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Geometría Analítica Plana — Capítulo 1

Por Eduardo Espinoza Ramos · 10 capítulos · 1,100 ejercicios resueltos

Esta es la versión oficial y autorizada por el autor. Lee el Capítulo 1 completo y decide con confianza.

Capítulo 103

Gráfica de una Ecuación

Desarrollo de ejercicios propuestos

3.0 · Introducción


 • Discutir cada ejercicio determinando las intersecciones, simetría, extensión y asíntotas. Construir las gráficas correspondientes:

 • x2y−4y−x=0x^{2}y-4y - x = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=x2y−4y−x=0E(x,y) = x^{2}y - 4y-x = 0, la ecuación de la gráfica

 • Intersecciones con los eje coordenados:
• Con el eje X, hacemos y=0, donde al reemplazar en la ecuación se tiene: E(x,0)=x2(0)−4(0)−x=0E(x,0) = x^{2}(0) - 4(0) -x = 0 E(x,0)=−x=0⇒x=0E(x,0) = -x = 0 \Rightarrow x = 0 en la intersección con el eje x
• Con el eje y, hacemos x = 0, donde al reemplazar en la ecuación se tiene: E(0,y)=0(y)−4(y)−0=0E(0,y) = 0(y) - 4(y) - 0 = 0 E(0,y)=−4y=0⇒y=0E(0,y) = -4y = 0 \Rightarrow y = 0 en la intersección con el eje y

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x:
E(x,y)=x2y−4y−x⇒E(x,y)≠E(x,−y)E(x,−y)=−x2y+4y−x\begin{aligned} E(x,y) &= x^{2}y - 4y - x &\\ & & \Rightarrow E(x,y) \neq E(x, -y)\\ E(x,-y) &= -x^{2}y + 4y - x & \end{aligned}

 • Con respecto al eje y:
E(x,y)=x2y−4y−x⇒E(x,y)≠E(−x,y)E(−x,y)=x2y−4y+x\begin{aligned} E(x,y) &= x^{2}y - 4y - x &\\ & & \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x, y)\\ E(-x,y) &= x^{2}y - 4y + x & \end{aligned}
no es simétrica respecto al eje Y
• Con respecto al origen
E(x,y)=x2y−4y−x⇒E(x,y)≠E(−x,−y)E(−x,−y)=−x2y+4y+x\begin{aligned} E(x,y) &= x^{2}y - 4y - x &\\ & & \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x, -y)\\ E(-x,-y) &= - x^{2}y + 4y + x & \end{aligned}
no es simétrico al origen

 • Extensión

 • Despejado y; es decir: (x2−4)y−x=0(x^{2}-4)y-x = 0
y=xx2−4 extdedondeDE=R−{−2,2}y = \dfrac{x}{x^{2}-4} \ ext{ de donde }D_{E} = \mathbb{R} - \{-2,2\}

 • Despejando x, es decir: x2y−x−4y=0x^{2}y-x-4y = 0
x=1±1+16y22y, extdedondeRE=R−{0}x = \dfrac{1 \pm\sqrt{1+16y^{2}}}{2y}, \ ext{ de donde } \mathbb{R}_{E} = \mathbb{R} - \{0\}

 • Asíntotas
• Asíntotas verticales: y=xx2−4y = \dfrac{x}{x^{2} - 4}, de donde x2−4=0⇒x=±2x^{2}-4=0 \Rightarrow x = \pm 2 son asíntotas verticales.
• asíntotas horizontales: x=1±1+16y22yx = \dfrac{1\pm \sqrt{1+16y^{2}}}{2y}, de donde y =0 es una asíntota horizontal.

 • Tabulación

 • x2−xy+5y=0x^{2}-xy+5y = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=x2−xy+5y=0E(x,y)=x^{2}-xy+5y = 0, la ecuación de la gráfica

 • Intersección con los ejes coordenados:
• Con el eje x, hacemos y=0, donde al reemplazar en la ecuación E(x,0)=x2−x(0)+5(0)=0E(x,0)=x^{2}-x(0)+5(0)=0, E(x,0)=x2=0⇒x=0E(x,0)=x^{2} =0 \Rightarrow x = 0, es la intersección con el eje x
• Con el eje y, hacemos x=0x=0, donde al reemplazar es la ecuación E(0,y)=0−0y+5y=0E(0,y)=0-0y+5y = 0, E(0,y)=5y=0⇒y=0E(0,y)=5y =0 \Rightarrow y=0, es la intersección con el eje y.

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x
{E(x,y)=x2−xy+5yE(x,−y)=x2+xy−5y⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)=x^{2}-xy+5y\\ \\ E(x,-y) = x^{2}+xy -5y \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
no es simétrica con respecto al eje x
• Con respecto al eje y

 • Asíntotas
• asíntotas verticales: y=x2x−5y=\dfrac{x^{2}}{x-5}, de donde x−5=0⇒x=5x-5 = 0\Rightarrow x = 5 es una asintota vertical
• asíntotas horizontales: y=x2x−5y = \dfrac{x^{2}}{x-5}, m>n,2>1m>n, 2>1 no tiene asíntotas horizontales.
• asíntota oblicua: sea y=mx+by=mx+b, sean reemplazado en la ecuación x2−xy+5y=x2−x(mx+b)+5(mx+b)=0x^{2}-xy +5y = x^{2}-x(mx+b) + 5(mx+b) = 0 (1−m)x2+(5m−b)x+5b=0(1-m)x^{2}+(5m-b)x +5b = 0, de donde
{1−m=05m−b=0⇒{m=1b=5m⇒{m=1b=5\begin{cases} 1-m = 0\\ 5m -b = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m = 1\\ b = 5m \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m = 1\\ b = 5 \end{cases}
Luego y=x+5y = x+5 es la asíntota oblicua.

 • Tabulación:

 • xy−x+2y−1=0xy-x+2y-1 = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=xy−x+2y−1=0E(x,y)=xy-x+2y-1 = 0, la ecuación de la gráfica

 • Intersección con los ejes coordenados:
• Con el eje x, hacemos y=0, donde al reemplazar en la ecuación E(x,0)=x(0)−x+2(0)−1E(x,0)=x(0)-x+2(0)-1, es decir: E(x,0)=−x−1=0⇒x=−1E(x,0)=-x-1 =0 \Rightarrow x = -1, es la intersección con el eje x
• Con el eje y, hacemos x=0x=0, y reemplazar es la ecuación E(0,y)=0(y)−0+2y−1=0E(0,y)= 0(y) -0 +2y -1 = 0, de donde se tiene E(0,y)=2y−1=0⇒y=12E(0,y)= 2y -1 =0 \Rightarrow y= \dfrac{1}{2}, es la intersección con el eje y.

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x
{E(x,y)=xy−x+2y−1E(x,−y)=−xy−x−2y−1⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)=xy - x +2y -1\\ \\ E(x,-y) = -xy - x - 2y -1 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
no es simétrica con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=xy−x+2y−1E(−x,y)=−xy+x+2y−1⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)=xy - x +2y -1\\ \\ E(-x,y) = -xy + x +2y -1 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
no es simétrica con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=xy−x+2y−1E(−x,−y)=xy+x−2y−1⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)=xy - x +2y -1\\ \\ E(-x,-y) = xy + x -2y -1 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
no es simétrica con respecto al origen
• Extensión

 • despejamos y, es decir: xy−x+2y−1=0xy - x +2y -1 = 0 (x+2)y=x+1⇒y=x+1x+2(x+2)y = x +1 \Rightarrow y = \dfrac{x+1}{x+2}, de donde DE=R−{−2}D_{E} = \mathbb{R}-\{-2\}

 • despejando x, es decir: xy−x+2y−1=0xy - x +2y -1 = 0 x(y−1)=1−2y⇒x=1−2yy−1x(y-1) = 1 - 2y \Rightarrow x = \dfrac{1-2y}{y-1}, de donde DE=R−{1}D_{E} = \mathbb{R}-\{1\}

 • Asíntotas
• asíntotas verticales: y=x+1x+2y=\dfrac{x+1}{x+2}, de donde x+2=0⇒x=−2x+2 = 0\Rightarrow x = -2 es una asíntota vertical
• asíntotas horizontales: y=1−2yy−1y = \dfrac{1-2y}{y-1}, de donde y−1=0⇒y=1y-1 =0 \Rightarrow y = 1 es una asíntota horizontal.
• asíntota oblicua no hay:

 • Tabulación:

 • xy2−x−2y2+1=0xy^{2}-x-2y^{2}+1 = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=xy2−x−2y2+1=0E(x,y)=xy^{2}-x-2y^{2}+1 = 0, la ecuación de la gráfica

 • Intersección con los ejes coordenados:
• Con el eje x, hacemos y=0, donde al reemplazar en la ecuación E(x,0)=x(0)−x−0+1=0E(x,0)=x(0)-x-0+1 = 0, es decir: E(x,0)=−x+1=0⇒x=1E(x,0)=-x+1 =0 \Rightarrow x = 1, es la intersección con el eje x
• Con el eje y, hacemos x=0x=0, donde al reemplazar es la ecuación E(0,y)=0(y2)−0−2y2+1=0E(0,y)= 0(y^{2})-0-2y^{2}+1 = 0, es decir: E(0,y)=−2y2+1=0⇒y=±22E(0,y)=-2y^{2}+1 =0 \Rightarrow y=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}, es la intersección con el eje y.

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x
{E(x,y)=xy2−x−2y2+1=0E(x,−y)=xy2−x−2y2+1=0⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)=xy^{2}-x-2y^{2}+1 = 0\\ \\ E(x,-y) = xy^{2}-x-2y^{2}+1 = 0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
no es simétrica con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=xy2−x−2y2+1=0E(−x,y)=−xy2+x−2y2+1=0⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)=xy^{2}-x-2y^{2}+1 = 0\\ \\ E(-x,y) = -xy^{2}+x-2y^{2}+1 = 0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
no es simétrica con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=xy2−x−2y2+1=0E(−x,−y)=−xy2+x−2y2+1=0⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)=xy^{2}-x-2y^{2}+1 = 0\\ \\ E(-x,-y) = -xy^{2}+x-2y^{2}+1 = 0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
no tiene simetría con respecto al origen
• Extensión

 • despejamos y, es decir: xy2−x−2y2+1=0xy^{2}-x-2y^{2}+1 = 0
y2(x−2)=x−1⇒y=±x−1x−2y^{2}(x-2)= x-1 \Rightarrow y = \pm \sqrt{\dfrac{x-1}{x-2}}
y es real si x−1x−2≥0\dfrac{x-1}{x-2} \geq 0, por puntos críticos
x∈<−∞,1]∪<2,+∞]⇒RE=<−∞,1]∪<2,+∞]x\in <-\infty,1] \cup <2, +\infty] \Rightarrow \mathbb{R}_{E} = <-\infty,1] \cup <2,+\infty]

 • despejando x, es decir: xy2−x−2y2+1=0xy^{2}-x-2y^{2}+1 = 0
x(y2−1)=2y2−1⇒x=2y2−1y2−1x(y^{2}-1)=2y^{2}-1 \Rightarrow x = \dfrac{2y^{2}-1}{y^{2}-1}
x es real si y≠±1⇒RE=R−{−1,1}y \neq \pm 1 \Rightarrow \mathbb{R}_{E}= \mathbb{R}-\{-1,1\}

 • Asíntotas
• asíntotas verticales: y=±x−1x−2y=\pm \dfrac{\sqrt{x-1}}{x-2}, de donde x−2=0⇒x=2x-2 = 0\Rightarrow x = 2 es una asíntota vertical
• asíntotas horizontales: x=2y2−1y2−1x= \dfrac{2y^{2}-1}{y^{2}-1}, de donde y2−1=0⇒y=±y^{2}-1=0 \Rightarrow y = \pm son las asíntotas horizontales

 • Tabulación:

 • xy−x−4y+3=0xy-x-4y+3 = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=xy−x−4y+3=0E(x,y)=xy-x-4y+3 = 0, la ecuación de la gráfica

 • Intersección con los ejes coordenados:
• Con el eje x, hacemos y=0, donde al reemplazar en la ecuación E(x,0)=x(0)−x−4(0)+3E(x,0)=x(0)-x-4(0)+3, es decir: E(x,0)=−x+3=0⇒x=3E(x,0)=-x+3 =0 \Rightarrow x = 3, es la intersección con el eje x
• Con el eje y, hacemos x=0x=0, y reemplazar es la ecuación E(0,y)=(0)y−(0)−4y+3=0E(0,y)= (0)y-(0)-4y+3 = 0, es decir E(0,y)=−4y+3=0⇒y=34E(0,y)= -4y +3 =0 \Rightarrow y= \dfrac{3}{4}, es la intersección con el eje y.

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x
{E(x,y)=xy−x−4y+3E(x,−y)=xy−x+4y+3⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)=xy-x-4y+3\\ \\ E(x,-y) = xy-x+4y+3 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
no es simétrica con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=xy−x−4y+3E(−x,y)=−xy+x−4y+3⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)=xy-x-4y+3\\ \\ E(-x,y) = -xy+x-4y+3 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
no es simétrica con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=xy−x−4y+3E(−x,−y)=xy+x+4y+3⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)=xy-x-4y+3\\ \\ E(-x,-y) = xy+x+4y+3 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
no es simétrica con respecto al origen
• Extensión

 • despejamos y, es decir: xy−x−4y+3=0xy-x-4y+3= 0 (x−4)y=x−3⇒y=x−3x−4(x-4)y = x -3 \Rightarrow y = \dfrac{x-3}{x-4}, de donde DE=R−{4}D_{E} = \mathbb{R}-\{4\}

 • despejando x, es decir: xy−x−4y+3=0xy-x-4y+3 = 0 x(y−1)=4y−3⇒x=4y−3y−1x(y-1) = 4y-3 \Rightarrow x = \dfrac{4y-3}{y-1}, de donde DE=R−{1}D_{E} = \mathbb{R}-\{1\}

 • Asíntotas
• asíntotas verticales: y=x−3x−4y=\dfrac{x-3}{x-4}, de donde se tiene: x−4=0⇒x=4x-4 = 0\Rightarrow x = 4 es una asíntota vertical
• asíntotas horizontales: y=4y−3y−1y = \dfrac{4y-3}{y-1}, de donde y−1=0⇒y=1y-1 =0 \Rightarrow y = 1 es una asíntota horizontal.

 • Tabulación:

 • x2−xy+y2=12x^{2}-xy + y^{2} =12
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=x2−xy+y2−12=0E(x,y)=x^{2}-xy + y^{2} - 12 = 0, la ecuación de la gráfica

 • Intersección con los ejes coordenados:
• Con el eje x, hacemos y=0, donde al reemplazar en la ecuación E(x,0)=x2−x(0)+(0)2−12E(x,0)=x^{2}-x (0) + (0)^{2} - 12, es decir: E(x,0)=x2−12=0⇒x=±23E(x,0)=x^{2}-12 =0 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{3}, es la intersección con el eje x
• Con el eje y, hacemos x=0x=0, y reemplazar es la ecuación E(0,y)=(0)2−(0)y+y2−12=0E(0,y)= (0)^{2}-(0)y + y^{2} - 12 = 0, es decir E(0,y)=y2−12=0⇒y=±23E(0,y)= y^{2} - 12 = 0 \Rightarrow y= \pm 2\sqrt{3}, es la intersección con el eje y.

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x
{E(x,y)=x2−xy+y2−12E(x,−y)=x2+xy+y2−12⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)=x^{2}-xy + y^{2} - 12\\ \\ E(x,-y) = x^{2}+xy + y^{2} - 12 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
no es simétrica con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=x2−xy+y2−12E(−x,y)=x2+xy+y2−12⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)=x^{2}-xy + y^{2} - 12\\ \\ E(-x,y) = x^{2}+xy + y^{2} - 12 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
no es simétrica con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=x2−xy+y2−12E(−x,−y)=x2−xy+y2−12⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)=x^{2}-xy + y^{2} - 12\\ \\ E(-x,-y) = x^{2}-xy + y^{2} - 12 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
no es simétrica con respecto al origen
• Extensión

 • despejamos y, es decir: x2−xy+y2−12x^{2}-xy + y^{2} - 12
y=x±x2−4(x2−12)2=x±48−3x22y = \dfrac{x \pm \sqrt{x^{2}-4(x^{2}-12)}}{2} = \dfrac{x\pm \sqrt{48 - 3x^{2}}}{2}
y es real si 48−3x2≥0⇒x2≤16⇒−4≥x≥448 - 3x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} \leq 16 \Rightarrow -4 \geq x \geq 4, por lo tanto DE=[−4,4]D_{E} = [-4,4]

 • despejando x, es decir: x2−xy+y2−12=0x^{2}-xy + y^{2} - 12 = 0
y=x±x2−4(x2−12)2=x±48−3x22y = \dfrac{x \pm \sqrt{x^{2}-4(x^{2}-12)}}{2} = \dfrac{x\pm \sqrt{48 - 3x^{2}}}{2}
x es real si: 48−3y2≤0⇒y≥16⇒−4≥x≥448-3y^{2} \leq 0 \Rightarrow y \geq 16 \Rightarrow -4 \geq x \geq 4, de donde RE=[−4,4]R_{E} = [-4,4]

 • Asíntotas
• asíntotas verticales: y=x±48−3x22y=\dfrac{x\pm \sqrt{48 - 3x^{2}}}{2}, no hay asíntota
• asíntotas horizontales: E(x,y)=x2+yx+y2−12=0E(x,y) = x^{2}+yx + y^{2} - 12 = 0,
x=−y±y2−4(y2−12)2=−y±48−3y22, no hay asıˊntotax = \dfrac{-y \pm \sqrt{y^{2}-4(y^{2}-12)}}{2} = \dfrac{-y \pm \sqrt{48 - 3y^{2}}}{2} \text{, no hay asíntota}

 • Tabulación:

 • x2y2−x2−y=0x^{2}y^{2} - x^{2}-y = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=x2y2−x2−y=0E(x,y)=x^{2}y^{2} - x^{2}-y = 0, la ecuación de la gráfica

 • Intersección con los ejes coordenados:
• Con el eje x, hacemos y=0, donde al reemplazar en la ecuación E(x,0)=x2(0)2−x2−0=0E(x,0)=x^{2}(0)^{2} - x^{2}-0 = 0, es decir: E(x,0)=−x2=0⇒x=0E(x,0)=-x^{2}=0 \Rightarrow x = 0, es la intersección con el eje x
• Con el eje y, hacemos x=0x=0, donde al reemplazar es la ecuación E(0,y)=(0)2y2−(0)2−y=0E(0,y)= (0)^{2}y^{2} - (0)^{2}-y = 0, es decir: E(0,y)=−y=0⇒y=0E(0,y)=-y=0 \Rightarrow y=0, es la intersección con el eje y.

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x
{E(x,y)=x2y2−x2−yE(x,−y)=x2y2−x2+y=0⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y^{2} - x^{2}-y \\ \\ E(x,-y) = x^{2}y^{2} - x^{2}+y = 0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
no es simétrica con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=x2y2−x2−yE(−x,y)=x2y2−x2−y⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y^{2} - x^{2}-y \\ \\ E(-x,y) = x^{2}y^{2} - x^{2}-y \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
no es simétrica con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=x2y2−x2−yE(−x,−y)=x2y2−x2+y⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y^{2} - x^{2}-y \\ \\ E(-x,-y) = x^{2}y^{2} - x^{2}+y \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
no tiene simetría con respecto al origen
• Extensión

 • despejamos y, es decir: x2y2−x2−y=0x^{2}y^{2} - x^{2}-y = 0
x2y2−yx2=0⇒y=1±1−4x2(−x2)2x2x^{2}y^{2} - y x^{2} = 0 \Rightarrow y = \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4x^{2}(-x^{2})}}{2x^{2}}
y=1±1+4x42x2 ext,dedondeDE=R−{0}y = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+4x^{4}}}{2x^{2}}\ ext{, de donde} D_{E} = \mathbb{R}-\{0\}

 • despejando x: es decir x2y2−x2−y=0x^{2}y^{2}-x^{2}-y=0
x2(y2−1)=y⇒x=±yy2−1, extdedondex^{2}(y^{2}-1) = y \Rightarrow x = \pm \sqrt{\dfrac{y}{y^{2}-1}}, \ ext{ de donde}
yy2−1≤0⇒y(y+1)(y−1), por puntos crıˊticos\dfrac{y}{y^{2}-1} \leq 0 \Rightarrow \dfrac{y}{(y+1)(y-1)},\text{ por puntos críticos}

 • Asíntotas
• asíntotas verticales: y=1±1+4x42x2y=\dfrac{1 \pm \sqrt{1+4x^{4}}}{2x^{2}}, de donde 2x2=0⇒x=02x^{2} = 0\Rightarrow x = 0 es una asíntota vertical
• asíntotas horizontales: x=±yy2−1x= \pm\dfrac{y}{y^{2}-1}, de donde y2=±1⇒y=±y^{2}= \pm 1 \Rightarrow y = \pm son las asíntotas horizontales

 • Tabulación:

 • x2y2−4x2−4y2=0x^{2}y^{2}-4x^{2}-4y^{2} = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=x2y2−4x2−4y2=0E(x,y)=x^{2}y^{2}-4x^{2}-4y^{2} =0, la ecuación de la gráfica

 • Intersección con los ejes coordenados:
• Con el eje x, hacemos y=0, donde al reemplazar en la ecuación E(x,0)=x2(0)−4x−4(0)=0E(x,0)=x^{2}(0)-4x-4(0) = 0, es decir: E(x,0)=−4x2=0⇒x=0E(x,0)=-4x^{2} =0 \Rightarrow x = 0, es la intersección con el eje x
• Con el eje y, hacemos x=0x=0, donde al reemplazar es la ecuación E(0,y)=0(y2)−4(0)−4y2=0E(0,y)= 0(y^{2})-4(0)-4y^{2}= 0, es decir: E(0,y)=−4y2=0⇒y=0E(0,y)=-4y^{2} =0 \Rightarrow y=0, es la intersección con el eje y.

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x
{E(x,y)=x2y2−4x2−4y2E(x,−y)=x2y2−4x2−4y2⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y^{2}-4x^{2}-4y^{2}\\ \\ E(x,-y) = x^{2}y^{2}-4x^{2}-4y^{2} \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
no es simétrica con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=x2y2−4x2−4y2E(−x,y)=x2y2−4x2−4y2⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y^{2}-4x^{2}-4y^{2}\\ \\ E(-x,y) = x^{2}y^{2}-4x^{2}-4y^{2} \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
no es simétrica con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=x2y2−4x2−4y2E(−x,−y)=x2y2−4x2−4y2⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y^{2}-4x^{2}-4y^{2}\\ \\ E(-x,-y) = x^{2}y^{2}-4x^{2}-4y^{2} \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
no tiene simetría con respecto al origen
• Extensión

 • despejamos y, es decir: x2y2−4x2−4y2=0x^{2}y^{2}-4x^{2}-4y^{2}=0
y2(x2−4)=4x2⇒y=±4x2x2−4y^{2}(x^{2}-4)= 4x^{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\dfrac{4x^{2}}{x^{2}-4}}
y es real si 4x2x2−4≥0⇒1x2−4≥0\dfrac{4x^{2}}{x^{2}-4} \geq 0 \Rightarrow \dfrac{1}{x^{2}-4} \geq 0 1(x+2)(x−2)≥0\dfrac{1}{(x+2)(x-2)}\geq 0, por puntos críticos

• despejando x, es decir: x2y2−4x2−4y2=0x^{2}y^{2}-4x^{2}-4y^{2}=0
x2(y2−4)=4y2⇒x=±4y2−1y2−4x^{2}(y^{2}-4)=4y^{2} \Rightarrow x = \pm \dfrac{4y^{2}-1}{y^{2}-4}
x es real si 4y2y2−4≥0⇒1y2−4≥0\dfrac{4y^{2}}{y^{2}-4}\geq 0 \Rightarrow \dfrac{1}{y^{2}-4}\geq 0 1(y+2)(y−2)≥0\dfrac{1}{(y+2)(y-2)}\geq 0, por puntos críticos
de donde, RE\displaystyle \mathbb{R}_{E}=< −∞, −2> ∪ <2, ∞> ∪ {0}\displaystyle < \ -\infty ,\ -2 >\ \cup \ < 2,\ \infty >\ \cup \ \{0\}

 • Asíntotas
• asíntotas verticales: y=±4x2x2−4y=\pm \sqrt{\dfrac{4x^{2}}{x^{2}-4}}, de donde x2−4=0⇒x=±2x^{2}-4 = 0\Rightarrow x = \pm 2 es una asíntota vertical
• asíntotas horizontales: x=±4y2y2−4x=\pm \sqrt{\dfrac{4y^{2}}{y^{2}-4}}, de donde y2−4=0⇒y=±2y^{2}-4=0 \Rightarrow y = \pm 2 son las asíntotas horizontales

 • Tabulación:

 • y(x−3)x=x2−3x+2y(x-3)x = x^{2} -3x+2
SOLUCIÓN
y(x−3)x=x2−3x+2⇒x2y−3xy=x2−3x+2y(x-3)x = x^{2} -3x+2 \Rightarrow x^{2}y-3xy = x^{2} - 3x +2 Sea E(x,y)=x2y−3xy−x2+3x−2=0E(x,y)=x^{2}y-3xy -x^{2} +3x-2 = 0, la ecuación de la gráfica

 • Intersección con los ejes coordenados:
• Con el eje x, hacemos y=0, donde al reemplazar en la ecuación E(x,0)=(0)x2−3x(0)−x2+3x−2=0E(x,0)=(0)x^{2}-3x(0) -x^{2} +3x-2 = 0, es decir: E(x,0)=−x2+3x−2=0⇒x2−3x+2=0E(x,0)=-x^{2}+3x-2 =0 \Rightarrow x^{2} - 3x +2 = 0 factorizando. (x−2)(x−1)=0⇒x=1,x=2(x-2)(x-1) = 0 \Rightarrow x = 1, x = 2, son las intersecciones
• Con el eje y, hacemos x=0x=0, y reemplazar es la ecuación E(0,y)=(0)2y−3(0)y−(0)2+3(0)−2=0E(0,y)= (0)^{2}y-3(0)y -(0)^{2} +3(0)-2 = 0, es decir. E(0,y)=0E(0,y) = 0, ∄\nexists intersección

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x
{E(x,y)=x2y−3xy−x2+3x−2E(x,−y)=−x2y+3xy−x2+3x−2⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y-3xy -x^{2} +3x-2\\ \\ E(x,-y) = -x^{2}y+3xy -x^{2} +3x-2 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
no tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=x2y−3xy−x2+3x−2E(−x,y)=x2y+3xy−x2−3x−2⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y-3xy -x^{2} +3x-2\\ \\ E(-x,y) = x^{2}y+3xy -x^{2} -3x-2 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
no es simétrica con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=x2y−3xy−x2+3x−2E(−x,−y)=−x2y−3xy−x2−3x−2⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y-3xy -x^{2} +3x-2\\ \\ E(-x,-y) = -x^{2}y-3xy -x^{2} -3x-2 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
no tiene simetría con respecto al origen
• Extensión

 • despejamos y, es decir: x2y−3xy−x2+3x−2=0x^{2}y-3xy -x^{2} +3x-2=0
(x2−3x)y=x2−3x+2⇒y=x2−3x+2x2−3x(x^{2}-3x)y = x^{2}-3x+2 \Rightarrow y = \dfrac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-3x}
y es real si x2−3x≠0x^{2}-3x \neq 0, es decir x≠0x\neq 0, x=3x = 3 de donde D[E]=R−{0,3}\mathbb{D}_[E] = \mathbb{R} - \{0,3\}

 • despejando x, es decir: x2y−3xy−x2+3x−2=0x^{2}y-3xy -x^{2} +3x-2 = 0 (y−1)x2−(3y−3)x−2=0(y-1 )x^{2} - (3y-3)x - 2 = 0 x=3y−3±3y2−10y+192(y−1)x = \dfrac{3y-3 \pm \sqrt{3y^{2}-10y+19}}{2(y-1)}, de donde ER)R−{1}E_{R} ) \mathbb{R} - \{1\}

 • Asíntotas
• asíntotas verticales: y=x2−3x+2x2−3xy=\dfrac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-3x}, de donde x2−3x=0⇒x=0,x=3x^{2}-3x = 0 \Rightarrow x = 0, x = 3 son asíntotas verticales
• asíntotas horizontales: x=3y−3±3y2−10y+192(y−1)x= \dfrac{3y-3 \pm \sqrt{3y^{2}-10y+19}}{2(y-1)}, de donde 2(y−1)=0⇒y=12(y-1) = 0\Rightarrow y = 1 es una asíntota horizontal

 • Tabulación:

 • x2y2+4x2−4y2=0x^{2}y^{2} +4x^{2} - 4y^{2} = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=x2y2+4x2−4y2=0E(x,y) = x^{2}y^{2} +4x^{2} - 4y^{2} = 0, la ecuación de la gráfica

 • Intersección con los puntos coordenados:
• Con el eje x: hacemos y = 0, en la ecuación reemplazamos E(x,0)=x2(0)+4x2−4(0)=0E(x,0) = x^{2}(0) +4x^{2} - 4(0) = 0, de donde E(x,0)=4x2=0⇒x=0E(x,0) = 4x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 es la intersección con el eje x
• Con el eje y: hacemos x = 0, reemplazamos en la ecuación E(0,y)=(0)y2+4(0)−4y2=0E(0,y) = (0)y^{2} +4(0) - 4y^{2} = 0, de donde E(0,y)=−4y2=0⇒y=0E(0,y) = -4y^{2} = 0 \Rightarrow y = 0, en la intersección con el eje y

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x:
{E(x,y)=x2y2+4x2−4y2⇒E(x,y)≠E(x,−y)E(x,−y)=x2y2+4x2−4y2\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y^{2} +4x^{2} - 4y^{2}\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)\\ E(x,-y) = x^{2}y^{2} +4x^{2} - 4y^{2} \end{cases}
Tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=x2y2+4x2−4y2⇒E(x,y)≠E(−x,y)E(−x,y)=x2y2+4x2−4y2\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y^{2} +4x^{2} - 4y^{2}\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)\\ E(-x,y) = x^{2}y^{2} +4x^{2} - 4y^{2} \end{cases}
Tiene simetría con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=x2y2+4x2−4y2⇒E(x,y)≠E(−x,−y)E(−x,−y)=x2y2+4x2−4y2\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y^{2} +4x^{2} - 4y^{2}\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)\\ E(-x,-y) = x^{2}y^{2} +4x^{2} - 4y^{2} \end{cases}
Tiene simetría con respecto al origen

 • Extensión

 • Despejando y: x2y2+4x2−4y2=0x^{2}y^{2} +4x^{2} - 4y^{2} = 0 (x2−4)y2=−4x2⇒y=±−4x2x2−4(x^{2}-4)y^{2} = -4x^{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\dfrac{-4x^{2}}{x^{2}-4}} y es real si: −4x2x2−4≥0⇒x2x2−4≤0⇒1x2−4≤0\dfrac{-4x^{2}}{x^{2}-4} \geq 0 \Rightarrow \dfrac{x^{2}}{x^{2}-4} \leq 0 \Rightarrow \dfrac{1}{x^{2}-4}\leq 0 1(x+2)(x−2)≤0\dfrac{1}{(x+2)(x-2)}\leq 0, por puntos críticos se tiene:

• Asíntotas:
• Asíntotas verticales: y=±−4x2x2−4y = \pm \sqrt{\dfrac{-4x^{2}}{x^{2}-4}}, de donde x2−4=0⇒x=±2x^{2}-4=0 \Rightarrow x = \pm 2 son asíntotas verticales
• Asíntotas horizontales: x=±4y2y2+4x=\pm \sqrt{\dfrac{4y^{2}}{y^{2}+4}}, no tiene asíntota horizontal

 • Tabulación:

 • x2y−x2−4xy+4y=0x^{2}y - x^{2}-4xy +4y = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=x2y−x2−4xy+4y=0E(x,y) = x^{2}y - x^{2}-4xy +4y = 0, la ecuación de la gráfica

 • Intersección con los puntos coordenados:
• Con el eje x: hacemos y = 0, en la ecuación reemplazamos E(x,0)=x2(0)−x2−4x(0)+4(0)=0E(x,0) = x^{2}(0) - x^{2}-4x(0) +4(0) = 0, de donde E(x,0)=−x2=0⇒x=0E(x,0) = -x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 es la intersección con el eje x
• Con el eje y: hacemos x = 0, reemplazamos en la ecuación E(0,y)=(0)2y−(0)2−4(0)y+4y=0E(0,y) = (0)^{2}y - (0)^{2}-4(0)y +4y = 0, de donde E(0,y)=4y=0⇒y=0E(0,y) = 4y = 0 \Rightarrow y = 0, en la intersección con el eje y

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x:
{E(x,y)=x2y−x2−4xy+4y=0E(x,−y)=−x2y−x2+4xy−4y=0⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y - x^{2}-4xy +4y = 0\\ \\ E(x,-y) = -x^{2}y - x^{2}+4xy -4y = 0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
Tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=x2y−x2−4xy+4y=0E(−x,y)=x2y−x2+4xy+4y=0⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y - x^{2}-4xy +4y = 0\\ \\ E(-x,y) = x^{2}y - x^{2}+4xy +4y = 0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
Tiene simetría con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=x2y−x2−4xy+4y=0E(−x,−y)=−x2y−x2−4xy−4y=0⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y - x^{2}-4xy +4y = 0\\ \\ E(-x,-y) = -x^{2}y - x^{2}-4xy -4y = 0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
Tiene simetría con respecto al origen

 • Extensión
• Despejando y: x2y−x2−4xy+4y=0x^{2}y - x^{2}-4xy +4y = 0 (x2−4x+4)y=x2⇒y=x2(x−2)2(x^{2}-4x+4)y = x^{2} \Rightarrow y = \dfrac{x^{2}}{(x-2)^{2}}, de donde DE=R−{2}\mathbb{D}_{E} = \mathbb{R}-\{2\}
• Despejando x: Es decir x2y−x2−4xy+4y=0x^{2}y - x^{2}-4xy +4y = 0 x2(y−1)−4xy+4y=0x^{2}(y-1)-4xy +4y =0
x=4y±16y2−4(y−1)(4y)2(y−1)x = \dfrac{4y \pm \sqrt{16y^{2}-4(y-1)(4y)}}{2(y-1)}
x=4y±4y2−y2+y2(y−1)=2y±2yy−1x=\dfrac{4y \pm 4\sqrt{y^{2}-y^{2}+y}}{2(y-1)} = \dfrac{2y\pm 2\sqrt{y}}{y-1}
x es real si y≥0⇒RE=[0,∞>−{1}y\geq 0 \Rightarrow \mathbb{R}_{E} = [0,\infty> - \{1\}

 • Asíntotas:
• Asíntotas verticales: y=x2(x−2)2y = \dfrac{x^{2}}{(x-2)^{2}}, de donde (x−2)2=0⇒x=2(x-2)^{2} = 0 \Rightarrow x = 2 son asíntotas verticales
• Asíntotas horizontales: x=2y±2yy−1x=\dfrac{2y \pm 2\sqrt{y}}{y-1}, de donde y−1=0⇒y=1y-1 = 0 \Rightarrow y = 1es una asíntota horizontal

 • Tabulación:

 • (x+4)(x−1)y2=x2(x+4)(x-1) y^{2} = x^{2}
SOLUCIÓN
(x+4)(x−1)y2=x2⇒x2y2−x2+3xy2−4y2=0(x+4)(x-1)y^{2} = x^{2} \Rightarrow x^{2}y^{2}-x^{2}+3xy^{2}-4y^{2}=0 Sea E(x,y)=x2y2−x2+3xy2−4y2E(x,y) = x^{2}y^{2}-x^{2}+3xy^{2}-4y^{2}, la ecuación de la gráfica

 • Intersección con los puntos coordenados:
• Con el eje x: hacemos y = 0, en la ecuación reemplazamos E(x,0)=x2(0)2−x2+3x(0)2−4(0)2E(x,0) = x^{2}(0)^{2}-x^{2}+3x(0)^{2}-4(0)^{2}, de donde E(x,0)=−x2=0⇒x=0E(x,0) = -x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 es la intersección con el eje x
• Con el eje y: hacemos x = 0, reemplazamos en la ecuación E(0,y)=(0)2y−3(0)2−4y2=0E(0,y) = (0)^{2}y - 3(0)^{2}-4y^{2} = 0, es decir E(0,y)=−4y2=0⇒y=0E(0,y) = -4y^{2} = 0 \Rightarrow y = 0, en la intersección con el eje y

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x:
{E(x,y)=x2y2−x2+3xy2−4y2E(x,−y)=x2y2−x2+3xy2−4y2⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y^{2}-x^{2}+3xy^{2}-4y^{2}\\ \\ E(x,-y) = x^{2}y^{2}-x^{2}+3xy^{2}-4y^{2} \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
Tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=x2y2−x2+3xy2−4y2E(−x,y)=x2y2−x2−3xy2−4y2⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y^{2}-x^{2}+3xy^{2}-4y^{2}\\ \\ E(-x,y) = x^{2}y^{2}-x^{2}-3xy^{2}-4y^{2} \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
Tiene simetría con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=x2y2−x2+3xy2−4y2E(−x,−y)=x2y2−x2−3xy2−4y2⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y^{2}-x^{2}+3xy^{2}-4y^{2}\\ \\ E(-x,-y) = x^{2}y^{2}-x^{2}-3xy^{2}-4y^{2} \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
Tiene simetría con respecto al origen

 • Extensión

 • Despejando y: x2y2−x2+3xy2−4y2x^{2}y^{2}-x^{2}+3xy^{2}-4y^{2} y2(x2+3x−4)=x2⇒y=±x2x2+3x−4y^{2}(x^{2}+3x-4) = x^{2} \Rightarrow y = \pm\sqrt{\dfrac{x^{2}}{x^{2}+3x-4}} y es real si x2x2+3x−4≥0⇒1x2−3x−4≥0\dfrac{x^{2}}{x^{2}+3x-4}\geq 0 \Rightarrow \dfrac{1}{x^{2}-3x-4} \geq 0 1(x+4)(x−1)≥0\dfrac{1}{(x+4)(x-1)}\geq 0, aplicando puntos críticos se tiene:
⇒DE=<−∞,−4>∪<4,∞>∪{0}\Rightarrow \mathbb{D}_{E} = <-\infty,-4> \cup <4,\infty> \cup \{0\}
• Despejando x: Es decir x2y2−x2+3xy2−4y2=0x^{2}y^{2}-x^{2}+3xy^{2}-4y^{2}=0 (y2−1)x2+3y2x−4y2=0⇒x=−3y2±25y4−16y22(y2−1)(y^{2}-1)x^{2}+3y^{2}x-4y^{2} = 0 \Rightarrow x = \dfrac{-3y^{2}\pm \sqrt{25y^{4}-16y^{2}}}{2(y^{2}-1)} de donde RE<−∞,−45]∪[45,∞>∪{0}\mathbb{R}_{E}<-\infty, -\dfrac{4}{5}] \cup [\dfrac{4}{5},\infty> \cup \{0\}

 • Asíntotas:
• Asíntotas verticales: x2y2−x2+3xy2−4y2=0x^{2}y^{2}-x^{2}+3xy^{2}-4y^{2} = 0, de donde (x2+3x−4)y2−x2=0⇒x2+3x−4=0(x^{2}+3x-4)y^{2} - x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2}+3x-4=0, de donde (x+4)(x−1)=0⇒x=1(x+4)(x-1) = 0 \Rightarrow x=1, x=−4x=-4 son las asíntotas verticales
• Asíntotas horizontales: x2y2−x2+3xy2−4y2=0x^{2}y^{2}-x^{2}+3xy^{2}-4y^{2}=0, (y2−1)x2+3y2x−4y2=0⇒y2−1=0(y^{2}-1)x^{2}+3y^{2}x-4y^{2}=0\Rightarrow y^{2}-1=0, de donde y2−1=0⇒(x+1)(y−1)=0⇒y=−1,y=1y^{2}-1=0 \Rightarrow (x+1)(y-1)=0\Rightarrow y = -1, y=1 son asíntotas horizontales

 • Tabulación:

 • x(x−1)y2=x+1x(x-1)y^{2} = x+1
SOLUCIÓN
x(x−1)y2=x+1⇒x2y2−xy2−x−1=0x(x-1)y^{2} = x+1 \Rightarrow x^{2}y^{2}-xy^{2}-x-1=0 Sean E(x,y)=x2y2−xy2−x−1=0E(x,y) = x^{2}y^{2}-xy^{2}-x-1 = 0, la ecuación de la gráfica

 • Interacciones con los ejes coordenados:
• Con el eje x: hacemos y = 0, reemplazando en la ecuación E(x,0)=x2(0)−x(0)−x−1=0E(x,0) = x^{2}(0) -x(0) -x-1=0, es decir E(x,0)=−x−1=0⇒x=−1E(x,0) = -x-1=0 \Rightarrow x = -1 en la intersección con el eje x
• Con el eje y: hacemos x = , reemplazando en la ecuación E(0,y)=0(y2)−0(y2)−0−1=0E(0,y)=0(y^{2}) - 0(y^{2}) - 0 - 1 = 0, es decir: E(0,y)=−1E(0,y) = -1, no hay interacción con el eje y

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x:
{E(x,y)=x2y2−xy2−x−1E(x,−y)=x2y2−xy2−x−1=0⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y^{2}-xy^{2}-x-1\\ \\ E(x,-y) = x^{2}y^{2}-xy^{2}-x-1=0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
Tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=x2y2−xy2−x−1=0E(−x,y)=x2y2−xy2−x−1=0⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y^{2}-xy^{2}-x-1=0\\ \\ E(-x,y) = x^{2}y^{2}-xy^{2}-x-1=0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
Tiene simetría con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=x2y2−xy2−x−1=0E(−x,−y)=x2y2+xy2+x−1=0⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)= x^{2}y^{2}-xy^{2}-x-1=0\\ \\ E(-x,-y) = x^{2}y^{2}+xy^{2}+x-1=0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
Tiene simetría con respecto al origen

 • Extensión

 • Despejar y: x2y2−xy2−1=0x^{2}y^{2}-xy^{2}-1=0 (x2−x)y2=1⇒y=±1x2−x(x^{2}-x)y^{2} = 1 \Rightarrow y = \pm \sqrt{\dfrac{1}{x^{2}-x}} y es real si 1x2−x≥0⇒1x(x−1)≥0\dfrac{1}{x^{2}-x} \geq 0 \Rightarrow \dfrac{1}{x(x-1)}\geq 0
⇒DE=<−∞,0>∪<1,∞>\Rightarrow \mathbb{D}_{E} = <-\infty, 0> \cup <1, \infty>

 • Despejar x: x2y2−xy2−1=0x^{2}y^{2}-xy^{2}-1 = 0 x2y2−xy2−1=0⇒x=y2±y4−4y2(−1)2y2x^{2}y^{2}-xy^{2}-1 =0\Rightarrow x = \dfrac{y^{2}\pm \sqrt{y^{4}-4y^{2}(-1)}}{2y^{2}} x=y2±y4+4y22y2⇒RE=R−{0}x = \dfrac{y^{2}\pm \sqrt{y^{4} + 4y^{2}}}{2y^{2}} \Rightarrow R_{E} = \mathbb{R} - \{0\}

 • Asíntotas
• Asíntotas vertical: x2y2−xy2−1=0x^{2}y^{2}-xy^{2}-1=0 (x2−x)y2−1=0⇒x2−x=0(x^{2}-x)y^{2}-1=0 \Rightarrow x^{2}-x = 0, de donde x(x−1)=0⇒x=0,x=1x(x-1)=0 \Rightarrow x = 0, x = 1 son las asíntotas verticales
• Asíntotas horizontales: x2y2−xy2−1=0x^{2}y^{2}-xy^{2}-1 = 0 x2y2−xy2−1=0⇒y2=0⇒y=0x^{2}y^{2}-xy^{2}-1 = 0\Rightarrow y^{2} = 0 \Rightarrow y = 0 es la asíntota horizontal.
• Tabulación tabla

 • y2(9−x2)=(x−1)2y^{2}(9-x^{2}) = (x-1)^{2}
SOLUCIÓN
y2(9−x2)=(x−1)2⇒9y2−x2y2−x2+2x−1=0y^{2}(9-x^{2}) = (x-1)^{2} \Rightarrow 9y^{2}-x^{2}y^{2}-x^{2} +2x-1 = 0 Sea E(x,y)=9y2−x2y2−x2+2x−1=0E(x,y) = 9y^{2}-x^{2}y^{2}-x^{2} +2x-1 = 0, ecuación de la gráfica

 • Interacciones con los ejes coordenados:
• Con el eje x: Hacemos y = 0, reemplazamos en la ecuación E(x,0)=9(0)−x2(0)−x2+2x−1=0E(x,0) = 9(0) - x^{2}(0) -x^{2} +2x-1 = 0 E(x,0)=−(x−1)2=0⇒x=1E(x,0) = -(x-1)^{2} = 0 \Rightarrow x = 1, es la interacción con el eje x
• Con el eje y: Hacemos x = 0, reemplazando en la ecuación E(0,y)=9y2−0(y2)−0+0−1=0E(0,y) = 9y^{2}-0(y^{2}) - 0 + 0 -1 = 0, es decir E(0,y)=9y2−1=0⇒y=±13E(0,y) = 9y^{2}-1 = 0 \Rightarrow y = \pm \dfrac{1}{3} es la intersección con el eje y

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x:
{E(x,y)=9y2−x2y2−x2+2x−1E(x,−y)=9y2−x2y2−x2+2x−1⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)=9y^{2}-x^{2}y^{2}-x^{2} +2x-1\\ \\ E(x,-y) = 9y^{2}-x^{2}y^{2}-x^{2} +2x-1 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
Tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=9y2−x2y2−x2+2x−1E(−x,y)=9y2−x2y2−x2−2x−1⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)= 9y^{2}-x^{2}y^{2}-x^{2} +2x-1\\ \\ E(-x,y) = 9y^{2}-x^{2}y^{2}-x^{2} -2x-1 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
Tiene simetría con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=9y2−x2y2−x2+2x−1E(−x,−y)=9y2−x2y2−x2−2x−1⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)= 9y^{2}-x^{2}y^{2}-x^{2} +2x-1\\ \\ E(-x,-y) = 9y^{2}-x^{2}y^{2}-x^{2} -2x-1 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
Tiene simetría con respecto al origen

 • Extensión

 • Despejamos y: y=±2x−x2−1x2−9y = \pm \sqrt{\dfrac{2x-x^{2}-1}{x^{2}-9}} y es real si 2x−x2−1x2−9≥0⇒x2−2x+1x2−9≤0\dfrac{2x-x^{2}-1}{x^{2}-9} \geq 0 \Rightarrow \dfrac{x^{2}-2x+1}{x^{2}-9} \leq 0 (x−1)2x2−9≤0⇒1x2−9≤0⇒1(x+3)(x−3)≤0\dfrac{(x-1)^{2}}{x^{2}-9} \leq 0 \Rightarrow \dfrac{1}{x^{2}-9} \leq 0 \Rightarrow \dfrac{1}{(x+3)(x-3)} \leq 0
de donde DE=<−3,3>D_{E} = <-3,3>
• Despejamos x: x=1±9y4+8y2y2+1x = \dfrac{1\pm \sqrt{9y^{4}+8y^{2}}}{y^{2}+1} x es real si ∀\forall y ∈\in R\mathbb{R}, 9y4+8y2y2+1≥0\dfrac{9y^{4}+8y^{2}}{y^{2}+1}\geq 0 de donde se tiene RE=RR_{E} = \mathbb{R}

 • Asíntotas
• Asíntotas verticales: 9y2−x2y2−x2+2x−1=09y^{2}-x^{2}y^{2}-x^{2}+2x-1=0 (x2−9)y2+x2−2x+1=0⇒x2−9=0(x^{2}-9)y^{2} + x^{2} -2x+1 =0 \Rightarrow x^{2}-9 = 0, de donde x2=9⇒x=±3x^{2}=9 \Rightarrow x = \pm 3 son las asíntotas verticales
• Asíntotas horizontales: 9y2−x2y2−x2+2x−1=09y^{2}-x^{2}y^{2}-x^{2}+2x-1 =0 (1+y2)x2−2x+1−9y2=0⇒1+y2=0(1+y^{2})x^{2} - 2x + 1- 9y^{2} = 0 \Rightarrow 1 + y^{2} = 0, pero ∄\nexists y ∈R\in \mathbb{R} tal que 1−y2=01-y^{2} = 0, por lo tanto no tiene asíntota horizontal

 • Tabulación

 • xy2−3y2−1=0xy^{2}-3y^{2}-1=0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=xy2−3y2−1=0E(x,y)= xy^{2}-3y^{2}-1=0, ecuación de la gráfica

 • Intersecciones con los ejes coordenados
• Con el eje x: hacemos y =0, reemplazando en la ecuación E(x,y)=x(0)−3(0)−1=0E(x,y)=x(0) - 3(0)-1=0, es decir E(x,0)=−1=0E(x,0) = -1 = 0, no existe intersección con el eje x
• Con el eje y: hacemos x = 0, reemplazando en la ecuación E(0,y)=0(y2)−3y2−1=0E(0,y)=0(y^{2})-3y^{2}-1 = 0, es decir E(0,y)=−3y2−1=0⇒y2=−13E(0,y) = -3y^{2}-1=0 \Rightarrow y^{2} = -\dfrac{1}{3}, ∄\nexists y ∈\in R\mathbb{R}, por lo tanto no hay intersección con el eje y

 • Simetría:

 • Con respecto al eje x:
{E(x,y)=xy2−3y2−1⇒E(x,y)≠E(x,−y)E(x,−y)=xy2−3y2−1=0\begin{cases} E(x,y)=xy^{2}-3y^{2}-1\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)\\ E(x,-y) = xy^{2}-3y^{2}-1=0 \end{cases}
Tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=xy2−3y2−1=0⇒E(x,y)≠E(−x,y)E(−x,y)=−xy2−3y2−1=0\begin{cases} E(x,y)=xy^{2}-3y^{2}-1=0\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)\\ E(-x,y) = -xy^{2}-3y^{2}-1=0 \end{cases}
Tiene simetría con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=xy2−3y2−1=0⇒E(x,y)≠E(−x,−y)E(−x,−y)=−xy2−3y2−1=0\begin{cases} E(x,y)=xy^{2}-3y^{2}-1=0\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)\\ E(-x,-y) = -xy^{2}-3y^{2}-1=0 \end{cases}
Tiene simetría con respecto al origen

 • Extensión
• Despejamos y: xy2−3y2−1=0xy^{2}-3y^{2}-1=0, de donde (x−3)y2=1⇒y=±1x−3(x-3)y^{2} = 1 \Rightarrow y = \pm \sqrt{\dfrac{1}{x-3}}, de donde y es real si 1x−3≥0\dfrac{1}{x-3}\geq 0 de donde DE=<3,∞>\mathbb{D}_{E} = <3,\infty>
• Despejando x: xy2−3y2−1=0xy^{2}-3y^{2}-1=0 xy2=3y2+1⇒x=3y2+1y2⇒∀xy^{2}=3y^{2}+1 \Rightarrow x = \dfrac{3y^{2}+1}{y^{2}} \Rightarrow \forall y ∈\in R\mathbb{R}, y≠0y \neq 0 de donde RE=R−{0}R_{E} = \mathbb{R}-\{0\}

 • Asíntotas:
• Asíntotas verticales: xy2−3y2−1=0xy^{2}-3y^{2}-1=0 (x−3)y2−1=0⇒x−3=0(x-3)y^{2}-1=0 \Rightarrow x -3 = 0, de donde x=3x=3 es la asíntota vertical
• Asíntotas horizontales: xy2−3y2−1=0xy^{2}-3y^{2}-1=0 xy2−3y2−1=0⇒y2=0⇒y=0xy^{2}-3y^{2}-1=0 \Rightarrow y^{2} = 0 \Rightarrow y = 0 es una asíntota horizontal.

 • Tabulación

 • y2(x2−4=x+2)y^{2}(x^{2}-4 = x+2)
SOLUCIÓN
y2(x2−4=x+2)⇒x2y2−4y2−x−2=0y^{2}(x^{2}-4 = x+2) \Rightarrow x^{2}y^{2} - 4y^{2} -x-2=0 Sea E(x,y)=x2y2−4y2−x−2=0E(x,y) = x^{2}y^{2} - 4y^{2} -x-2=0, ecuación de la gráfica

 • Intersección con el eje coordenado
• Con el eje x: hacemos y = 0, reemplazamos en la ecuación E(x,0)=x20−4(0)−x−2=0E(x,0)=x^{2}0 - 4(0)-x-2=0, es decir E(x,0)=−x−2=0⇒x=−2E(x,0)=-x-2=0 \Rightarrow x = -2 es la interacción con el eje x
• Con el eje y: hacemos x = 0, reemplazando en la ecuación E(0,y)=0(y2)−4y2−0−2=0E(0,y) = 0(y^{2}) -4y^{2}-0-2=0, es decir E(0,y)=−4y2−2=0⇒y2=−12E(0,y) = -4y^{2}-2=0 \Rightarrow y^{2}=-\dfrac{1}{2}, ∄\nexists y ∈\in R\mathbb{R} por lo tanto no hay intersección con el eje y

 • Simetría:

 • Con respecto al eje x:
{E(x,y)=x2y2−4y2−x−2=0E(x,−y)=x2y2−4y2−x−2=0⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y^{2} - 4y^{2} -x-2=0\\ \\ E(x,-y) = x^{2}y^{2} - 4y^{2} -x-2=0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
Tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=x2y2−4y2−x−2=0E(−x,y)=x2y2−4y2+x−2=0⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y^{2} - 4y^{2} -x-2=0\\ \\ E(-x,y) = x^{2}y^{2} - 4y^{2} +x-2=0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
Tiene simetría con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=x2y2−4y2−x−2=0E(−x,−y)=x2y2−4y2+x−2=0⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y^{2} - 4y^{2} -x-2=0\\ \\ E(-x,-y) = x^{2}y^{2} - 4y^{2} +x-2=0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
Tiene simetría con respecto al origen

 • Extensión
• Despejamos y: x2y2−4y2−x−2=0x^{2}y^{2} - 4y^{2} -x-2=0 (x2−4)y2=x+2⇒y2=x+2x2−4=x+2(x+2)(x−2)=1x−2(x^{2}-4)y^{2}=x+2 \Rightarrow y^{2} = \dfrac{x+2}{x^{2}-4} = \dfrac{x+2}{(x+2)(x-2)} = \dfrac{1}{x-2}, x≠−2x\neq -2 y2=1x−2y^{2}=\dfrac{1}{x-2},, x≠−2⇒y=±1x−2x\neq -2 \Rightarrow y = \pm \dfrac{1}{\sqrt{x-2}} y es real si x−2>0⇒x>2⇒DE=<2,∞>x-2>0 \Rightarrow x >2 \Rightarrow D_{E} = <2,\infty>
• Despejamos x: x2y2−4y2−x−2=0x^{2}y^{2} - 4y^{2} -x-2=0 x2y2−x−(4y2+2)=0x^{2}y^{2}-x-(4y^{2}+2)=0 x=1±1−4y2(−4y2−2)2y2=1±16y4++8y2+12y2x= \dfrac{1\pm \sqrt{1-4y^{2}(-4y^{2}-2)}}{2y^{2}} = \dfrac{1\pm \sqrt{16y^{4}++8y^{2}+1}}{2y^{2}} x=1±16y2+8y2+12y2x = \dfrac{1\pm \sqrt{16y^{2}+8y^{2}+1}}{2y^{2}} de donde RE=R−{0}R_{E}=\mathbb{R}-\{0\}

 • Asíntotas

 • Asíntotas verticales: x2y2−4y2−x−2=0x^{2}y^{2} - 4y^{2} -x-2=0 (x2−4)y2−x−2=0⇒x2−4=0⇒(x+2)(x−2)=0(x^{2}-4)y^{2}-x-2=0 \Rightarrow x^{2}-4 =0 \Rightarrow (x+2)(x-2) = 0 de donde x=−2x = -2, x=2x=2 son asíntotas verticales

 • Tabulación:

 • x2y2−x2+y2+1=0x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1=0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=x2y2−x2+y2+1=0E(x,y) = x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1=0, la ecuación de la gráfica

 • Intersección con los eje coordenados:
• Con el eje x: hacemos y = 0, reemplazamos en la ecuación E(x,0)=x2(0)−x2+0+1=0E(x,0)=x^{2}(0)-x^{2}+0+1=0, es decir E(x,0)=−x2+1=0⇒x2=1⇒x=±1E(x,0)=-x^{2}+1=0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x=\pm 1 son las intersecciones
• Con el eje y: hacemos x = 0, reemplazando en la ecuación E(0,y)=0(y2)−0+y2+1=0E(0,y) = 0(y^{2}) - 0 +y^{2}+1 =0, es decir E(0,y)=y2+1=0⇒y2=−1E(0,y) = y^{2}+1 = 0\Rightarrow y^{2}=-1, ∄\nexists y ∈\in R\mathbb{R}, no hay intersección

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x:
{E(x,y)=x2y2−x2+y2+1⇒E(x,y)≠E(x,−y)E(x,−y)=x2y2−x2+y2+1\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)\\ E(x,-y) = x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1 \end{cases}
Tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=x2y2−x2+y2+1⇒E(x,y)≠E(−x,y)E(−x,y)=x2y2−x2+y2+1\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)\\ E(-x,y) = x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1 \end{cases}
Tiene simetría con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=x2y2−x2+y2+1⇒E(x,y)≠E(−x,−y)E(−x,−y)=x2y2−x2+y2+1\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)\\ E(-x,-y) = x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1 \end{cases}
Tiene simetría con respecto al origen

 • Extensión:
• Despejando y: x2y2−x2+y2+1=0x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1=0 (x2+1)y2=x2−1⇒y=±x2−1x2+1(x^{2} +1 )y^{2} = x^{2}-1 \Rightarrow y = \pm \sqrt{\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}} y es real si x2−1x2+1≥0⇒x2−1≥0\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1} \geq 0 \Rightarrow x^{2}-1\geq0 x2≥1⇒x≤−1∨x≥1⇒RE=<−∞,−1]∪[1,∞>x^{2}\geq 1 \Rightarrow x \leq -1 \vee x \geq 1 \Rightarrow R_{E}=<-\infty,-1] \cup [1,\infty>
• Despejando x: x2y2−x2+y2+1=0x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1 =0 (y2−1)x2=−(y2+1)⇒x=±−(y2+1)y2−1≤0(y^{2}-1)x^{2} = -(y^{2}+1) \Rightarrow x = \pm \sqrt{\dfrac{-(y^{2}+1)}{y^{2}-1}} \leq 0 1y2−1≤0⇒1(y+1)(y−1)≤0\dfrac{1}{y^{2}-1}\leq 0 \Rightarrow \dfrac{1}{(y+1)(y-1)} \leq 0, por puntos críticos
de donde RE=<−1,1>R_{E} =<-1,1>

 • Asíntotas:
• Asíntotas Verticales: x2y2−x2+y2+1x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1 (x2+1)y2−x2+1=0⇒x2+1=0(x^{2}+1)y^{2} - x^{2}+1=0 \Rightarrow x^{2}+1=0, ∄\nexists x ∈\in R\mathbb{R} por lo tanto no hay asíntota vertical
• Asíntota horizontal: x2y2−x2+y2+1x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1 (y2−1)x2+y2+1=0⇒y2−1=0⇒y2=1(y^{2}-1)x^{2}+y^{2}+1=0 \Rightarrow y^{2}-1=0 \Rightarrow y^{2}=1 y2=1⇒y=±1y^{2}=1 \Rightarrow y = \pm 1 son asíntotas horizontales

 • Tabulación

 • x2y2+4x2−4y2=0x^{2}y^{2} + 4x^{2} - 4y^{2} = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=x2y2+4x2−4y2=0E(x,y) = x^{2}y^{2} + 4x^{2} - 4y^{2} = 0, ecuación de la gráfica

 • Intersección con los ejes coordenados.
• Con el eje x: hacemos y = 0, reemplazamos en la ecuación E(x,0)=x2(0)+4x2−4(0)=0E(x,0) = x^{2}(0) + 4x^{2} - 4(0) = 0, es decir E(x,0)=4x2=0⇒x=0E(x,0) = 4x^{2} = 0\Rightarrow x = 0 es a intersección en el eje x
• Con el eje y: hacemos x = 0, reemplazando en la ecuación E(0,y)=(0)y2+4(0)−4y2=0E(0,y) = (0)y^{2}+4(0)-4y^{2} = 0, es decir E(0,y)=−4y2=0⇒y=0E(0,y) = -4y^{2} = 0 \Rightarrow y = 0 es la intersección con el eje y.

 • Simetrías:

 • Con respecto al eje x:
{E(x,y)=x2y2+4x2−4y2⇒E(x,y)≠E(x,−y)E(x,−y)=x2y2+4x2−4y2\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y^{2} + 4x^{2} - 4y^{2} \\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)\\ E(x,-y) = x^{2}y^{2} + 4x^{2} - 4y^{2} \end{cases}
Tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=x2y2+4x2−4y2⇒E(x,y)≠E(−x,y)E(−x,y)=x2y2+4x2−4y2\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y^{2} + 4x^{2} - 4y^{2} \\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)\\ E(-x,y) = x^{2}y^{2} + 4x^{2} - 4y^{2} \end{cases}
Tiene simetría con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=x2y2+4x2−4y2⇒E(x,y)≠E(−x,−y)E(−x,−y)=x2y2+4x2−4y2\begin{cases} E(x,y)=x^{2}y^{2} + 4x^{2} - 4y^{2} \\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)\\ E(-x,-y) = x^{2}y^{2} + 4x^{2} - 4y^{2} \end{cases}
Tiene simetría con respecto al origen

 • Extensión

 • Despejamos y: x2y2+4x2−4y2=0x^{2}y^{2} + 4x^{2} - 4y^{2} = 0
(x2−4)y2=−4x2⇒y=±−4x2x2−4(x^{2}-4)y^{2} = -4x^{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\dfrac{-4x^{2}}{x^{2}-4}}
y es real si: −4x2x2−4≥⇒x2x2−4≤0⇒1x2−4≥0\dfrac{-4x^{2}}{x^{2}-4}\geq \Rightarrow \dfrac{x^{2}}{x^{2}-4} \leq 0 \Rightarrow \dfrac{1}{x^{2}-4}\geq 0 Gafica
• Despejamos x: x2y2+4x2−4y2=0x^{2}y^{2} + 4x^{2} - 4y^{2} = 0
x2(y2−4)=4y2⇒y=±4x2x2+4, extdedondeRE=Rx^{2}(y^{2}-4) = 4y^{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\dfrac{4x^{2}}{x^{2}+4}}, \ ext{ de donde } R_{E} = \mathbb{R}

 • Asíntotas:

 • Asíntota vertical: x2y2+4x2−4y2=0x^{2}y^{2} + 4x^{2} - 4y^{2} = 0
(x2−4)y2+4x2=0⇒x2−4=0, de donde (x^{2}-4)y^{2} + 4x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2}-4 = 0\text{, de donde }
x2=4⇒x=±2x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2 son las asíntotas verticales
• Asíntotas horizontales: x2y2+4x2−4y2=0x^{2}y^{2} + 4x^{2} - 4y^{2} = 0
(y2+4)x2=4y2⇒x=±4y2y2+4(y^{2}+4)x^{2} = 4y^{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\dfrac{4y^{2}}{y^{2}+4}}
No tiene asíntota horizontal

 • Tabulación:

 • xy−2x−y=0xy-2x-y = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=xy−2x−y=0E(x,y) = xy-2x-y = 0, ecuación de la gráfica

 • Intersecciones con los ejes coordenados
• Con el eje x: hacemos y = 0, reemplazando en la ecuación E(x,0)=x(0)−2x−0−2=0E(x,0) = x(0)-2x - 0 -2 = 0, es decir E(x,0)=−2x−2=0⇒x=−1E(x,0) = -2x -2 = 0 \Rightarrow x = -1 es la intersección con el eje x
• Con el eje y: hacemos x = 0, reemplazando en la ecuación E(0,y)=(0)x−0−y−2=0E(0,y) = (0)x-0 - y -2 = 0, es decir E(0,y)=−y−2=0⇒x=−2E(0,y) = -y -2 = 0 \Rightarrow x = -2 es la intersección con el eje y

 • Simetrías

 • Con respecto al eje x:
{E(x,y)=xy−2x−y−2⇒E(x,y)≠E(x,−y)E(x,−y)=−xy−2x+y−2\begin{cases} E(x,y)=xy-2x-y - 2\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)\\ E(x,-y) = -xy-2x+y - 2 \end{cases}
Tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=xy−2x−y−2⇒E(x,y)≠E(−x,y)E(−x,y)=−xy+2x−y−2\begin{cases} E(x,y)=xy-2x-y - 2\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)\\ E(-x,y) = -xy+2x-y - 2 \end{cases}
Tiene simetría con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=xy−2x−y−2⇒E(x,y)≠E(−x,−y)E(−x,−y)=xy+2x+y−2\begin{cases} E(x,y)=xy-2x-y - 2\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)\\ E(-x,-y) = xy+2x+y - 2 \end{cases}
Tiene simetría con respecto al origen

 • Extensión:
• Despejamos y: xy−2x−y−2=0xy-2x-y - 2 = 0 (x−1)y=2x+1⇒y=2x+1x−1⇒DE=R−{1}(x-1)y = 2x +1 \Rightarrow y = \dfrac{2x+1}{x-1} \Rightarrow D_{E}=\mathbb{R}-\{1\}
• Despejamos x: xy−2x−y−2=0xy-2x-y - 2 = 0 (y−2)x=y+1⇒x=y+1x−1⇒RE=R−{2}(y-2)x = y+1 \Rightarrow x = \dfrac{y+1}{x-1} \Rightarrow R_{E} = \mathbb{R}-\{2\}

 • Asíntotas
• Asíntotas verticales: y=2x+1x−1y=\dfrac{2x+1}{x-1}, de donde x−1=0⇒x=1x-1 = 0 \Rightarrow x = 1, es una asíntota vertical
• Asíntotas horizontales: x=y+1y−2x=\dfrac{y+1}{y-2}, de donde y−2=0⇒y=2y-2 = 0\Rightarrow y = 2 es una asíntota horizontal

 • Tabulación

 • xy2−4x2−3y2+12x=0xy^{2} - 4x^{2} -3y^{2}+12x = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=xy2−4x2−3y2+12x=0E(x,y) = xy^{2} - 4x^{2} -3y^{2}+12x = 0, ecuación de a gráfica

 • Intersección con los ejes coordenados
• Con el eje x: hacemos y = 0, reemplazando en la ecuación E(x,0)=x(0)−4x2−3(0)+12x=0E(x,0) = x(0) - 4x^{2} - 3(0) + 12x = 0, es decir E(x,0)=−4x2+12x=0⇒x=0E(x,0) = -4x^{2} + 12x = 0 \Rightarrow x = 0, x=3x = 3 son las intersecciones
• Con el eje y: hacemos x = 0, reemplazando en la ecuación E(0,y)=y2(0)−4(0)−3y2+12(0)=0E(0,y) = y^{2}(0) - 4(0) - 3y^{2} + 12(0) = 0, es decir E(0,y)=−3y2=0⇒y=0E(0,y) = -3y^{2} = 0 \Rightarrow y = 0 es la intersección con el eje y

 • Simetrías

 • Con respecto al eje x:
{E(x,y)=xy2−4x2−3y2+12xE(x,−y)=xy2−4x2−3y2+12x⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)=xy^{2} - 4x^{2} - 3y^{2} +12x\\ \\ E(x,-y) = xy^{2} - 4x^{2} - 3y^{2} +12x \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
Tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=xy2−4x2−3y2+12xE(−x,y)=−xy2−4x2−3y2−12x⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)=xy^{2} - 4x^{2} - 3y^{2} +12x\\ \\ E(-x,y) = -xy^{2} - 4x^{2} - 3y^{2} -12x \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
Tiene simetría con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=xy2−4x2−3y2+12xE(−x,−y)=−xy2−4x2−3y2−12x⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)=xy^{2} - 4x^{2} - 3y^{2} +12x\\ \\ E(-x,-y) = -xy^{2} - 4x^{2} - 3y^{2} -12x \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
Tiene simetría con respecto al origen

 • Extensión:

 • Despejamos y: xy2−4x2−3y2+12x=0xy^{2} - 4x^{2} - 3y^{2} +12x=0 (x−3)y2=−12x+4x2⇒y=±4x2−12xx−3=±4x(x-3)y^{2} = -12x + 4x^{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\dfrac{4x^{2}-12x}{x-3}} = \pm \sqrt{4x}, x≠3x \neq 3 y es real si x≥0x\geq 0, x≠0⇒x\neq 0 \Rightarrow x∈[0,3>∪<3,∞>x\in [0,3> \cup <3, \infty>
DE=[0,3>∪<3,∞>D_{E} = [0,3> \cup <3, \infty>

 • Despejando x: xy2−4x2−3y2+12x=0xy^{2} - 4x^{2} - 3y^{2} +12x = 0 4x2−(y2+12)x+3y2=04x^{2}-(y^{2}+12)x + 3y^{2} = 0, de donde x=y2+12±(y2+12)2−4(4)(3y2)8x= \dfrac{y^{2}+12 \pm \sqrt{(y^{2}+12)^{2} - 4(4)(3y^{2})}}{8} x=y2+12±y4−24y2+128=y2+12±(y2−12)28x = \dfrac{y^{2} +12 \pm \sqrt{y^{4} - 24y^{2} +12}}{8} = \dfrac{y^{2}+12\pm \sqrt{(y^{2}-12)^{2}}}{8} x es real si ∀\forall y ∈\in R⇒RE=R\mathbb{R} \Rightarrow R_{E} = \mathbb{R}

 • Aspintotas
• Asíntotas verticales: xy2−4x2−3y2+12x=0xy^{2} - 4x^{2} - 3y^{2} +12x = 0 (x−3)y2−4x2+12⇒x−3=0⇒x=3(x-3)y^{2} - 4x^{2} +12 \Rightarrow x-3 = 0 \Rightarrow x = 3, asíntota vertical
• Asíntota horizontal: xy2−4x2−3y2+12x=0xy^{2} - 4x^{2} - 3y^{2} +12x = 0 −4x2+(y2+12)x−3y2=0⇒4=0-4x^{2} + (y^{2}+12)x -3y^{2} = 0 \Rightarrow 4 = 0, tal que no hay asíntotas horizontales.

 • Tabulación

 • yx2−25y−x=0yx^{2}-25y - x = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=yx2−25y−x=0E(x,y)= yx^{2}-25y - x = 0 , ecuación de la gráfica.

 • Intersecciones con los ejes coordenados.
• Con el eje x: hacemos y = 0, reemplazamos en la ecuación E(x,0)=0(x2)−25(0)−x=0E(x,0) = 0(x^{2}) - 25(0) - x = 0, es decir. E(x,0)=−x=0⇒x=0E(x,0) = -x = 0 \Rightarrow x = 0 es la intersección con el eje x
• Con el eje y: hacemos x = 0, reemplazando en la ecuación E(0,y)=y(0)−25y−0=0E(0,y) = y(0) - 25y-0=0, es decir E(0,y)=−25y=0⇒E(0,y) = -25y=0 \Rightarrow y = 0, es la intersección con el eje y

 • Simetría:

 • Con respecto al eje x:
{E(x,y)=yx2−25y−x=0⇒E(x,y)≠E(x,−y)E(x,−y)=−yx2+25y−x=0\begin{cases} E(x,y)=yx^{2}-25y - x = 0\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)\\ E(x,-y) = -yx^{2}+25y - x = 0 \end{cases}
Tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=yx2−25y−x=0⇒E(x,y)≠E(−x,y)E(−x,y)=yx2−25y+x=0\begin{cases} E(x,y)=yx^{2}-25y - x = 0\\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)\\ E(-x,y) = yx^{2}-25y + x = 0 \end{cases}
Tiene simetría con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=yx2−25y−x⇒E(x,y)≠E(−x,−y)E(−x,−y)=−yx2+25y+x=0\begin{cases} E(x,y)=yx^{2}-25y - x \\ \text{} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)\\ E(-x,-y) = -yx^{2}+25y + x = 0 \end{cases}
Tiene simetría con respecto al origen

 • Asíntotas:
• Asíntotas verticales: yx2−25y−x=0yx^{2}-25y - x = 0 (x2−25)y−x=0⇒x2−25=0(x^{2}-25)y - x = 0 \Rightarrow x^{2}-25 = 0, de donde x=±5x = \pm 5 son las raíces verticales
• Asíntotas horizontales: yx2−25y−x=0yx^{2}-25y - x = 0 ⇒y=0\Rightarrow y = 0 es la asíntota horizontal

 • Tabulación

 • xy2+xy−6x−3=0xy^{2}+xy - 6x -3 = 0
SOLUCIÓN
Sea E(x,y)=xy2+xy−6x−3=0E(x,y)= xy^{2}+xy - 6x -3 = 0 , ecuación de la gráfica.

 • Intersecciones con los ejes coordenados.
• Con el eje x: hacemos y = 0, reemplazamos en la ecuación E(x,0)=x(0)+x(0)−6x−3=0E(x,0) =x(0)+x(0) - 6x -3 = 0, es decir. E(x,0)=−6x−3=0⇒x=−12E(x,0) = -6x-3 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2} es la intersección con el eje x
• Con el eje y: hacemos x = 0, reemplazando en la ecuación E(0,y)=0(y2)+0(y)−0−3=−3E(0,y) = 0(y^{2}) + 0(y) - 0-3 = -3, no hay intersección

 • Simetría:

 • Con respecto al eje x:
{E(x,y)=xy2+xy−6x−3=0E(x,−y)=xy2−xy−6x−3=0⇒E(x,y)≠E(x,−y)\begin{cases} E(x,y)=xy^{2}+xy - 6x -3 = 0\\ \\ E(x,-y) = xy^{2}-xy - 6x -3 = 0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(x,-y)
Tiene simetría con respecto al eje x
• Con respecto al eje y
{E(x,y)=xy2+xy−6x−3=0E(−x,y)=−xy2+xy+6x−3=0⇒E(x,y)≠E(−x,y)\begin{cases} E(x,y)=xy^{2}+xy - 6x -3 = 0\\ \\ E(-x,y) = - xy^{2}+xy + 6x -3 = 0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,y)
Tiene simetría con respecto al eje y
• Con respecto al origen
{E(x,y)=xy2+xy−6x−3=0E(−x,−y)=−xy2+xy+6x−3=0⇒E(x,y)≠E(−x,−y)\begin{cases} E(x,y)=xy^{2}+xy - 6x -3 = 0\\ \\ E(-x,-y) = -xy^{2}+xy + 6x -3 = 0 \end{cases} \Rightarrow E(x,y) \neq E(-x,-y)
no es simétrica con respecto al origen

 • Extensión:

 • Despejamos y: xy2+xy−6x−3=0xy^{2}+xy - 6x -3 = 0 y=−x±x2−4x(−6x−3)2x?−x±25x2+12x2xy = \dfrac{-x \pm \sqrt{x^{2}-4x (-6x-3)}}{2x} ? \dfrac{-x \pm \sqrt{25x^{2}+12x}}{2x} y es real si 25x2+12x≥0⇒x(25x+12)≥025x^{2}+12x\geq 0 \Rightarrow x(25x+12) \geq 0
de donde RE=<−∞,−1225]∪<0,∞>R_{E} = <-\infty, - \dfrac{12}{25}] \cup <0,\infty>

 • Despejamos x: xy2+xy−6x−3=0xy^{2}+xy - 6x -3 = 0 (y2+y−6)x=3⇒x=3y2+y−6=3(y+3)(y−2)(y^{2}+y-6)x =3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{y^{2}+y-6}=\dfrac{3}{(y+3)(y-2)} de donde RE=R−{−3,2}R_{E} = \mathbb{R}-\{-3,2\}

 • Asíntotas:
• Asíntotas verticales: xy2+xy−6x−3=0⇒x=0xy^{2}+xy - 6x -3 = 0 \Rightarrow x = 0 Luego x=0x =0 es una asíntota vertical.
• Asíntotas horizontales: xy2+xy−6x−3=0xy^{2}+xy - 6x -3 = 0 (y2+y−6)x−3=0⇒y2+y−6=0⇒(y+3)(y−2)=0(y^{2}+y-6)x-3=0 \Rightarrow y^{2}+y-6=0 \Rightarrow (y+3)(y-2)=0 de donde y=−3y=-3, y=2y=2 son las asíntotas horizontales

 • Tabulación
[II]
• Después de Factorizar, trazar a gráfica de cada ecuación.

 • x4+y2−x2−x=0x^{4}+y^{2}-x^{2}-x = 0
SOLUCIÓN
E(x,y)=x4+y2−x2−x=0E(x,y) = x^{4}+y^{2}-x^{2}-x = 0, sumando y restando xy2xy^{2} x4+y2−x2−x+xy2−xy2x^{4}+y^{2}-x^{2}-x +xy^{2} - xy^{2} agrupando (y4−xy2)+(xy2−y2)−(x2+x)=0(y^{4} -xy^{2}) + (xy^{2} - y^{2}) - (x^{2} + x) = 0, factorizando y2(y2−x)+(y2−x)(x+1)=0y^{2}(y^{2}-x) + (y^{2} - x) (x+1) =0, sacando factor común E(x,y)=(y2−x)(y2+x+1)=0E(x,y) = (y^{2}-x)(y^{2}+x+1) = 0, de donde
{y2−x=0y2+x+1=0⇒{y2=x(1)y2=−(x+1)(2)\begin{cases} y^{2}-x = 0\\ y^{2}+x+1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y^{2} = x (1) \\ y^{2} = -(x+1) (2) \end{cases}

 • x3−4x2+x2y−4xy+xy2+y3=0x^{3}-4x^{2} + x^{2}y - 4xy + xy^{2} + y^{3} = 0
SOLUCIÓN
x3−4x2+x2y−4xy+xy2+y3=0x^{3}-4x^{2} + x^{2}y - 4xy + xy^{2} + y^{3} = 0, agrupando convenientemente (x3+x2y)+(y2x+y3)−(4x2+4xy)=0(x^{3} + x^{2}y) + (y^{2}x + y^{3}) - (4x^{2} + 4xy) = 0, sacando factor común x2(x+y)+y2(x+y)−4x(x+y)=0x^{2}(x+y) + y^{2}(x+y) - 4x(x+y) = 0, sacando factor común (x+y)(x2+y2−4x)=0(x+y)(x^{2}+y^{2} - 4x) = 0, por lo tanto se tiene:
{x+y=0x2+y2−4x=0⇒{y=−x(1)(x−2)2+y2=4(2)\begin{cases} x + y = 0\\ x^{2}+y^{2}-4x = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -x (1)\\ (x-2)^{2} + y^{2} = 4 (2) \end{cases}

 • y3+xy2−4xy−4x2=0y^{3} +xy^{2} - 4xy - 4x^{2}=0
SOLUCIÓN
y3+xy2−4xy−4x2=0y^{3} +xy^{2} - 4xy - 4x^{2}=0, agrupando adecuadamente (xy2+y3)−(4xy+4x2)(xy^{2} + y^{3}) - (4xy + 4x^{2}), sacando factor común y2(x+y)−4x(y+x)=0y^{2}(x+y) - 4x(y+x) = 0, sacando dactor común (x+y)(y2−4x)=0(x+y)(y^{2}-4x) = 0, de donde se tiene:
{x+y=0y2−4x=0⇒{y=−x(1)y2=4x(2)\begin{cases} x+y = 0\\ y^{2} - 4x = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -x (1)\\ y^{2} = 4x (2) \end{cases}

 • 3x2−2x2y−12x2+8xy+3xy2−2y3=03x^{2}-2x^{2}y -12x^{2} + 8xy + 3xy^{2} - 2y^{3} = 0
SOLUCIÓN
3x2−2x2y−12x2+8xy+3xy2−2y3=03x^{2}-2x^{2}y -12x^{2} + 8xy + 3xy^{2} - 2y^{3} = 0, agrupando convenientemente (3x3−2yx2)+(3xy2−2y3)−(12x2−8xy)=0(3x^{3}-2yx^{2}) + (3xy^{2} - 2y^{3}) - (12x^{2} - 8xy) = 0, sacando factor común x2(3x−2y)+y2(3x−2y)−4x(3x−2y)=0x^{2}(3x-2y)+y^{2}(3x-2y) - 4x(3x-2y) = 0, de donde se tiene:
{3x−2y=0x2+y2−4x=0{2y=3x(1)(x−2)2+y2=4(2)\begin{cases} 3x-2y = 0\\ x^{2}+y^{2} - 4x = 0 \end{cases} \begin{cases} 2y = 3x (1)\\ (x-2)^{2} + y^{2} = 4 (2) \end{cases}

 • x3−2x2−x2y−3x+2xy+xy2+3xy−y3=0x^{3}-2x^{2}-x^{2}y - 3x + 2xy + xy^{2} + 3xy - y^{3} = 0
SOLUCIÓN
x3−2x2−x2y−3x+2xy+xy2+3xy−y3=0x^{3}-2x^{2}-x^{2}y - 3x + 2xy + xy^{2} + 3xy - y^{3} = 0
agrupando convenientemente se tiene: (x3−x2y)+(xy2−y3)−(2x2−2xy)−(3x−3y)=0(x^{3} - x^{2}y) + (xy^{2}-y^{3}) - (2x^{2} - 2xy) - (3x-3y) = 0, sacando factor común x2(x−y)+y2(x−y)−2x(x−y)−3(x−y)=0x^{2}(x-y) + y^{2}(x-y) - 2x(x-y) - 3(x-y) = 0, sacando factor común (x−y)(x2+y2−2x−3)=0(x-y)(x^{2}+y^{2}-2x-3) = 0, de donde se tiene:
{x−y=0x2+y2−2x−3=0⇒{y=x(1)(x−1)2+y2=4(2)\begin{cases} x-y = 0\\ x^{2}+y^{2}-2x-3 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x (1)\\ (x-1)^{2} + y^{2} = 4 (2) \end{cases}

 • x3−y3−x2y+xy2−9x+9y=0x^{3}-y^{3}-x^{2}y + xy^{2} - 9x + 9y = 0
SOLUCIÓN
x3−y3−x2y+xy2−9x+9y=0x^{3}-y^{3}-x^{2}y + xy^{2} - 9x + 9y = 0, agrupando convenientemente (x3−yx2)+(xy2−y3)−(9x−9y)=0(x^{3}-yx^{2}) + (xy^{2}-y^{3}) - (9x-9y) = 0 sacando factor común x2(x−y)+y2(x−y)−9(x−y)=0x^{2}(x-y) + y^{2}(x-y) - 9(x-y) = 0, sacando factor común (x−y)(x2+y2−9)=0(x-y)(x^{2}+y^{2}-9) = 0, de donde se tiene:
{x−y=0x2+y2−9=0⇒{y=xx2+y2=9\begin{cases} x-y = 0\\ x^{2}+y^{2}-9 =0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x\\ x^{2}+y^{2} = 9 \end{cases}

 • x3−x2y−x2−xy2+y3+y2−x+y+1=0x^{3}-x^{2}y - x^{2} - xy^{2} + y^{3} + y^{2} - x + y +1 = 0
SOLUCIÓN
x3−x2y−x2−xy2+y3+y2−x+y+1=0x^{3}-x^{2}y - x^{2} - xy^{2} + y^{3} + y^{2} - x + y +1 = 0
agrupando convenientemente se tiene: (x3−yx2−x2)+(y3−xy2+y2)−(x−y−1)=0(x^{3}-yx^{2} - x^{2}) + (y^{3}-xy^{2}+y^{2}) - (x-y-1) = 0, sacando factor común x2(x−y−1)−y2(x−y−1)−(x−y−1)=0x^{2}(x-y-1) - y^{2}(x-y-1) - (x-y-1) = 0, sacando factor común (x−y−1)(x2−y2−1)=0(x-y-1)(x^{2}-y^{2}-1) = 0, de donde se tiene
{x−y−1=0x2−y2−1=0⇒{x−y=1(1)x2−y2=1(2)\begin{cases} x-y-1 = 0\\ x^{2}-y^{2}-1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x-y = 1 (1)\\ x^{2}-y^{2} = 1 (2) \end{cases}

 • 3y3+6y2−2xy2−3y+8xy+2x−8x2=03y^{3}+6y^{2} - 2xy^{2} - 3y + 8xy + 2x - 8x^{2} = 0
SOLUCIÓN
3y3+6y2−2xy2−3y+8xy+2x−8x2=03y^{3}+6y^{2} - 2xy^{2} - 3y + 8xy + 2x - 8x^{2} = 0
graficando convectivamene se tiene:
(3yx2−2x3)+(3y2−2xy)−(12xy−8x3)=0sacando partes comuˊn(3yx^{2}-2x^{3}) + (3y^{2}-2xy) - (12xy - 8x^{3}) = 0 \text{sacando partes común}
x2(3y−2x)+y(3y−2x)−4x(3y−2x)=0, sacando factores comuˊnx^{2}(3y-2x) + y(3y - 2x) - 4x(3y-2x) = 0, \text{ sacando factores común}
(3y−2x)(x2+y−4x)=0(3y - 2x)(x^{2}+y-4x) = 0, de donde se tiene:
{3y−2x=0x2+y−4x=0⇒{3y=2x(1)(x−2)2=−(y−4)(2)\begin{cases} 3y-2x = 0\\ x^{2}+y-4x = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3y = 2x (1)\\ (x-2)^{2} = -(y-4) (2) \end{cases}

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