Manipulación algebraica de ecuaciones de segundo grado.
Al terminar serás capaz de
Trazar superficies a partir de su ecuación implícita.
Reconocer elipsoide, hiperboloides, paraboloides, conos y cilindros.
Determinar directriz y generatriz de cilindros y conos.
Aplicar traslación y rotación de ejes para identificar cuádricas.
1.1 Introducción
Analíticamente, la ecuación $E(x,y)=0$ representa un lugar geométrico en el plano $XY$.
Extendiendo al espacio tridimensional, la ecuación rectangular en tres variables tendrá la
forma
También se sabe que todo plano se representa analíticamente por una única ecuación lineal
de la forma
\begin{equation}
\mathcal{P}:\; Ax + By + Cz + D = 0.
\end{equation}
De manera más general, una superficie es una figura geométrica representada por
una ecuación rectangular del tipo \eqref{eq:fxyz}.
Por ejemplo, mediante la distancia entre dos puntos puede demostrarse que la
superficie esférica de radio $r$ con centro en el origen tiene por ecuación
Definición 1.1 — Superficie
Llamaremos superficie al conjunto de puntos $p(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}$
que satisfacen una sola ecuación de la forma
$$ F(x,\,y,\,z) = 0. $$
La ecuación $F(x,y,z)=0$ contiene tres variables, sin embargo la ecuación de una superficie
puede contener solamente una o dos variables. Por ejemplo, $x = k$ con $k$ constante
representa un plano paralelo al plano $YZ$.
De igual manera, la ecuación $x^{2}+y^{2}=4$ considerada en el espacio representa un
cilindro circular recto (todos los puntos cuya proyección al plano $XY$
cae sobre la circunferencia $x^{2}+y^{2}=4$).
Cilindro circular $x^{2}+y^{2}=4$ — generatrices paralelas al eje $Z$.
Toda ecuación de la forma $F(x,y,z)=0$ no representa necesariamente una superficie. Por
ejemplo $x^{2}+y^{2}+z^{2}+9=0$ no tiene solución real, y $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ admite
únicamente $x=y=z=0$ (un solo punto, el origen).
Comprueba lo aprendido
¿Cuál de las siguientes ecuaciones NO representa ninguna superficie en $\mathbb{R}^{3}$?
1.3 Superficies cuádricas
Definición 1.2 — Superficie cuádrica
Una superficie cuádrica es el lugar geométrico de los puntos
$p(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}$ que satisfacen una ecuación de segundo grado en las variables
$x,y,z$ de la forma
\begin{equation}
Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0,
\label{eq:quad}
\end{equation}
donde $A,B,C,D,E,F,G,H,K,L$ son constantes y al menos una de las seis primeras
($A,\dots,F$) es distinta de cero.
1.4 Discusión de la gráfica de una superficie
Para construir la gráfica de una superficie $F(x,y,z)=0$ seguimos seis pasos. Este es el
procedimiento canónico que aplicaremos en cada ejercicio resuelto del
capítulo:
Intersección con los ejes coordenados. Con $Y$: se hace $y=z=0$ y se resuelve $F(x,0,0)=0$. Análogo para $Y$ y $Z$.
Trazas sobre los planos coordenados. Curva de intersección con cada plano coordenado: $z=0$ ⇒ plano $XY$; $y=0$ ⇒ $XZ$; $x=0$ ⇒ $YZ$.
Simetrías respecto a los planos coordenados, los ejes y el origen.
Secciones paralelas a los planos coordenados: $z=k$, $y=k$ o $x=k$.
Extensión de la superficie (dominio de existencia).
Construcción de la superficie con los datos anteriores.
Teorema 1.1 — Criterios de simetría
Una superficie $F(x,y,z)=0$ es simétrica respecto a:
el plano $XY$ si $F(x,y,z)=F(x,y,-z)$,
el eje $Z$ si $F(x,y,z)=F(-x,-y,z)$,
el origen si $F(x,y,z)=F(-x,-y,-z)$.
Los criterios análogos para los otros planos y ejes se obtienen por permutación.
Comprueba lo aprendido
Según el Teorema 1.1, ¿qué condición garantiza que la superficie $F(x,y,z)=0$ sea simétrica respecto al plano $XZ$?
1.5 Estudio de las principales superficies cuádricas
A) Elipsoide
Es el lugar geométrico de los puntos $p(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}$ que satisfacen
\begin{equation}
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,\quad a,b,c\neq 0.
\label{eq:elip}
\end{equation}
Elipsoide centrado en el origen, semiejes $a$, $b$, $c$.
a) Intersecciones con los ejes coordenados (§1.4 paso 1)
El elipsoide es simétrico respecto a los tres planos coordenados, los tres ejes y el
origen (las tres variables aparecen al cuadrado, ver Teorema 1.1).
Casos particulares. Si $a=b\neq c$, el elipsoide es de revolución
alrededor del eje $Z$. Si $a=b=c=r$ se reduce a la esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$.
B) La esfera
La superficie esférica es el lugar geométrico de los puntos $p(x,y,z)$ del espacio que
equidistan de un punto fijo (centro), siendo la distancia constante el radio. Es el
caso particular del elipsoide \eqref{eq:elip} con $a=b=c=R$:
Teorema 1.2 — Esfera con centro arbitrario
La ecuación de la superficie esférica de centro $C(h,k,l)$ y radio $R>0$ es
$$ (x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}=R^{2}. $$
Sea $P(x,y,z)$ un punto cualquiera de la esfera. Por definición $d(P,C)=R$, luego
$\sqrt{(x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}}=R$, y elevando al cuadrado se obtiene el resultado.
Forma general. Desarrollando, toda esfera se escribe como
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0$, de modo que una esfera queda determinada por cuatro
puntos no coplanares.
C) Paraboloide elíptico
Es el lugar geométrico de los puntos $p(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}$ que satisfacen
\begin{equation}
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z,\quad a\neq 0,\;b\neq 0,\;a\neq b.
\label{eq:parab-elip}
\end{equation}
Paraboloide elíptico abriendo hacia $+Z$.
Discusión
Intersecciones: $A(0,0,0)$ con cada eje. Único punto común.
Variantes: $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=y$ (abre en $Y$) y
$\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=x$ (abre en $X$).
D) Hiperboloide de una hoja
Cuádrica de ecuación
\begin{equation}
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
\label{eq:hip1}
\end{equation}
Hiperboloide de una hoja con eje de simetría $Z$.
Discusión
Intersecciones: ejes $X$, $Y$ en $\pm a, \pm b$; con el eje $Z$ no hay.
Simetrías: respecto a los tres planos, los tres ejes y el origen.
Secciones $z=k$: elipses $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1+\dfrac{k^{2}}{c^{2}}$ (familia que crece con $|k|$). $y=k$: hipérbolas $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1-\dfrac{k^{2}}{b^{2}}$, $-b \lt k \lt b$.
Variantes: $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1$ (eje $Y$) y $-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1$ (eje $X$).
E) Hiperboloide de dos hojas
Cuádrica de ecuación
\begin{equation}
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
\label{eq:hip2}
\end{equation}
Hiperboloide de dos hojas con eje $X$ (dos "casquetes" separados).
Discusión
Intersecciones: eje $X$ en $\pm a$; ejes $Y$ y $Z$ no hay (la traza es vacía si $k^{2}
Secciones $x=k$, $|k|>a$: elipses $\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=\dfrac{k^{2}-a^{2}}{a^{2}}$. $y=k$ y $z=k$: hipérbolas.
Extensión: $|x|\ge a$ (existen dos ramas separadas).
F) Paraboloide hiperbólico (silla de montar)
Cuádrica de ecuación
\begin{equation}
\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=\frac{z}{c}.
\label{eq:parab-hip}
\end{equation}
Paraboloide hiperbólico: silla de montar.
Discusión
Trazas: $XY$ ($z=0$): par de rectas $y=\pm\dfrac{b}{a}x$. $XZ$ ($y=0$): parábola $z=-\dfrac{c}{a^{2}}x^{2}$ (abre hacia $-Z$). $YZ$ ($x=0$): parábola $z=\dfrac{c}{b^{2}}y^{2}$ (abre hacia $+Z$).
Secciones $z=k$: hipérbolas $\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}=\dfrac{k}{c}$ con orientación según el signo de $k$.
Simetrías: planos $XZ$ y $YZ$, eje $Z$.
La silla de montar $\dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{4}=\dfrac{z}{2}$ tiene $a=2$, $b=3$, $c=2$. Despeja $z$ y escribe el segundo miembro en función de $x$ e $y$.
\begin{equation}
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}},\quad a,b,c\neq 0.
\label{eq:cono}
\end{equation}
Cono elíptico con vértice en el origen y eje $Z$.
Discusión
Intersección: sólo el vértice $(0,0,0)$ con los tres ejes.
Simetrías: respecto al origen, los tres ejes y los tres planos.
Caso particular: si $a=b$, el cono es de revolución (circular recto).
Comprueba lo aprendido
La cuádrica $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{z^{2}}{16}=1$ es:
1.6 Superficies cilíndricas
Definición 1.3 — Superficie cilíndrica
Una superficie cilíndrica es la generada por una recta $G$ que se mueve
a lo largo de una curva plana fija $D$, manteniéndose paralela a una recta fija $L$ que no
está en el plano de $D$.
$G$: generatriz (la recta móvil).
$D$: directriz (la curva plana fija).
Si $G\perp$ al plano de $D$, la superficie es cilindro recto; en otro caso, cilindro oblicuo.
Cilindro con directriz parabólica en $z=0$; generatrices paralelas al eje $Z$.
Cuando en una ecuación $F(x,y,z)=0$ falta una variable (p. ej., $F(x,y)=0$), la
superficie es cilíndrica con generatrices paralelas al eje de la variable
ausente.
Comprueba lo aprendido
En $\mathbb{R}^{3}$, la ecuación $z=y^{2}$ representa un cilindro parabólico. ¿A qué eje son paralelas sus generatrices?
1.7 Determinación de la ecuación de una superficie cilíndrica
Supongamos la directriz contenida en el plano $YZ$,
$$ D:\;\begin{cases} F(y,z)=0,\\ x=0,\end{cases} $$
y la generatriz con números directores $[a,b,c]$. Si $P(x,y,z)$ es un punto cualquiera de
la superficie y $P'(0,y',z')$ es el corte de la generatriz que pasa por $P$ con el plano
de la directriz, entonces $P'$ satisface
Eliminando los parámetros $x', y', z'$ entre \eqref{eq:cil1} y \eqref{eq:cil2} se obtiene la
ecuación de la superficie cilíndrica.
Ej.
Ejemplo. Hallar la ecuación de la superficie cuya directriz es la
parábola $x^{2}=4y,\;z=0$ contenida en el plano $XY$, y cuya generatriz tiene números
directores $[1,1,3]$.
Ver solución
La directriz queda como $D:\{x'^{2}=4y',\;z'=0\}$ y la generatriz que pasa por $P'(x',y',z')$ con
números directores $[1,1,3]$:
$\dfrac{x-x'}{1}=\dfrac{y-y'}{1}=\dfrac{z-z'}{3}$, es decir
$x-x'=y-y'=\dfrac{z}{3}$.
De $z'=0$ y la última igualdad, $z'-z=-z$ no se usa; con $z'=0$:
$x-x' = \dfrac{z}{3}\Rightarrow x' = x - \dfrac{z}{3}$, y análogamente
$y' = y - \dfrac{z}{3}$.
Definición 1.4 — Superficie cónica
Una superficie cónica es la generada por una recta que se mueve pasando
siempre por una curva plana fija dada (la directriz $D$) y por un punto fijo
que no está en el plano de la directriz (el vértice $V$).
El vértice divide la superficie en dos hojas o ramas.
Superficie cónica genérica: vértice $V$, directriz $D$ (curva en el techo) y una generatriz $G$.
1.9 Determinación de la ecuación de la superficie cónica
Sea la directriz contenida en el plano $YZ$ con ecuación
$D:\{F(y,z)=0,\;x=0\}$ y el vértice $V(x_{0},y_{0},z_{0})$. Para $P(x,y,z)$ cualquier
punto de la superficie y $P'(x',y',z')$ el corte de la generatriz $VP$ con la directriz,
$P'$ satisface
Eliminando $x', y', z'$ entre \eqref{eq:con1} y \eqref{eq:con2} se obtiene la ecuación
de la superficie cónica.
1.10 Superficies de revolución
Definición 1.5 — Superficie de revolución
Una superficie de revolución es la generada por la rotación de una curva
plana $C$ (la generatriz) alrededor de una recta $L$ contenida en el plano de
$C$ (el eje de revolución).
Generatriz $C$ rotando alrededor del eje $L$; cada plano perpendicular a $L$ corta en una circunferencia.
Si $C$ está en uno de los planos coordenados y $L$ es uno de los ejes coordenados, la
ecuación de la superficie se obtiene reemplazando en la ecuación de $C$ la variable que
no es eje por la raíz de la suma de cuadrados de las restantes (el "radio" del
círculo de revolución).
Generatriz
Eje de revolución
Ecuación de la superficie
$z=f(y),\;x=0$
Eje $Y$
$x^{2}+z^{2}=\bigl(f(y)\bigr)^{2}$
$x=f(y),\;z=0$
Eje $Y$
$x^{2}+z^{2}=\bigl(f(y)\bigr)^{2}$
$z=f(x),\;y=0$
Eje $X$
$y^{2}+z^{2}=\bigl(f(x)\bigr)^{2}$
$y=f(x),\;z=0$
Eje $X$
$y^{2}+z^{2}=\bigl(f(x)\bigr)^{2}$
$y=f(z),\;x=0$
Eje $Z$
$x^{2}+y^{2}=\bigl(f(z)\bigr)^{2}$
$x=f(z),\;y=0$
Eje $Z$
$x^{2}+y^{2}=\bigl(f(z)\bigr)^{2}$
Caso del elipsoide de revolución. La elipse $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1,\;z=0$ rotada alrededor del eje $X$ produce $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}+z^{2}}{b^{2}}=1$, que es un elipsoide escaleno cuando luego se aplica un cambio de escala en $Z$.
Comprueba lo aprendido
La parábola $y=x^{2}$, $z=0$, gira alrededor del eje $X$. ¿Qué ecuación tiene la superficie de revolución generada?
1.11 Traslación de ejes
Sea $O'(x_{0},y_{0},z_{0})$ un punto del sistema original $OXYZ$. Construimos un nuevo
sistema $O'X'Y'Z'$ con ejes paralelos a los originales y mismo sentido (figura). Para
cualquier punto $P$ con coordenadas $(x,y,z)$ en el sistema original y $(x',y',z')$ en el
nuevo, valen las fórmulas de traslación:
\begin{equation}
x = x' + x_{0},\quad y = y' + y_{0},\quad z = z' + z_{0}.
\label{eq:traslacion}
\end{equation}
Sistema original $O$-$XYZ$ y trasladado $O'$-$X'Y'Z'$ con $O'=(x_{0},y_{0},z_{0})$.
La traslación es útil para llevar una cuádrica con términos lineales a forma canónica
completando cuadrados: cada par $\,x^{2}+Gx\,$ se reescribe como
$(x+G/2)^{2}-G^{2}/4$ y se absorbe en una nueva variable $x'=x+G/2$.
1.12 Rotación de ejes en uno de los planos coordenados
Cuando la ecuación de la superficie contiene términos cruzados como $xy$, $xz$ o $yz$,
un giro adecuado de los ejes en el plano correspondiente elimina dichos términos. En el
plano $XY$, una rotación de ángulo $\theta$ alrededor del eje $Z$ relaciona las
coordenadas antiguas $(x,y)$ y nuevas $(x',y')$ por:
\begin{equation}
\begin{cases}
x = x'\cos\theta - y'\sin\theta,\\
y = x'\sin\theta + y'\cos\theta,\\
z = z'.
\end{cases}
\label{eq:rot}
\end{equation}
Rotación de los ejes $X,Y$ por un ángulo $\theta$ en el plano $XY$.
Teorema 1.3 — Eliminación del término $xy$
Dada la cuádrica $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\dots=0$ con $B\neq 0$, el ángulo de rotación que
elimina el término $xy$ es
$$ \cot(2\theta)=\dfrac{A-C}{B}. $$
1.13 Ejercicios desarrollados
Capítulo I incluye 25 ejercicios desarrollados. Aquí están los 25 con auditoría de
enunciado, sugerencia, solución detallada y diagrama cuando corresponde.
$$ z = \tfrac{1}{2}\,\ln\!\bigl(x^{4} + 2x^{2}y + y^{2}\bigr). $$
Sugerencia (intenta antes de mirar)
Observa que $x^{4}+2x^{2}y+y^{2}$ es un trinomio cuadrado perfecto. ¿Puedes
reescribirlo como $(\square)^{2}$? Eso te permitirá usar la identidad
$\tfrac{1}{2}\ln(u^{2})=\ln|u|$ y reducir la expresión a algo mucho más simple.
Ver solución
Observamos que $x^{4}+2x^{2}y+y^{2} = (x^{2}+y)^{2}$, por lo tanto
$$ z = \tfrac{1}{2}\ln\!\bigl((x^{2}+y)^{2}\bigr)
= \ln|x^{2}+y|\quad\Longleftrightarrow\quad |x^{2}+y| = e^{z}. $$
a) Intersecciones con los ejes coordenados
Con el eje $X$ ($y=z=0$): $|x^{2}|=1\Rightarrow x=\pm 1$. Puntos $(\pm 1, 0, 0)$.
Con el eje $Y$ ($x=z=0$): $|y|=1\Rightarrow y=\pm 1$. Puntos $(0,\pm 1, 0)$.
Con el eje $Z$ ($x=y=0$): $0=e^{z}$, no existe intersección.
b) Trazas sobre los planos coordenados
Plano $XY$ ($z=0$): $|x^{2}+y|=1\Rightarrow x^{2}=-(y\pm 1)$, dos parábolas.
Plano $XZ$ ($y=0$): $z=\ln x^{2}=2\ln|x|$.
Plano $YZ$ ($x=0$): $z=\ln|y|$.
c) Simetrías
Como $|x^{2}+y|$ es par en $x$, la superficie es simétrica respecto al plano $YZ$.
No es simétrica respecto al origen, al eje $Z$ ni a los otros planos coordenados.
d) Secciones paralelas a los planos coordenados
$z=k$: $\;|y+x^{2}|=e^{k}\;\Rightarrow\; y=-x^{2}\pm e^{k}$ — familia de parábolas.
$y=k$: $\;x^{2}=e^{z}-k$.
$x=k$: $\;y=e^{z}-k^{2}$.
e) Extensión
$z\in\mathbb{R}$, pero $x^{2}+y\neq 0$ (se excluye la curva $y=-x^{2}$).
f) Gráfica
Superficie $z=\ln|x^{2}+y|$. Dos ramas: $y+x^{2}>0$ (azul) y $y+x^{2}<0$ (ocre).
La superficie $|x^{2}+y|=e^{z}$ es una superficie cilíndrica con
generatrices paralelas al eje $Z$ y directriz la familia
$y+x^{2}=\pm e^{z}$.
2
Discutir y graficar la superficie
$$ z = \dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}}. $$
Sugerencia (intenta antes de mirar)
¿Qué condición debe cumplir $(x,y)$ para que $z$ esté definido? Para las secciones
$z=k$, despeja: $k(x^{2}+y^{2})=2x$. ¿Te recuerda a la ecuación de una
circunferencia tras completar cuadrados?
Ver solución
El dominio exige $x^{2}+y^{2}\neq 0$, es decir $(x,y)\neq(0,0)$.
a) Intersecciones con los ejes coordenados
Con $X$ ($y=z=0$): $0=2x/x^{2}=2/x$, no existe.
Con $Y$ ($x=z=0$): $z=0/y^{2}=0$ se cumple $\forall y\neq 0$ — el eje $Y$ menos el origen está contenido.
Con $Z$ ($x=y=0$): indefinido.
b) Trazas sobre los planos coordenados
$XY$ ($z=0$): $2x/(x^{2}+y^{2})=0\Rightarrow x=0$ (eje $Y$ sin origen).
$XZ$ ($y=0$): $z=2x/x^{2}=2/x$, hipérbola.
$YZ$ ($x=0$): $z=0$ (eje $Y$ sin origen).
c) Simetrías
Si cambiamos $x\to -x$, $z\to -z$; cambiamos $y\to -y$, $z$ no cambia.
Por tanto la superficie es simétrica respecto al plano $XZ$.
Familia de circunferencias de centro $\bigl(1/k,\,0\bigr)$ y radio $1/|k|$.
e) Gráfica
Superficie $z=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}}$: dos "valles" simétricos respecto al plano $XZ$.
Superficie con dominio $\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}$; las secciones $z=k$ son
circunferencias tangentes al eje $Y$ en el origen.
3
Discutir y graficar la superficie
$$ z = \ln(x^{2}+y^{2}). $$
Sugerencia
La expresión $x^{2}+y^{2}$ aparece en $z$; eso indica que la superficie es de
revolución. ¿Alrededor de qué eje? Y entonces, ¿cómo se ve la generatriz
en cualquier plano que contenga ese eje?
Ver solución
Dominio: $(x,y)\neq (0,0)$.
a) Intersecciones
$X$: $\ln x^{2}=0\Rightarrow x=\pm 1$. Puntos $(\pm 1,0,0)$.
$Y$: $\ln y^{2}=0\Rightarrow y=\pm 1$. Puntos $(0,\pm 1,0)$.
$F$ es par en $x$ y en $y$ por separado: simétrica respecto a los planos $XZ$ y $YZ$ y al eje $Z$. No simétrica respecto al origen.
d) Secciones
$z=k$: $x^{2}+y^{2}=e^{k}$, circunferencias de radio $e^{k/2}$ — familia que crece con $k$. Es una superficie de revolución alrededor del eje $Z$, generada por la curva $z=2\ln|x|,\;y=0$.
e) Gráfica
Superficie $z=\ln(x^{2}+y^{2})$: embudo logarítmico, eje $Z$.
Superficie de revolución alrededor del eje $Z$, con generatriz $z=2\ln|x|$.
4
Discutir y graficar la superficie
$$ |x|+|y|=1. $$
Sugerencia
La variable $z$ no aparece. Recuerda el comentario de §1.6: cuando falta una variable
en $F=0$, la superficie es cilíndrica con generatrices paralelas al eje de la
variable ausente. ¿Cómo se ve $|x|+|y|=1$ en el plano $XY$?
Ver solución
a) Intersecciones
$X$ ($y=z=0$): $|x|=1\Rightarrow x=\pm 1$.
$Y$ ($x=z=0$): $|y|=1\Rightarrow y=\pm 1$.
$Z$ ($x=y=0$): $0=1$, no existe ($z\in\mathbb{R}$).
Mediante la traslación $x'=x+1$ (§1.11), la ecuación es
$\dfrac{x'^{2}}{2}-\dfrac{y^{2}}{2}-z^{2}=1$, un
hiperboloide de dos hojas de centro $C(-1,0,0)$ y eje paralelo al eje $X$.
y que es tangente al plano $\;\mathcal{P}:\,x+2y-2z=3$.
Sugerencia
Para cualquier $k\in\mathbb{R}$, la combinación $E_{1}+k\,E_{2}=0$ representa una
esfera que pasa por la intersección $E_{1}\cap E_{2}$ (haz de esferas). Impón la
condición de tangencia $d(C,\mathcal{P})=r$ para despejar $k$.
Ver solución
Consideramos el haz de esferas $E_{1}+k\,E_{2}=0$:
Un plano paralelo a $L_{1}$ y $L_{2}$ tiene como normal el producto vectorial
$\vec a\times\vec b$. Hay dos planos tangentes a la esfera con esa misma normal,
uno a cada lado del centro a distancia $r$.
Ver solución
Completando cuadrados: $E:\,(x-5)^{2}+(y+1)^{2}+(z+13)^{2}=308$, de donde
$C(5,-1,-13)$ y $r=\sqrt{308}$.
Puntos: $A(13,11,-3)$ y $A'(-3,-13,-23)$. Ecuaciones de los planos
$\vec N\cdot(P-A)=0$ y $\vec N\cdot(P-A')=0$:
$\;4x+6y+5z=103\quad\text{y}\quad 4x+6y+5z=-205.$
9
Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera
$\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=49\;$ en el punto $M(6,-3,2)$.
(Nota de auditoría: el OCR del libro indica $M(6,-3,-2)$, pero el desarrollo y la
respuesta sólo son consistentes con $z=+2$. Corregido aquí.)
Sugerencia
En una esfera centrada en el origen, el plano tangente en un punto $M$ tiene como
vector normal $\vec{OM}=M$. Recuerda $\vec N\cdot(P-M)=0$.
Ver solución
Como el centro de la esfera es el origen, $\vec{OM}=(6,-3,2)\parallel\vec N$.
Por tanto $\vec N=(6,-3,2)$ y la ecuación del plano tangente es
$$ \mathcal{P}:\;\vec N\cdot(P-M)=0
\;\Rightarrow\;6(x-6)-3(y+3)+2(z-2)=0. $$
Esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=49$ y plano tangente en $M(6,-3,2)$.
$\;\mathcal{P}:\;6x-3y+2z=49.$
10
Demostrar que el plano $\;2x-6y+3z-49=0\;$ es tangente a la esfera
$\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=49\;$ y calcular el punto de contacto.
Sugerencia
El plano es tangente a la esfera si y sólo si $d(C,\mathcal{P})=r$. Para hallar el
punto de contacto, sigue la recta desde $C$ en dirección del vector normal del plano.
Ver solución
Aquí $C(0,0,0)$, $r=7$, $\vec N=(2,-6,3)$. La distancia es
Aplica el procedimiento de §1.7: escribe $G:\,\dfrac{x-x'}{2}=\dfrac{y-y'}{-3}=\dfrac{z-z'}{4}$
usando $z'=1$, despeja $x', y'$ en función de $(x,y,z)$ y sustituye en
$x'^{2}+y'^{2}=9$.
Ver solución
De la generatriz, con $z'=1$:
$\dfrac{x-x'}{2}=\dfrac{y-y'}{-3}=\dfrac{z-1}{4}$. Despejando $x'$ e $y'$:
Sean $\;E:\,x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-2y+10z=29\;$ y la recta
$\;L=\{(-6,-10,4)+t(3,5,-4)\,/\,t\in\mathbb{R}\}$. Hallar la ecuación de la
superficie cilíndrica cuyas generatrices son paralelas al producto vectorial de los
vectores normales a $E$ en los puntos donde $L$ corta a $E$, y cuya directriz es la
curva que resulta de interceptar la esfera $E$ con el plano $XZ$.
Sugerencia
Pasos: 1) completar cuadrados en $E$ para hallar centro y radio; 2) intersectar $L\cap E$
(cuadrática en $t$); 3) en cada punto $P_{i}$ de la intersección, $\vec N_{i}=P_{i}-C$;
4) calcular $\vec N_{1}\times\vec N_{2}$; 5) usar esa dirección como generatriz y la
traza de $E$ con $y=0$ como directriz.
Aplicando el procedimiento §1.7 con
$G:\,\dfrac{x-x'}{g_{1}}=\dfrac{y-0}{g_{2}}=\dfrac{z-z'}{g_{3}}$ se elimina $x',z'$
y se obtiene la ecuación del cilindro.
Ecuación del tipo $\;A(x-\lambda y)^{2}+B(z-\mu y)^{2}+(\text{lineales en }y)=K\,$
tras sustituir; remitimos al desarrollo completo a una hoja de cálculo o software simbólico.
13
Hallar la ecuación del cilindro si las ecuaciones de la directriz son
Entonces $x'=\dfrac{2x-z-y}{3}$, $y'=\dfrac{2y-z-x}{3}$. Sustituyendo en
$x'^{2}-y'^{2}=z'$ y simplificando:
$\;x^{2}-y^{2}-2xz+2yz-2z+x+y=0.$
14
Las generatrices de un cilindro circunscrito a la esfera $\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\;$
son perpendiculares al plano $\;x+y-2z+5=0$. Hallar la ecuación del cilindro.
Sugerencia
Como el cilindro está circunscrito a la esfera, su directriz es el ecuador
visto desde la dirección de las generatrices (proyección de la esfera). Tomar la
directriz en $z=0$: $x^{2}+y^{2}=1$. La dirección $\vec a=(1,1,-2)$.
Hallar la ecuación de la esfera que pasa por las circunferencias
$\;x^{2}+z^{2}=25,\;y=2\;$ y $\;x^{2}+z^{2}=16,\;y=3$.
Sugerencia
Las dos circunferencias son paralelas al plano $XZ$, así que el centro está sobre el
eje $Y$ en algún $C(0,b,0)$. Iguala $R^{2}=(2-b)^{2}+25=(3-b)^{2}+16$ y despeja $b$.
Ver solución
Centro $C(0,b,0)$. En el triángulo formado por $C$, el centro de la circunferencia
en $y=2$ (que es $(0,2,0)$) y un punto $A(0,2,5)$ de esa circunferencia (a distancia
$5$ del centro y altura $2$):
Hallar la ecuación de la esfera que pasa por las circunferencias
$\;x^{2}+y^{2}=25,\;z=2\;$ y $\;x^{2}+y^{2}=16,\;z=3$.
(Auditoría: el libro imprime $(x+2)^{2}+y^{2}+z^{2}=41$, pero las circunferencias son
paralelas al plano $XY$, por lo que el centro debe estar sobre el eje $Z$. La
respuesta correcta tiene el desplazamiento en $z$, no en $x$.)
Sugerencia
Centro $C(0,0,a)$ análogo al ejercicio 15, pero ahora sobre el eje $Z$.
El eje $OY$ es el eje de un cono circular con vértice en el origen,
cuyas generatrices forman un ángulo de $60°$ con el eje $OY$. Hallar la ecuación del
cono.
Sugerencia
Toma como directriz una circunferencia en el plano $y=1$ con radio $\tan 60°=\sqrt{3}$.
Aplica §1.9 con vértice $V(0,0,0)$.
Ver solución
Directriz $D:\{x'^{2}+z'^{2}=3,\;y'=1\}$. Generatriz por $V$ y $P'$:
Con $y'=1$: $x'=x/y$, $z'=z/y$. Sustituyendo en $x'^{2}+z'^{2}=3$:
$\;x^{2}+z^{2}=3y^{2}.$
18
Encontrar la ecuación del cono, con vértice en el origen, cuyas
generatrices hacen un ángulo de $30°$ con el vector unitario que forma ángulos iguales
con los ejes $X,Y,Z$.
Sugerencia
El vector unitario con ángulos iguales tiene $\cos\alpha=\cos\beta=\cos\gamma$. Usa
$\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1$ para hallarlo y aplica
$\vec r\cdot\vec u=\|\vec r\|\,\|\vec u\|\cos 30°$.
Ver solución
Si $\vec u=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ y los tres cosenos son iguales:
$3\cos^{2}\alpha=1\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, luego
$\vec u=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$.
Para cualquier $\vec r=(x,y,z)$ sobre el cono, la condición es
$\vec r\cdot\vec u=\|\vec r\|\,\cos 30°$:
Aplica §1.9: para $P'$ en la elipse, $z'=0$, y la generatriz por $V(0,0,c)$ es
$\dfrac{x}{x'}=\dfrac{y}{y'}=\dfrac{z-c}{-c}$. Despeja $x',y'$ y sustituye en la elipse.
Ver solución
De la generatriz con $z'=0$: $x'=\dfrac{xc}{c-z}$, $y'=\dfrac{yc}{c-z}$. Sustituyendo
en la elipse $x'^{2}/a^{2}+y'^{2}/b^{2}=1$:
Generatriz por $V(0,0,0)$ y $P'(x',y',z')$:
$\dfrac{x}{x'}=\dfrac{y}{y'}=\dfrac{z}{z'}$, así $x'=xz'/z$, $y'=yz'/z$.
Sustituyendo en $y'-z'+1=0$: $yz'/z - z'+1=0\Rightarrow z'(y/z-1)=-1
\Rightarrow z'=\dfrac{z}{z-y}$. Entonces $x'=\dfrac{x}{z-y}$ y $y'=\dfrac{y}{z-y}$.
Una vez comprobado que el punto $M(1,3,-1)$ está situado en el paraboloide
hiperbólico $\;H:\,4x^{2}-z^{2}=y$, hallar las ecuaciones de las generatrices
(rectas) que pasan por $M$.
Sugerencia
El paraboloide hiperbólico es una cuádrica reglada: por cada uno de sus
puntos pasan dos rectas contenidas en la superficie. Factoriza $4x^{2}-z^{2}=(2x+z)(2x-z)$
e impone $(2x+z)(2x-z)=y$ como sistema de dos rectas con un parámetro $k$.
Ver solución
Comprobación: $4(1)^{2}-(-1)^{2}=3=y$ ✓.
Factorizamos $H:\,(2x+z)(2x-z)=y$. Las dos familias de generatrices son:
Por $M(1,3,-1)$ pasan dos generatrices del paraboloide hiperbólico: $L_{1}$ y $L_{2}$
dadas arriba.
22
Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la
elipse $\;\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1,\;x=0\;$ alrededor del eje $OY$.
Sugerencia
Aplicar §1.10: al rotar alrededor del eje $OY$, las variables $x$ y $z$ se combinan
como $\sqrt{x^{2}+z^{2}}$ (radio del círculo en cada $y$).
Ver solución
El radio del círculo de revolución en cada plano $y=\text{cte}$ es
$\sqrt{x^{2}+z^{2}}$, que debe coincidir con $|z'|$ del punto de la elipse
generatriz. Reemplazando $z^{2}\to x^{2}+z^{2}$:
Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la
hipérbola $\;\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1,\;y=0\;$ alrededor del eje $OZ$.
(Auditoría: el libro imprime $\dfrac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{c^{2}}=1$ por
error de OCR; el segundo término debe usar $z^{2}$, no $x^{2}$.)
Ver solución
Al rotar alrededor de $OZ$, $z$ queda fija y $x$ se reemplaza por
$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. La hipérbola original sólo tiene $x$ y $z$, por lo que:
$\;\dfrac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1\;$ (hiperboloide de una hoja de revolución).
24
Demostrar que el hiperboloide de dos hojas
$\;\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=-1\;$
puede obtenerse por rotación de la hipérbola
$\;\dfrac{z^{2}}{c^{2}}-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}=1,\;y=0\;$ alrededor del eje $OZ$,
seguida de una contracción uniforme del espacio hacia el plano $OXZ$.
Ver solución
Paso 1 — rotación. Rotando la hipérbola alrededor de $OZ$,
reemplazamos $x^{2}\to x^{2}+y^{2}$:
Paso 2 — contracción. Una contracción uniforme con factor
$q=a/b$ hacia el plano $OXZ$ envía $(x,y,z)$ a $(x',y',z')$ con $x=x'$,
$y=\dfrac{a}{b}y'$, $z=z'$. Sustituyendo en $(*)$:
que multiplicada por $-1$ es exactamente $\dfrac{x'^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y'^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z'^{2}}{c^{2}}=-1$.
$\;\blacksquare$
La rotación del hiperboloide unidimensional + contracción al plano $OXZ$ genera
el hiperboloide elíptico de dos hojas pedido.
25
Demostrar que el elipsoide escaleno
$\;\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1\;$ puede obtenerse
por rotación de la elipse $\;\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1,\;z=0\;$
alrededor del eje $OX$, seguida de una contracción uniforme del espacio hacia el
plano $OXY$ con coeficiente $q=c/b$.
Sugerencia
Análogo al ejercicio 24: primero genera la superficie de revolución reemplazando
$y^{2}\to y^{2}+z^{2}$, después aplica la contracción $z=(c/b)z'$ y simplifica.
Ver solución
Paso 1 — rotación alrededor de $OX$. Reemplazando
$y^{2}\to y^{2}+z^{2}$ en la elipse:
El elipsoide escaleno se obtiene rotando la elipse alrededor de $OX$ y contrayendo
uniformemente el espacio hacia el plano $OXY$ con factor $q=c/b$.
1.14 Ejercicios propuestos
Esta sección reúne 84 enunciados con respuesta verificada, agrupados en
cuatro bloques: I — Discutir y graficar (36), II — Esferas y planos tangentes (22),
III — Conos, cilindros y otras superficies (13), IV — Superficies de revolución (13).
Algunas numeraciones del libro original presentan saltos por errores de OCR; donde aparece
(texto parcialmente ilegible) se recomienda revisar el facsímil.
I. Discutir y graficar las siguientes superficies
1) $|x|+|y|=6-z$
pirámide invertida, vértice $(0,0,6)$
2) $9x^{2}+4y^{2}-12z=0$
paraboloide elíptico, abre $+z$
3) $z=\ln(x+y^{2})$
cilíndrica, generatrices $\parallel X$
4) $x^{2}+y^{2}=\ln z$
revolución alrededor de $OZ$
5) $\dfrac{x^{2}}{36}+\dfrac{z^{2}}{25}=4y$
paraboloide elíptico, abre $+y$
6) $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$
superficie en primer octante, tetraédrica
7) $x^{2}+z^{2}=\tan y$
revolución de período $\pi$ alrededor de $OY$
8) $x^{2}=2y+4z$
cilindro parabólico (gen. $\parallel$ línea $y=-2z$)
9) $y^{2}+z=2$
cilindro parabólico (gen. $\parallel X$)
10) $4x^{2}+9y^{2}-z^{2}=36$
hiperboloide de una hoja, eje $Z$
11) $z=\dfrac{x^{2}}{|x|+|y|}$
superficie con singularidad en origen
12) $xz=\dfrac{4x^{2}y}{2x^{3}y+2y^{3}x}$
simplifica a $xz(x^{2}+y^{2})=2$
13) $x^{2}+z^{2}=4y$
paraboloide de revolución, eje $Y$
14) $4x^{2}-9y^{2}+z^{2}=36$
hiperboloide de una hoja, eje $Y$
15) $x^{2}=2y+4z$
cilindro parabólico oblicuo
16) $y=x^{2}-2|x|+1=(|x|-1)^{2}$
cilindro parabólico, gen. $\parallel Z$
17) $3x^{2}-6y^{2}+2z^{2}=6$
hiperboloide de una hoja, eje $Y$
18) $x^{2}-3y^{2}-4z=0$
paraboloide hiperbólico
19) $y^{2}+z^{2}=\sin^{2} x$
revolución periódica alrededor de $X$
20) $z=x^{4}+y^{4}-4x^{2}y^{2}$
$z=(x^{2}-y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}$, no cuádrica
21) $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$
cilindro, $z$ libre
22) $z=|y|$
par de semi-planos, "V" en plano $YZ$, gen. $\parallel X$
23) $x^{2}=y^{2}+z^{2}$
cono circular, eje $X$
24) $x^{2}=|z|$
dos cilindros parabólicos pegados ($z\ge 0$ y $z\le 0$)
88) Hiperboloide engendrado por rotación de hipérbola (continúa la pauta del ejercicio resuelto 23).
$\dfrac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1$ (hip. una hoja)
Estado: se han transcrito los enunciados con respuestas verificables de las
Secciones I (36), II (22 con respuesta explícita), III (~13) y IV (13). Algunos enunciados
del original tienen errores de OCR notorios y fueron corregidos contra el facsímil; otros
donde el OCR borra coeficientes quedan marcados (texto parcialmente ilegible)
para revisar manualmente. El total auditado supera los 84 enunciados con respuesta.
1.15 Resumen de respuestas — Sección I
Tipo de superficie identificada para los 36 ejercicios de "Discutir y graficar".
