B_1 x + C_1}{x^{2}+bx+c} + \cdots + \dfrac{B_q x + C_q}{(x^{2}+bx+c)^{q}}$ |
Procedimiento universal: escribir la descomposición con coeficientes a determinar, multiplicar por $Q(x)$, e igualar coeficientes (o usar valores particulares de $x$). Una vez halladas las constantes, integrar cada fracción por separado.
Ejemplo 1 · $\displaystyle\int \dfrac{2x + 3}{x^{2} + 4x + 5}\,dx$
Completar cuadrado + partir numeradorPartir el numerador: $D'(x) = 2x + 4$, así que $2x + 3 = (2x+4) - 1$.
$$\int \dfrac{2x+3}{x^{2}+4x+5}\,dx = \int \dfrac{2x+4}{x^{2}+4x+5}\,dx - \int \dfrac{dx}{x^{2}+4x+5}.$$
Primera integral: numerador = derivada del denominador → logaritmo:
$$\int \dfrac{2x+4}{x^{2}+4x+5}\,dx = \ln|x^{2}+4x+5| + c_{1}.$$
Segunda integral: completar cuadrado, $x^{2}+4x+5 = (x+2)^{2}+1$:
$$\int \dfrac{dx}{(x+2)^{2}+1} = \arctg(x+2) + c_{2}.$$
Ejemplo 2 · $\displaystyle\int \dfrac{4x^{2} + 9x - 1}{x^{3} + 2x^{2} - x - 2}\,dx$
Factorizar denominador · plantear sistema · resolver constantesFactorizar $x^{3} + 2x^{2} - x - 2$. Tantear raíces: $x = 1$ da $1+2-1-2 = 0$ ✓.
Dividir por $(x-1)$: $x^{3}+2x^{2}-x-2 = (x-1)(x^{2}+3x+2) = (x-1)(x+1)(x+2)$.
Plantear la descomposición (Caso 2):
$$\dfrac{4x^{2} + 9x - 1}{(x-1)(x+1)(x+2)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{x+2}.$$
Multiplicar por $Q(x)$:
$$4x^{2} + 9x - 1 = A(x+1)(x+2) + B(x-1)(x+2) + C(x-1)(x+1).$$
Valores particulares (atajo):
- $x = 1$: $4 + 9 - 1 = A(2)(3) = 6A \Rightarrow A = 2$.
- $x = -1$: $4 - 9 - 1 = B(-2)(1) = -2B \Rightarrow B = 3$.
- $x = -2$: $16 - 18 - 1 = C(-3)(-1) = 3C \Rightarrow C = -1$.
Integrar cada término:
$$\int \!\left(\dfrac{2}{x-1} + \dfrac{3}{x+1} - \dfrac{1}{x+2}\right) dx = 2\ln|x-1| + 3\ln|x+1| - \ln|x+2| + c.$$
Ejemplo 3 · $\displaystyle\int \dfrac{x + 1}{x(x-1)^{2}}\,dx$
Factor lineal repetido $(x-1)^{2}$ → 2 fraccionesPlantear:
$$\dfrac{x+1}{x(x-1)^{2}} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-1} + \dfrac{C}{(x-1)^{2}}.$$
Multiplicar y evaluar $x(x-1)^{2}$ a ambos lados:
$$x + 1 = A(x-1)^{2} + Bx(x-1) + Cx.$$
- $x = 0$: $1 = A \Rightarrow A = 1$.
- $x = 1$: $2 = C \Rightarrow C = 2$.
- Comparar coef. $x^{2}$: $0 = A + B \Rightarrow B = -1$.
Integrar:
$$\int \!\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{2}{(x-1)^{2}}\right) dx = \ln|x| - \ln|x-1| - \dfrac{2}{x-1} + c.$$
Ejemplo 4 · $\displaystyle\int \dfrac{2x^{2} - x + 4}{x(x^{2}+4)}\,dx$
Factor lineal + cuadrática irreduciblePlantear:
$$\dfrac{2x^{2} - x + 4}{x(x^{2}+4)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx + C}{x^{2}+4}.$$
Multiplicar por $x(x^{2}+4)$:
$$2x^{2} - x + 4 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)x = (A+B)x^{2} + Cx + 4A.$$
Igualar coeficientes:
- $x^{2}$: $A + B = 2$
- $x$: $C = -1$
- const: $4A = 4 \Rightarrow A = 1, B = 1$.
Integrar:
$$\int \dfrac{dx}{x} + \int \dfrac{x - 1}{x^{2} + 4}\,dx = \ln|x| + \dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+4) - \dfrac{1}{2}\arctg\dfrac{x}{2} + c.$$
¿Cómo separamos la segunda integral?
Si $\deg P \geq \deg Q$, escribir fracciones parciales directamente no funciona y da resultados absurdos. El paso previo es:
❌ $\dfrac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}$ (mal — la izquierda tiende a infinito como $x$, la derecha como $\frac{1}{x}$)
✅ $\dfrac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1} = x + \dfrac{x + 1}{x^{2} - 1} = x + \dfrac{1}{x - 1}$
Verificación rápida: si el grado del numerador es $\geq$ el del denominador, hay que dividir antes de descomponer.
log(x) para $\ln x$. Descomponé en fracciones parciales primero.1.6.11.Ejercicios propuestos — funciones racionales
Banco de 12 problemas que recorren los 5 casos.
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1.6.12.Método de Hermite-Ostrogradski
Cuando una racional $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ tiene factores repetidos en el denominador (lineales o cuadráticos), las fracciones parciales clásicas funcionan pero generan sistemas extensos. Hermite-Ostrogradski separa de un solo golpe la parte racional (proveniente de los factores repetidos) de la parte logarítmica/arcotangente (proveniente de los factores simples).
Técnica · Tarjeta de patrones¿Cuándo elegir Hermite-Ostrogradski?
Cuándo conviene este método frente a fracciones parciales clásicas| Situación | Mejor opción |
|---|---|
| Denominador con raíces simples únicamente | Fracciones parciales clásicas (§1.6.10) — Hermite no aporta |
| Raíz lineal repetida de orden pequeño ($p \leq 2$) | Cualquiera de los dos métodos funciona bien |
| Raíz lineal repetida de orden alto ($p \geq 3$) | Hermite — evita el sistema $A_1, A_2, \ldots, A_p$ |
| Cuadrática irreducible repetida ($q \geq 2$) | Hermite es claramente superior |
| Necesitás separar parte algebraica de parte logarítmica | Hermite lo hace por construcción |
Ejemplo · $\displaystyle\int \dfrac{dx}{(x+1)^{2}(x^{2}+1)^{2}}$
Doble factor repetido — caso ideal para HermiteCalcular $Q'$ y $Q_{1} = \gcd(Q, Q')$:
$Q(x) = (x+1)^{2}(x^{2}+1)^{2}$. Derivando con regla del producto y simplificando:
$$Q'(x) = 2(x+1)(x^{2}+1)(3x^{2}+2x+1).$$
El MCD de $Q$ y $Q'$ es $\;Q_{1}(x) = (x+1)(x^{2}+1)\;$ (los factores comunes, cada uno con multiplicidad uno menos).
Calcular $Q_{2}$:
$$Q_{2}(x) = \dfrac{Q(x)}{Q_{1}(x)} = \dfrac{(x+1)^{2}(x^{2}+1)^{2}}{(x+1)(x^{2}+1)} = (x+1)(x^{2}+1).$$
Plantear la descomposición con coeficientes a determinar:
$\deg Q_{1} = 3$ → $f(x) = Ax^{2}+Bx+C$. $\deg Q_{2} = 3$ → $g(x) = Dx^{2}+Ex+F$.
$$\int \dfrac{dx}{(x+1)^{2}(x^{2}+1)^{2}} = \dfrac{Ax^{2}+Bx+C}{(x+1)(x^{2}+1)} + \int \dfrac{Dx^{2}+Ex+F}{(x+1)(x^{2}+1)}\,dx.$$
Derivar e igualar. Derivando ambos lados:
$$\dfrac{1}{(x+1)^{2}(x^{2}+1)^{2}} = \dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{Ax^{2}+Bx+C}{(x+1)(x^{2}+1)}\right] + \dfrac{Dx^{2}+Ex+F}{(x+1)(x^{2}+1)}.$$
Multiplicar por $(x+1)^{2}(x^{2}+1)^{2}$ y desarrollar produce una identidad polinómica. Igualando coeficientes de potencias $x^{0}, x^{1}, \ldots, x^{4}$ resulta el sistema
$$A = -\tfrac{1}{4}, \;\; B = \tfrac{1}{4}, \;\; C = 0; \qquad D = 0, \;\; E = -\tfrac{1}{4}, \;\; F = \tfrac{3}{4}.$$
Integrar la parte logarítmica:
$$\int \dfrac{-\tfrac{1}{4}x + \tfrac{3}{4}}{(x+1)(x^{2}+1)}\,dx \;=\; \int \dfrac{\tfrac{1}{4}(3 - x)}{(x+1)(x^{2}+1)}\,dx.$$
Por fracciones parciales clásicas (Caso 4): $\dfrac{3-x}{(x+1)(x^{2}+1)} = \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{-2x+1}{x^{2}+1}$. Integrar da
$$\int \dfrac{-\tfrac{1}{4}x + \tfrac{3}{4}}{(x+1)(x^{2}+1)}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln|x+1| - \tfrac{1}{4}\ln(x^{2}+1) + \tfrac{1}{4}\arctg x + c.$$
Combinar parte racional + parte logarítmica:
$$\int \dfrac{dx}{(x+1)^{2}(x^{2}+1)^{2}} = \dfrac{-\tfrac{1}{4}x^{2}+\tfrac{1}{4}x}{(x+1)(x^{2}+1)} + \tfrac{1}{2}\ln|x+1| - \tfrac{1}{4}\ln(x^{2}+1) + \tfrac{1}{4}\arctg x + c.$$
El error más típico es invertir $Q_{1}$ y $Q_{2}$. Recordatorio:
$Q_{1} = \gcd(Q, Q')$ = factores con multiplicidad reducida en uno → parte racional
$Q_{2} = Q / Q_{1}$ = factores con multiplicidad uno (libre de cuadrados) → parte logarítmica
Si todos los factores de $Q$ son simples (multiplicidad 1), entonces $\gcd(Q, Q') = 1$, así que $Q_{1} = 1$ y $Q_{2} = Q$. En ese caso Hermite degenera y debés usar fracciones parciales clásicas directamente.
1.6.13.Ejercicios propuestos — Hermite-Ostrogradski
Banco de 8 problemas con factores múltiples donde Hermite-Ostrogradski rinde mejor que fracciones parciales clásicas.
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1.6.14.Integrales racionales de seno y coseno
Cuando el integrando es una función racional de $\sen x$ y $\cos x$, esto es
con $R$ cociente de polinomios en sus dos argumentos, una sustitución universal convierte el problema en una racional ordinaria de una variable. La más conocida es la sustitución de Weierstrass.
Ejemplo 1 · $\displaystyle\int \dfrac{dx}{1 + \sen x + \cos x}$
Sustitución universal · racional en $z$ por fracciones parcialesSustituir Weierstrass:
$$1 + \dfrac{2z}{1+z^{2}} + \dfrac{1-z^{2}}{1+z^{2}} = \dfrac{(1+z^{2}) + 2z + (1-z^{2})}{1+z^{2}} = \dfrac{2 + 2z}{1+z^{2}} = \dfrac{2(1+z)}{1+z^{2}}.$$
Reescribir la integral:
$$\int \dfrac{dx}{1 + \sen x + \cos x} = \int \dfrac{\dfrac{2\,dz}{1+z^{2}}}{\dfrac{2(1+z)}{1+z^{2}}} = \int \dfrac{dz}{1 + z}.$$
Integrar y volver a $x$:
$$\int \dfrac{dz}{1+z} = \ln|1 + z| + c = \ln\!\left|1 + \tg\dfrac{x}{2}\right| + c.$$
Atajos por simetría
Weierstrass siempre funciona, pero puede ser engorrosoAntes de aplicar la sustitución universal, mirá si el integrando tiene una simetría que sugiera algo más simple:
| Simetría de $R(\sen x, \cos x)$ | Sustitución óptima |
|---|---|
| $R(-\sen x, \cos x) = -R(\sen x, \cos x)$ (impar en $\sen$) | $u = \cos x$, $du = -\sen x\,dx$ |
| $R(\sen x, -\cos x) = -R(\sen x, \cos x)$ (impar en $\cos$) | $u = \sen x$, $du = \cos x\,dx$ |
| $R(-\sen x, -\cos x) = R(\sen x, \cos x)$ (par en ambos) | $t = \tg x$, $dt = \sec^{2} x\,dx$ |
| Ningún caso anterior | Weierstrass $z = \tg(x/2)$ (universal) |
Regla práctica: probá atajos primero. Reservá Weierstrass para integrales asimétricas como la del Ejemplo 1.
Ejemplo 2 · $\displaystyle\int \dfrac{\sen^{3} x}{2 + \cos x}\,dx$
Impar en $\sen$ → sustituir $u = \cos x$, no WeierstrassDetectar la simetría: el numerador $\sen^{3} x$ es impar en $\sen x$. El denominador $2 + \cos x$ no contiene $\sen$. La función racional cumple $R(-\sen, \cos) = -R(\sen, \cos)$.
Factorizar un $\sen x$ y aplicar Pitágoras:
$$\sen^{3} x = (1 - \cos^{2} x)\,\sen x.$$
Sustituir $u = \cos x$, $du = -\sen x\,dx$:
$$\int \dfrac{(1 - u^{2})}{2 + u} \cdot (-du) = -\!\int \dfrac{1 - u^{2}}{2 + u}\,du = \int \dfrac{u^{2} - 1}{u + 2}\,du.$$
Dividir polinomios: $u^{2} - 1 = (u+2)(u-2) + 3$, así que $\dfrac{u^{2}-1}{u+2} = u - 2 + \dfrac{3}{u+2}$.
$$\int \!\left(u - 2 + \dfrac{3}{u+2}\right)\,du = \dfrac{u^{2}}{2} - 2u + 3\ln|u+2| + c.$$
Volver a $x$:
$$= \dfrac{\cos^{2} x}{2} - 2\cos x + 3\ln|\cos x + 2| + c.$$
Weierstrass siempre funciona pero genera fracciones de grados altos en $z$ que requieren fracciones parciales largas. Si el integrando tiene una simetría obvia (impar en $\sen$ o $\cos$, o par en ambos), la sustitución correspondiente es mucho más rápida.
Por ejemplo, en el Ejemplo 2, Weierstrass habría dado una integral racional en $z$ de grado 5 — varias páginas de fracciones parciales. La sustitución $u = \cos x$ resuelve todo en 4 pasos.
tan(x/2) para $\tg(x/2)$, atan para $\arctg$. La respuesta involucra arcotangente.1.6.15.Ejercicios propuestos — racionales de seno y coseno
Banco de 10 problemas — varios admiten atajo por simetría antes de Weierstrass.
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1.6.16.Integrales de algunas funciones irracionales
Las integrales que contienen raíces de expresiones algebraicas son generalmente difíciles: en muchos casos no tienen primitiva elemental. Hay sin embargo tres formas estándar que admiten sustituciones racionalizadoras.
Forma I · Raíz cuadrada de un trinomio
Misma técnica que en §1.5.6: completar cuadrado en el trinomio y aplicar sustitución $z = x + b/(2a)$. Luego es una integral de §1.5.2 (raíces de $a^{2} \pm u^{2}$, $u^{2} - a^{2}$).
Técnica · Worked example · Forma IEjemplo 1 · $\displaystyle\int \dfrac{(x+2)\,dx}{\sqrt{4 - 2x - x^{2}}}$
Completar cuadrado + partir numeradorCompletar cuadrado:
$$4 - 2x - x^{2} = 5 - (x^{2} + 2x + 1) = 5 - (x+1)^{2}.$$
Sustituir $z = x + 1$, $dz = dx$, $x = z - 1$:
$$\int \dfrac{(x+2)\,dx}{\sqrt{5-(x+1)^{2}}} = \int \dfrac{(z+1)\,dz}{\sqrt{5 - z^{2}}} = \int \dfrac{z\,dz}{\sqrt{5-z^{2}}} + \int \dfrac{dz}{\sqrt{5-z^{2}}}.$$
Resolver cada parte:
- $\int \dfrac{z\,dz}{\sqrt{5-z^{2}}} = -\sqrt{5-z^{2}}$ (sustitución $w = 5-z^{2}$)
- $\int \dfrac{dz}{\sqrt{5-z^{2}}} = \arcsen(z/\sqrt{5})$ (§1.5.2 fórmula 1)
Volver a $x$:
$$= -\sqrt{4 - 2x - x^{2}} + \arcsen\!\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{5}}\right) + c.$$
Forma II · Una raíz de fracción lineal
Para $\displaystyle\int R\!\left[x, \sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}\right] dx$ con $ad - bc \neq 0$ y $R$ racional, la sustitución
convierte la integral en una racional en $z$. Despejando: $x = \dfrac{b - dz^{n}}{cz^{n} - a}$, $dx = \dfrac{n\,z^{n-1}(ad - bc)}{(cz^{n} - a)^{2}}\,dz$.
Técnica · Worked example · Forma IIEjemplo 2 · $\displaystyle\int \sqrt[3]{\dfrac{1-x}{1+x}}\cdot\dfrac{dx}{x}$
Sustitución $z^{3} = (1-x)/(1+x)$ → racional en $z$Sustituir $z^{3} = (1-x)/(1+x)$. Despejando:
$$x = \dfrac{1-z^{3}}{1+z^{3}}, \qquad dx = -\dfrac{6z^{2}\,dz}{(1+z^{3})^{2}}.$$
Reescribir todo en $z$: $1/x = (1+z^{3})/(1-z^{3})$ y $\sqrt[3]{(1-x)/(1+x)} = z$.
$$\int z \cdot \dfrac{1+z^{3}}{1-z^{3}}\cdot\dfrac{-6z^{2}\,dz}{(1+z^{3})^{2}} = -6\!\int \dfrac{z^{3}\,dz}{(1-z^{3})(1+z^{3})} = 6\!\int \dfrac{z^{3}\,dz}{(z^{3}-1)(z^{3}+1)}.$$
Factorizar y fracciones parciales: $z^{3} \pm 1 = (z \pm 1)(z^{2} \mp z + 1)$. Tras descomponer (varios términos), integrar y simplificar:
$$= \ln|z^{2} - 1| - \dfrac{1}{2}\ln\!\left|(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\right| - \sqrt{3}\,\arctg\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2z^{2}+1}\right) + c.$$
Con $z = \sqrt[3]{(1-x)/(1+x)}$ se obtiene la forma final.
Forma III · Varias raíces del mismo binomio
Para $\displaystyle\int R\!\left[x, (ax+b)^{p_{1}/q_{1}}, \ldots, (ax+b)^{p_{k}/q_{k}}\right] dx$, sea $m = \operatorname{mcm}(q_{1}, \ldots, q_{k})$. La sustitución
convierte cada potencia fraccionaria en una potencia entera de $z$, y la integral queda racional.
Técnica · Worked example · Forma IIIEjemplo 3 · $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}$
Raíces de orden 2 y 3 → $\operatorname{mcm}(2,3) = 6$ → $z^{6} = x$Sustituir $z^{6} = x$, $dx = 6z^{5}\,dz$. Entonces $\sqrt{x} = z^{3}$ y $\sqrt[3]{x} = z^{2}$.
$$\int \dfrac{6z^{5}\,dz}{z^{3} + z^{2}} = \int \dfrac{6z^{5}\,dz}{z^{2}(z + 1)} = 6\!\int \dfrac{z^{3}\,dz}{z + 1}.$$
Dividir polinomios: $z^{3} = (z+1)(z^{2} - z + 1) - 1$, así que $\dfrac{z^{3}}{z+1} = z^{2} - z + 1 - \dfrac{1}{z+1}$.
$$6\!\int \!\left(z^{2} - z + 1 - \dfrac{1}{z+1}\right) dz = 6\!\left(\dfrac{z^{3}}{3} - \dfrac{z^{2}}{2} + z - \ln|z+1|\right) + c.$$
$$= 2z^{3} - 3z^{2} + 6z - 6\ln|z+1| + c.$$
Volver a $x$ con $z = \sqrt[6]{x}$:
$$= 2\sqrt{x} - 3\sqrt[3]{x} + 6\sqrt[6]{x} - 6\ln|\sqrt[6]{x}+1| + c.$$
¿Qué sustitución uso para esta raíz?
Mirá qué hay bajo la raíz| Tipo de raíz | Sustitución |
|---|---|
| $\sqrt{ax^{2}+bx+c}$ con numerador lineal | Completar cuadrado + sustitución $z = x+b/(2a)$ + fórmulas §1.5.2 |
| $\sqrt[n]{(ax+b)/(cx+d)}$ | $z^{n} = (ax+b)/(cx+d)$ — racionaliza el integrando |
| $x^{p_{1}/q_{1}}, x^{p_{2}/q_{2}}, \ldots$ (raíces múltiples del mismo binomio) | $z^{m} = ax+b$ con $m = \operatorname{mcm}(q_{1}, q_{2}, \ldots)$ |
| $\sqrt{a^{2}-u^{2}}, \sqrt{u^{2}\pm a^{2}}$ (cuadrática pura) | Sustitución trigonométrica §1.6.8 |
| $x^{m}(a + bx^{n})^{p}$ (binomio de Chebychev) | Caso especial — racional solo si $p$, $(m+1)/n$, o $(m+1)/n + p$ es entero (Teorema de Chebychev) |
La gran mayoría de las integrales irracionales no son expresables con funciones elementales. Por ejemplo:
$\displaystyle\int e^{-x^{2}}\,dx$ (integral de Gauss · sin primitiva elemental)
$\displaystyle\int \sqrt{1 + x^{4}}\,dx$ (integral elíptica)
$\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ (integral elíptica)
Si tu integral irracional no calza en ninguna de las tres formas (I, II, III) ni en sustitución trigonométrica ni en binomios de Chebychev — probablemente no tenga primitiva elemental. En ese caso se calcula numéricamente o se expresa en términos de funciones especiales (funciones elípticas, gamma, etc.).
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1.6.17.Fórmulas de reducción
Algunas integrales que dependen de un parámetro $n$ (entero positivo) satisfacen una recurrencia: la integral con exponente $n$ se expresa en términos de la del mismo tipo con exponente $n-1$ o $n-2$. Iterando la fórmula se llega a una integral elemental (con $n = 0$ o $1$).
Casi todas se derivan aplicando integración por partes de manera estratégica.
Técnica · Tabla de fórmulas de reducciónLas recurrencias más usadas
Memorizar las 6 — cubren la gran mayoría de problemas| Integral $I_{n}$ | Recurrencia |
|---|---|
| $\displaystyle\int \sen^{n} x\,dx$ | $I_{n} = -\dfrac{\sen^{n-1} x \cos x}{n} + \dfrac{n-1}{n}\,I_{n-2}$ |
| $\displaystyle\int \cos^{n} x\,dx$ | $I_{n} = \dfrac{\cos^{n-1} x \sen x}{n} + \dfrac{n-1}{n}\,I_{n-2}$ |
| $\displaystyle\int \tg^{n} x\,dx$ | $I_{n} = \dfrac{\tg^{n-1} x}{n-1} - I_{n-2}$ |
| $\displaystyle\int \sec^{n} x\,dx$ | $I_{n} = \dfrac{\sec^{n-2} x \tg x}{n-1} + \dfrac{n-2}{n-1}\,I_{n-2}$ |
| $\displaystyle\int x^{n} e^{ax}\,dx$ | $I_{n} = \dfrac{x^{n} e^{ax}}{a} - \dfrac{n}{a}\,I_{n-1}$ |
| $\displaystyle\int \dfrac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{n}}$ | $I_{n} = \dfrac{x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}} + \dfrac{2n-3}{2a^{2}(n-1)}\,I_{n-1}$ |
Caso base: cada recurrencia termina en $I_{0}$ o $I_{1}$, que son integrales elementales conocidas.
Derivación · $\displaystyle I_{n} = \int x^{n} e^{-x}\,dx$
Partes con $u = x^{n}$ produce la recurrenciaAplicar partes con $u = x^{n}$, $dv = e^{-x}\,dx$ → $du = n x^{n-1}\,dx$, $v = -e^{-x}$:
$$I_{n} = -x^{n} e^{-x} + n\!\int x^{n-1} e^{-x}\,dx = -x^{n} e^{-x} + n\,I_{n-1}.$$
Iterar la recurrencia para $n = 3$, $a = -1$:
$$I_{3} = -x^{3} e^{-x} + 3\,I_{2} = -x^{3} e^{-x} + 3(-x^{2}e^{-x} + 2 I_{1}) = -x^{3}e^{-x} - 3x^{2}e^{-x} + 6 I_{1}.$$
Continuando: $I_{1} = -x e^{-x} + I_{0}$ y $I_{0} = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}$.
Sustituyendo: $I_{1} = -x e^{-x} - e^{-x}$, y luego
$$I_{3} = -x^{3}e^{-x} - 3x^{2}e^{-x} - 6x e^{-x} - 6 e^{-x} + c.$$
Ejemplo · $\displaystyle\int \cos^{6} x\,dx$
Recurrencia con $n=6$ → llega a $I_{0}$ tras 3 iteracionesAplicar la recurrencia $I_{n} = \dfrac{\cos^{n-1} x \sen x}{n} + \dfrac{n-1}{n}\,I_{n-2}$:
$$I_{6} = \dfrac{\cos^{5} x \sen x}{6} + \dfrac{5}{6}\,I_{4}.$$
$$I_{4} = \dfrac{\cos^{3} x \sen x}{4} + \dfrac{3}{4}\,I_{2}.$$
$$I_{2} = \dfrac{\cos x \sen x}{2} + \dfrac{1}{2}\,I_{0} = \dfrac{\cos x \sen x}{2} + \dfrac{x}{2}.$$
Sustituir hacia arriba:
$$I_{4} = \dfrac{\cos^{3} x \sen x}{4} + \dfrac{3}{4}\!\left(\dfrac{\cos x \sen x}{2} + \dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{\cos^{3} x \sen x}{4} + \dfrac{3 \cos x \sen x}{8} + \dfrac{3x}{8}.$$
$$I_{6} = \dfrac{\cos^{5} x \sen x}{6} + \dfrac{5}{6}\!\left[\dfrac{\cos^{3} x \sen x}{4} + \dfrac{3 \cos x \sen x}{8} + \dfrac{3x}{8}\right] + c.$$
$$= \dfrac{\cos^{5} x \sen x}{6} + \dfrac{5 \cos^{3} x \sen x}{24} + \dfrac{5 \cos x \sen x}{16} + \dfrac{5x}{16} + c.$$
Las fórmulas de reducción funcionan siempre para potencias enteras, pero a veces hay atajos más rápidos:
- $\int \sen^{3} x\,dx$ — más fácil con sustitución $u = \cos x$ que con la recurrencia.
- $\int x^{2} e^{x}\,dx$ — más fácil con coeficientes indeterminados (§1.6.6) que iterando.
Las recurrencias son imprescindibles para $n$ grande (digamos $\geq 4$) donde los atajos serían complicados. Para $n$ pequeño suelen ser overkill.
1.6.18.Ejercicios propuestos — fórmulas de reducción
Banco de 8 problemas — usar la tabla iterativamente.
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1.6.3.Otras integrales trigonométricas — productos de ángulos distintos
Esta categoría cubre integrales de la forma
donde $m \neq n$. El truco es convertir el producto en suma usando las identidades:
$\sen(mx)\sen(nx) = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)\bigr]$
$\cos(mx)\cos(nx) = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos((m-n)x) + \cos((m+n)x)\bigr]$
Convertido en suma, cada término es de la forma $\sen(kx)$ o $\cos(kx)$ — integrable directo.
Técnica · MisconceptionLas tres identidades parecen iguales pero los signos cambian:
✅ $\sen \cdot \cos \to \sen + \sen$ (siempre con «+» entre los senos)
✅ $\sen \cdot \sen \to \cos(m{-}n) \;\mathbf{-}\; \cos(m{+}n)$ (resta · el «−» va con la suma)
✅ $\cos \cdot \cos \to \cos(m{-}n) \;\mathbf{+}\; \cos(m{+}n)$ (siempre suma)
Regla mnemónica: «seno por seno» es la única con resta — porque deriva de restar (3) de (4) en las identidades de ángulo doble. Si dudás, derivá el resultado y comparalo con el integrando original.
Ejemplo · $\displaystyle\int \sen(5x)\cos(3x)\,dx$
Producto → sumaAplicar identidad con $m=5$, $n=3$:
$$\sen(5x)\cos(3x) = \tfrac{1}{2}[\sen 8x + \sen 2x].$$
Integrar:
$$\int \sen(5x)\cos(3x)\,dx = \tfrac{1}{2}\!\left(-\tfrac{\cos 8x}{8} - \tfrac{\cos 2x}{2}\right) + c = -\tfrac{\cos 8x}{16} - \tfrac{\cos 2x}{4} + c.$$
1.6.4.Ejercicios propuestos — productos de ángulos distintos
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1.6.19.Ejercicios desarrollados diversos
Selección de problemas resueltos que combinan varias técnicas de §1.6 y obligan a decidir cuál usar. Pedagógicamente son los más valiosos: el grado de dificultad está en identificar la técnica correcta, no en aplicarla.
Técnica · Mezcla · sustitución + partesEjemplo 1 · $\displaystyle\int x\,\arctg x\,\sqrt{1+x^{2}}\,dx$ (simplificación + IBP)
Sustituir $u = \arctg x$, $dv = x\sqrt{1+x^{2}}\,dx$. Para $v$: con $w = 1+x^{2}$, $dw = 2x\,dx$, $v = \tfrac{1}{3}(1+x^{2})^{3/2}$.
$$\int x\arctg x \sqrt{1+x^{2}}\,dx = \dfrac{(1+x^{2})^{3/2}\arctg x}{3} - \dfrac{1}{3}\!\int (1+x^{2})^{3/2} \cdot \dfrac{dx}{1+x^{2}}.$$
$$= \dfrac{(1+x^{2})^{3/2}\arctg x}{3} - \dfrac{1}{3}\!\int \sqrt{1+x^{2}}\,dx.$$
La integral $\int \sqrt{1+x^{2}}\,dx$ es del §1.6.9 #11: vale $\dfrac{x\sqrt{1+x^{2}}}{2} + \dfrac{1}{2}\ln|x+\sqrt{1+x^{2}}|$.
Ejemplo 2 · $\displaystyle\int \dfrac{x\,dx}{(x^{2}-4x+5)^{3/2}}$
Completar cuadrado: $x^{2}-4x+5 = (x-2)^{2}+1$. Sustituir $u = x-2$, $x = u+2$:
$$\int \dfrac{(u+2)\,du}{(u^{2}+1)^{3/2}} = \int \dfrac{u\,du}{(u^{2}+1)^{3/2}} + 2\!\int \dfrac{du}{(u^{2}+1)^{3/2}}.$$
Primera integral: $w = u^{2}+1$ da $-1/\sqrt{u^{2}+1}$. Segunda: sustitución trigonométrica $u = \tg\theta$ da $u/\sqrt{u^{2}+1}$.
1.6.20.Ejercicios propuestos diversos
Banco final del §1.6 — 12 problemas mezclados sin etiqueta de técnica. Parte del desafío es decidir qué método aplicar.
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1.7.Aplicaciones a administración y economía
En teoría económica y administrativa, las cantidades dependen entre sí. La variación marginal de una función (su derivada) tiene contraparte natural en la integral: dada la marginal, la integral indefinida recupera la función total. Esta sección aplica las técnicas del cap. 1 a las funciones de costo, ingreso, ahorro y formación de capital.
1.7.1.Costo
Si $y = f(x)$ es el costo total de producir $x$ unidades:
Ejemplo · Una empresa tiene costo marginal $C_{m}(x) = 6x^{2} + 4x + 3$ (en miles de soles por unidad). Si el costo fijo es $100$ mil soles, hallar el costo total para producir $5$ unidades.
Integrar el costo marginal:
$$C(x) = \int (6x^{2}+4x+3)\,dx + C_{0} = 2x^{3} + 2x^{2} + 3x + 100.$$
Evaluar en $x = 5$:
$$C(5) = 2(125) + 2(25) + 15 + 100 = 250 + 50 + 15 + 100 = 415\,\text{mil soles}.$$
1.7.2.Ingreso
El ingreso total $R(x)$ por la venta de $x$ unidades a precio $p$ es $R = p \cdot x$. El ingreso marginal es
donde la derivada $dp/dx$ refleja cuánto cambia el precio al producir una unidad más (en mercados de competencia perfecta es nula; en monopolio es típicamente negativa).
Recíprocamente, dado el ingreso marginal $R_{m}(x)$, el ingreso total es
con la condición $R(0) = 0$ (si no se vende nada, no hay ingreso) — esto determina la constante.
1.7.3.Ingreso nacional, consumo y ahorro
Sea $Y$ el ingreso nacional, $C$ el consumo y $S$ el ahorro. Por definición
Las cantidades $dC/dY$ (propensión marginal al consumo) y $dS/dY$ (propensión marginal al ahorro) satisfacen $\dfrac{dC}{dY} + \dfrac{dS}{dY} = 1$.
Conociendo la propensión marginal y un valor inicial (típicamente el consumo o ahorro autónomo), se recupera la función completa integrando:
1.7.4.Formación de capital
Si $K(t)$ es el capital en el instante $t$ y $I(t)$ es la tasa de inversión bruta (formación bruta de capital), entonces
donde $K_{0} = K(0)$ es el capital inicial. La integración convierte la tasa de acumulación en el stock acumulado — exactamente la relación entre derivada e integral del cálculo.
1.7.5.Problemas desarrollados
Técnica · Worked example · costo + ingresoEjemplo 1 · Una fábrica tiene costo marginal $C_{m}(x) = 0{,}3x^{2} + 0{,}4x + 2$ e ingreso marginal $R_{m}(x) = 8 - 0{,}1x$. Si el costo fijo es 200, ¿en qué cantidad $x$ se maximiza el beneficio?
El beneficio es $B(x) = R(x) - C(x)$, y su máximo se da cuando $B'(x) = R'(x) - C'(x) = R_{m}(x) - C_{m}(x) = 0$.
$$8 - 0{,}1x = 0{,}3x^{2} + 0{,}4x + 2.$$
Resolver la cuadrática:
$$0{,}3x^{2} + 0{,}5x - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{-0{,}5 + \sqrt{0{,}25 + 7{,}2}}{0{,}6} \approx 3{,}71.$$
Ejemplo 2 · La inversión bruta de una nación crece según $I(t) = 5t^{2/3}$ (en miles de millones de soles por año, $t$ en años). Si el capital inicial es $K(0) = 25$, hallar $K(t)$ y el capital tras 8 años.
Integrar:
$$K(t) = \int 5 t^{2/3}\,dt + 25 = 5 \cdot \dfrac{t^{5/3}}{5/3} + 25 = 3 t^{5/3} + 25.$$
Evaluar en $t = 8$: $8^{5/3} = (8^{1/3})^{5} = 2^{5} = 32$.
$$K(8) = 3 \cdot 32 + 25 = 96 + 25 = 121\,\text{mil millones de soles}.$$
1.7.6.Problemas propuestos
Banco de 10 problemas aplicados a economía y administración.