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Análisis Matemático II — Capítulo 1

Por Eduardo Espinoza Ramos · 13 capítulos · 1,720 ejercicios resueltos

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Capítulo 1

Integral Indefinida

Antiderivadas, reglas de integración, métodos de sustitución

1.1 · Introducción

El problema básico de la derivación es: Dado el recorrido de un punto móvil, calcular su velocidad o también, dado una curva, calcular su pendiente. El problema básico de la integración, es el caso inverso de la derivación: dado la velocidad de un punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria o también dado la pendiente de una curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva. En el estudio del cálculo diferencial se ha tratado esencialmente: Dada una función hallar su derivada, muchas aplicaciones importantes del cálculo, guardan relación con el problema inverso, es decir: Dada la derivada de una función, hallar tal función por ejemplo: f′(x)=4,g′(x)=5x4f'(x)=4, g'(x)=5x^4. Ahora el problema es hallar f(x)f(x) y g(x)g(x), pero con un poco de astucia se puede hallar dichas funciones, esto es:
imageCuadroCAp1.png
Esta operación de determinar la función original a partir de su derivada es la inversa de la derivación y lo llamaremos cálculo de la función primitiva o antiderivada.

1.2 · La antiderivada de una función

Definición

 • La función F:I→RF:I \rightarrow \mathbb{R}, se llama la antiderivada o primitiva de: f:I→R, si F′(x)=f(x),∀x∈I.  (I=[a,b])\boxed{f: I \rightarrow \mathbb{R}, \text{ si } F'(x)=f(x), \forall x \in I. \; (I=[a,b])}
Ejemplo

 • Sea f(x)=5x4f(x)=5x^4 y g(x)=3e3x,∀x∈Rg(x)=3e^{3x}, \forall x \in \mathbb{R}, las funciones F(x)=x5F(x)=x^5 y G(x)=e3xG(x)=e^{3x} para x∈Rx \in \mathbb{R} son las antiderivadas de f(x)f(x) y g(x)g(x) respectivamente puesto que: $\boxed{\begin{cases} F(x)=x^5
 G(x)=e^{3x} \end{cases} \implies \begin{cases} F'(x)=5x^4=f(x)
 G'(x)=3e^{3x}=g(x) \end{cases}}$
Sin embargo las funciones F1(x)=x5+7F_1(x)=x^5+7 y G1(x)=e3x+5G_1(x)=e^{3x}+5 también son antiderivadas de las funciones f(x)=5x4f(x)=5x^4 y g(x)=3e3xg(x)=3e^{3x} respectivamente, puesto que:
{F1(x)=x5+7G1(x)=e3x+5  ⟹  {F1′(x)=5x4=f(x)G1′(x)=3e3x=g(x)\boxed{\begin{cases} F_1(x)=x^5+7\\ G_1(x)=e^{3x}+5 \end{cases} \implies \begin{cases} F'_1(x)=5x^4=f(x)\\ G_1'(x)=3e^{3x}=g(x) \end{cases}}
análogamente; otras antiderivadas de f(x)f(x) y g(x)g(x) son por ejemplo: F2(x)=x5−4,F3(x)=x5+4π,F4(x)=x5+a,G2(x)=e3x−7,G3(x)=e3x−eπ,G4(x)=e3x+bF_2(x)=x^5-4, F_3(x)=x^5+4\pi , F_4(x)=x^5+a, G_2(x)=e^{3x}-7, G_3(x)=e^{3x}-e^\pi, G_4(x)=e^{3x}+b donde a y b son constantes cualquiera, puesto que sus derivadas son iguales a f(x)f(x) y g(x)g(x) respectivamente. En general, si F(x)F(x) es una antiderivada de f(x)f(x) es decir que F′(x)=f(x)F'(x)=f(x), por lo tanto F(x)+cF(x)+c, también es una antiderivada de f(x)f(x) para cualquier constante c, puesto que su derivada es igual a la función f(x)f(x), es decir: (F(x)+c)′=F′(x)=f(x)(F(x)+c)'=F'(x)=f(x).

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