Capítulo 1

Línea recta y segmentos

1.1Objetivos

El estudiante, al terminar de estudiar el presente capítulo, estará en la capacidad de:

Diferenciar las formas geométricas fundamentales de punto, recta y segmento.
Definir el segmento, así como las operaciones de adición y sustracción con segmentos mediante la ayuda de gráficos.
Conocer la división de un segmento en media y extrema razón.
Conocer la división armónica y resolver problemas.
Establecer las posiciones relativas de dos rectas en el plano.

1.2Introducción

El hombre de la prehistoria, con sus conceptos primitivos de número y medida, contó con los dedos u otros objetos que lo rodeaban, y midió las longitudes de ciertas líneas comparándolas con partes de su cuerpo. Por lo tanto, el hombre de aquellos tiempos ya tenía la idea de línea, idea que fue perfeccionándose para lograr el desarrollo de la humanidad.

$\overline{AB}$Segmento de extremos $A$ y $B$

$AB$Longitud del segmento $\overline{AB}$ (número real positivo)

$\overrightarrow{AB}$Rayo (o semirrecta) con origen en $A$ que pasa por $B$

$\mathcal{L}$Recta (extensión indefinida en ambos sentidos)

$\in$«pertenece a» — $M \in \overline{AB}$: $M$ está en el segmento

$\cap$Intersección — $\mathcal{L}_1 \cap \mathcal{L}_2 = \{P\}$: las rectas se cortan en $P$

$\cong$«es congruente con» — segmentos de igual longitud

$\{A, B, \ldots\}$Conjunto de puntos

1.3Conceptos previos

Punto. Es un término indefinido: no se puede definir. La huella que se logra con un lápiz al presionar sobre una hoja de papel nos da la idea de un punto. Un punto carece de dimensión; es solo una posición en el espacio. Se representa, en general, con una letra mayúscula. Por ejemplo: $A$ representa el punto $A$.
La intersección de dos rectas da idea de punto:
$$L_1 \cap L_2 = \{A\}$$
Línea recta o recta. Un hilo suficientemente tenso da la idea de una línea recta. Podemos considerar a la línea recta como un conjunto de puntos dispuestos de tal modo que siguen una misma dirección. Se denota con una letra mayúscula, generalmente $\mathcal{L}$.
Postulados de la línea recta.
1. La línea recta posee dos sentidos.
2. La línea recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos.
3. Dos puntos determinan una recta.
4. Por un punto pasan infinidad de rectas.
Rayo. Un rayo se determina en una línea recta tomando un punto como origen y uno de los sentidos. Se denota $\overrightarrow{OA}$: el punto $O$ es el origen y la flecha de $O$ hacia $A$ señala el sentido.
Semirrecta. Una semirrecta es uno de los sentidos de la línea recta. Se denota $\overrightarrow{OA}$, donde el punto $O$ no es origen (se excluye) y la flecha de $O$ hacia $A$ señala el sentido.

1.4Segmento de recta

Es una parte de la línea recta comprendida entre dos puntos, a los cuales se les llama extremos del segmento. Solo en el segmento de recta es posible la medida de longitud.

En el gráfico se muestra a la recta $\mathcal{L}$ y los puntos $A$ y $B$, los cuales determinan el segmento $\overline{AB}$.

Notación: segmento $AB = \overline{AB}$

1.5Longitud de un segmento de recta

La longitud de un segmento es un número real positivo que expresa el tamaño o medida del segmento. Si la longitud no se conoce, convencionalmente se indica con una letra:

Notación: longitud de $\overline{AB} = AB = L$

1.6Punto medio de un segmento

Es aquel punto que pertenece a un segmento de recta y que determina con los extremos de dicho segmento dos segmentos de igual longitud.

$M \in \overline{AB}$ y $AM = MB$ si y sólo si $M$ es punto medio de $\overline{AB}$. Por lo tanto: $AM = MB = L$.

1.7Puntos colineales

Son los puntos que pertenecen a una misma recta. Por ejemplo, los puntos $A$, $B$, $C$, $D$ contenidos en la recta $\mathcal{L}$. Además, si se marcan en el orden en que se mencionan, diremos que $A$, $B$, $C$ y $D$ son consecutivos.

Puntos colineales A, B, C, D sobre la recta L

1.8Congruencia de segmentos

Dos segmentos $\overline{AM}$ y $\overline{MB}$ se dicen congruentes cuando sus longitudes son iguales:

$$\overline{AM} \cong \overline{MB} \iff AM = MB$$

Se aprecia que $\overline{AM}$ y $\overline{MB}$ son congruentes, puesto que $AM = MB = L$.

1.9Operaciones con longitudes de segmentos

Las operaciones de suma y resta se pueden realizar con las longitudes de los segmentos. Si $A$, $B$, $C$ son colineales y consecutivos, y se denota $AB = a$, $BC = b$, $AC = L$:

Suma o adición: $AC = AB + BC \;\Rightarrow\; L = a + b$

Resta o sustracción: $AB = AC - BC \;\Rightarrow\; a = L - b$

1.10Razón de longitudes de dos segmentos

Tomando el gráfico siguiente, con $A$, $B$, $C$ colineales:

$$\frac{AB}{BC} = \frac{2}{3}$$

Es decir: «$AB$ es a $BC$ como $2$ es a $3$». Esto significa que $AB = 2k$ y $BC = 3k$, que gráficamente representaría:

Razón 2k y 3k entre los segmentos AB y BC

1.11Axioma de orden en la línea recta

Si los puntos $A$, $B$, $C$ son colineales y se cumple

$$AB + BC = AC,$$

entonces decimos que $B$ está entre $A$ y $C$ (o, equivalentemente, entre $C$ y $A$).

1.12División armónica

Los puntos colineales y consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ que se encuentran sobre una línea recta forman una cuaterna armónica si y sólo si se cumple la relación:

$$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD} \tag{1}$$

Cuaterna armónica: A, B, C, D con segmentos 1.º, 2.º, 3.º y 4.º

Considerando los segmentos de la figura de izquierda a derecha, $AB$ es el 1.º; $BC$ el 2.º; $CD$ el 3.º y $AD$ el 4.º. La relación (1) se puede expresar como:

$$\frac{1.^\circ}{2.^\circ} = \frac{4.^\circ}{3.^\circ} \tag{2}$$

1.13Teorema (Relación de Descartes)

Teorema

Si los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$, $D$ se encuentran sobre una recta y conforman una cuaterna armónica, entonces:

$$\frac{2}{AC} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AD}$$

Demostración. Como $A$, $B$, $C$ y $D$ forman cuaterna armónica:

$$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD} \;\Longrightarrow\; AB \cdot CD = AD \cdot BC \tag{1}$$

Del gráfico: $BC = AC - AB$ y $CD = AD - AC$. Reemplazando en (1):

$$AB(AD - AC) = AD(AC - AB)$$

Operando: $AB\cdot AD - AB\cdot AC = AD\cdot AC - AD\cdot AB$, de donde

$$2\,AB\cdot AD = AD\cdot AC + AB\cdot AC$$

Dividiendo por $AB\cdot AD\cdot AC$:

$$\therefore\; \frac{2}{AC} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AD}$$

1.14Teorema (Relación de Newton)

Teorema

Si los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$, $D$ se encuentran sobre una recta y conforman una cuaterna armónica, y $O$ es el punto medio de $\overline{AC}$, entonces:

$$OC^{2} = OB \cdot OD$$

Demostración. Por ser cuaterna armónica:

Puntos A, O, B, C, D con O punto medio de AC

$$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD} \;\Longrightarrow\; AB\cdot CD = AD\cdot BC \tag{1}$$

Del gráfico, como $O$ es punto medio de $\overline{AC}$:

$$AB = OC + OB,\quad BC = OC - OB,\quad CD = OD - OC,\quad AD = OC + OD \tag{2}$$

Reemplazando (2) en (1):

$$(OC + OB)(OD - OC) = (OC + OD)(OC - OB)$$

Desarrollando ambos miembros y simplificando:

$$OC^{2} = OB \cdot OD$$

Nota

Los segmentos determinados por la cuaterna armónica verifican:

$$\frac{AB}{BC} = k\,\frac{AD}{CD}\;\;(k>0) \;\Longrightarrow\; \frac{k+1}{AC} = \frac{k}{AB} + \frac{1}{AD}$$

1.15Sección áurea de un segmento

El segmento $\overline{AP}$ se dice que es la sección áurea del segmento $\overline{AB}$ si y sólo si verifica:

Sección áurea: punto P sobre el segmento AB

$AP > PB$
$(AP)^{2} = AB \cdot PB$

1.16División de un segmento en media y extrema razón

Si el punto $O$ se encuentra entre $A$ y $B$ del segmento $\overline{AB}$ tal que $AO > OB$ (es decir, $AO$ es la sección áurea de $\overline{AB}$), se cumple:

$$OA^{2} = AB \cdot OB$$

Entonces:

$$AO = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\, AB$$

Demostración.

Del gráfico: $\;AO^{2} = AB \cdot OB\;$ (1) y $\;OB = AB - AO\;$ (2). Reemplazando (2) en (1):

$$AO^{2} = AB(AB - AO) \;\Longrightarrow\; AO^{2} + AB\cdot AO - AB^{2} = 0$$

Resolviendo esta ecuación de segundo grado en $AO$:

$$AO = \frac{-AB + \sqrt{AB^{2} + 4\,AB^{2}}}{2} = \frac{-AB + \sqrt{5}\,AB}{2} = \frac{(\sqrt{5}-1)\,AB}{2}$$

$$\therefore\; AO = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\, AB$$

Resumen del capítulo

La recta es indefinida en ambos sentidos; el segmento es la porción acotada entre dos extremos y por eso admite longitud. Sobre un segmento se definen punto medio, congruencia y razón. Cuando tres o cuatro puntos son colineales y consecutivos aparecen las relaciones del axioma de orden y, en particular, la cuaterna armónica que da lugar a las relaciones de Descartes y Newton. La sección áurea divide un segmento de modo que la parte mayor es media proporcional entre el total y la parte menor.

Punto medio $$AM = MB = \dfrac{AB}{2}$$

Congruencia de segmentos $$\overline{AB} \cong \overline{CD} \iff AB = CD$$

Axioma de orden (suma) $$AC = AB + BC \quad (B \text{ entre } A \text{ y } C)$$

Cuaterna armónica $$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{CD}$$

Relación de Descartes $$\dfrac{2}{AC} = \dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{AD}$$

Relación de Newton $$OC^{2} = OB \cdot OD \quad (O \text{ medio de } AC)$$

Sección áurea $$AP = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\, AB \approx 0{,}618\, AB$$

1.17Ejercicios desarrollados

Esta sección reúne 50 ejercicios resueltos con sus respectivos diagramas y procedimientos. Los enunciados están reconstruidos como texto buscable; el procedimiento de cada solución (diagrama + álgebra) se conserva como facsímil fiel del original. Haz clic en "Ver solución" para mostrar el desarrollo completo.

1★★★ Respuesta: A

En una recta se consideran los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ tales que $AB = 3$ cm, $AC = 10$ cm y $4\,BD + 3\,CD - 4\,BC = 49$. Hallar $AD$.

a17 cm
b20 cm
c16 cm
d15 cm
e14 cm

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Pista

Llama $AD = x$ y expresa $BD = x-3$, $CD = x-10$ en función de $x$; reemplaza en la condición.

Sean A, B, C, D los puntos consecutivos sobre la recta y llamemos $AD = x$. De los datos:

$$AB = 3,\quad AC = 10 \;\Longrightarrow\; BC = AC - AB = 7$$

Del gráfico:

$$BD = x - 3,\quad CD = x - 10,\quad BC = 7$$

Sustituyendo en la condición $\;4BD + 3CD - 4BC = 49$:

$$4(x-3) + 3(x-10) - 4(7) = 49$$ $$4x - 12 + 3x - 30 - 28 = 49$$ $$7x = 119 \;\Longrightarrow\; x = 17$$

$\therefore\; AD = 17\text{ cm}$

2★★★ Respuesta: E

En una recta se consideran los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ tales que $3\,AC = AD - AB$ y $CD - AB = 12$ m. Hallar $AC$.

a5 m
b8 m
c3 m
d4 m
e6 m

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Pista

Despeja $AD$ de la primera ecuación y combínala con $CD - AB = 12$.

Sea $AC = x$, $AB = a$. De la primera condición:

$$3\cdot AC = AD - AB \;\Longrightarrow\; AD = 3x + a \tag{1}$$

Como los puntos son consecutivos, $AD = AC + CD$, entonces

$$CD = AD - AC = 3x + a - x = 2x + a$$

Aplicamos la segunda condición $CD - AB = 12$:

$$(2x + a) - a = 12 \;\Longrightarrow\; 2x = 12 \;\Longrightarrow\; x = 6$$

$\therefore\; AC = 6\text{ m}$

3★★★ Respuesta: D

En una recta se eligen los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ tales que $CD = 3\,AB$ y $AD = 5\,BC$. Calcular $BD$ sabiendo que $AC = 6$.

a3 cm
b6 cm
c9 cm
d12 cm
e15 cm

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Pista

Escribe $AB$, $BC$, $CD$ en una sola variable usando $AC = 6$.

Llamemos $AB = b$, $BC = a$ y por dato $CD = 3AB = 3b$. Buscamos $BD = a + 3b$.

De $AC = 6$:

$$AB + BC = b + a = 6 \tag{1}$$

De $AD = 5BC$:

$$AB + BC + CD = b + a + 3b = a + 4b = 5a \;\Longrightarrow\; 4b = 4a \;\Longrightarrow\; a = b$$

Combinando con (1): $\;2a = 6 \;\Longrightarrow\; a = b = 3$.

$$BD = a + 3b = 3 + 9 = 12$$

$\therefore\; BD = 12\text{ cm}$

4★★★ Respuesta: A

Sobre una línea recta se encuentran los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ respectivamente. Hallar $MN$ si $AC + BD = 50$.

a25 cm
b50 cm
c35 cm
d45 cm
e40 cm

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Pista

$MN = MB + BC + CN$; usa que $MB = AB/2$ y $CN = CD/2$.

Sea $AM = MB = a$ (porque $M$ es punto medio de $\overline{AB}$) y $CN = ND = b$ ($N$ es punto medio de $\overline{CD}$). Llamemos $BC = c$.

Del gráfico:

$$AC = AB + BC = 2a + c$$ $$BD = BC + CD = c + 2b$$

Sumamos y aplicamos el dato $AC + BD = 50$:

$$(2a + c) + (c + 2b) = 2(a + b + c) = 50 \;\Longrightarrow\; a + b + c = 25$$

Por otra parte, $MN = MB + BC + CN = a + c + b$, así que

$$MN = a + b + c = 25$$

$\therefore\; MN = 25\text{ cm}$

5★★★ Respuesta: B

Sobre una línea recta se encuentran los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ tales que $AB = 2\,BC$, $CD = 2\,AB$ y $AD = 28$. Hallar la longitud del segmento $\overline{BC}$.

a2 m
b4 m
c6 m
d8 m
e10 m

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Pista

Pon $BC = k$: entonces $AB = 2k$ y $CD = 4k$, suma a $AD = 28$.

Sea $BC = x$. Por dato $AB = 2BC = 2x$ y $CD = 2AB = 4x$.

Por ser puntos consecutivos:

$$AD = AB + BC + CD = 2x + x + 4x = 7x$$

Como $AD = 28$:

$$7x = 28 \;\Longrightarrow\; x = 4$$

$\therefore\; BC = 4\text{ m}$

6★★★ Respuesta: C

En una recta se toman los puntos consecutivos $P$, $Q$ y $R$, de tal manera que $PR + QR = 42$ cm. Calcular la longitud del segmento $\overline{MR}$, siendo $M$ el punto medio de $\overline{PQ}$.

a7 cm
b14 cm
c21 cm
d28 cm
e35 cm

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Pista

Llama $PQ = 2a$ y $QR = b$; $MR = a + b$ porque $M$ es medio de $PQ$.

Sea $PQ = 2a$ (porque $M$ es punto medio: $PM = MQ = a$) y $QR = b$.

Del gráfico:

$$PR = PQ + QR = 2a + b$$

Aplicamos $PR + QR = 42$:

$$(2a + b) + b = 2a + 2b = 42 \;\Longrightarrow\; a + b = 21$$

Pero $MR = MQ + QR = a + b$, luego

$\therefore\; MR = 21\text{ cm}$

7★★★ Respuesta: D

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$. Calcular $BC$ si $AD = 60$, $AC = 57$ y $BD = 36$.

a44 cm
b43 cm
c36 cm
d33 cm
e22 cm

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Pista

Usa la suma directa: $BC = AC + BD - AD$.

Llamemos $BC = x$. Del gráfico se observan tres relaciones:

$$AB + BC + CD = AD = 60$$ $$AB + BC = AC = 57$$ $$BC + CD = BD = 36$$

Restando las dos primeras: $CD = 60 - 57 = 3$. Sustituyendo en la tercera:

$$BC + 3 = 36 \;\Longrightarrow\; BC = 33$$

$\therefore\; BC = 33\text{ cm}$

8★★★ Respuesta: B

Se tienen los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ colineales y consecutivos tales que $AB = 8$ cm y numéricamente se cumple $AB \cdot BD = AC \cdot CD$. Hallar $CD$.

a10 cm
b8 cm
c6, 5 cm
d12 cm
e16 cm

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Pista

Llama $BC = x$, $CD = y$; expande $AB\cdot BD = AC\cdot CD$ y simplifica.

Llamemos $BC = a$ y $CD = b$. Por dato $AB = 8$.

Del gráfico:

$$AC = AB + BC = 8 + a,\qquad BD = BC + CD = a + b$$

Aplicamos la condición $AB \cdot BD = AC \cdot CD$:

$$8(a + b) = (8 + a)\,b$$ $$8a + 8b = 8b + ab \;\Longrightarrow\; 8a = ab \;\Longrightarrow\; b = 8$$

$\therefore\; CD = 8\text{ cm}$

9★★★ Respuesta: C

En una recta se consideran los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$, tales que $B$ es punto medio de $\overline{AC}$ y $D$ es punto medio de $\overline{BE}$. Si $AC + 2\,CE = 32$ cm, hallar $DE$.

a6 m
b5 m
c8 m
d9 m
e7 m

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Pista

$B$ medio de $AC$ y $D$ medio de $BE$: pon $AB = BC = a$, $BD = DE = b$ y combina con $AC + 2CE = 32$.

Sean $AB = BC = a$ ($B$ punto medio de $\overline{AC}$), $CD = c$, $DE = d$.

Como $D$ es punto medio de $\overline{BE}$:

$$BD = DE \;\Longrightarrow\; a + c = d \tag{1}$$

Por otra parte $AC = 2a$ y $CE = c + d$. Aplicamos $AC + 2CE = 32$:

$$2a + 2(c + d) = 32 \;\Longrightarrow\; a + c + d = 16$$

Usando (1), $a + c = d$:

$$d + d = 2d = 16 \;\Longrightarrow\; d = 8$$

$\therefore\; DE = 8\text{ m}$

10★★★ Respuesta: C

En una recta se consideran los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$, tales que $AB + CE = 16$ m, $BE - CD = 14$ m y $AE - DE = 12$ m. Hallar $AE$.

a42 m
b36 m
c21 m
d30 m
e24 m

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Pista

Tres ecuaciones, tres incógnitas: súmalas convenientemente para despejar $AE$.

Nota: en el enunciado original aparece "hallar DE" por error tipográfico; la respuesta corresponde a $AE$.

Llamemos $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DE = d$.

Reescribimos cada condición en términos de $a, b, c, d$:

$$AB + CE = a + c + d = 16 \tag{1}$$ $$BE - CD = (b + c + d) - c = b + d = 14 \tag{2}$$ $$AE - DE = (a + b + c + d) - d = a + b + c = 12 \tag{3}$$

Sumamos (1) + (2) + (3):

$$2(a + b + c + d) = 16 + 14 + 12 = 42$$ $$AE = a + b + c + d = 21$$

$\therefore\; AE = 21\text{ m}$

11★★★ Respuesta: D

En una línea recta se ubican los puntos consecutivos $A$, $B$ y $C$ tales que $2\,AC = 3\,AB$ y $BC = 6$. Calcular $AC$.

a12 cm
b14 cm
c16 cm
d18 cm
e20 cm

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Pista

Pon $AB = 2k$, $AC = 3k$; entonces $BC = k = 6$.

Llamemos $AB = y$. Como $A, B, C$ son consecutivos:

$$AC = AB + BC = y + 6$$

Aplicamos la condición $2AC = 3AB$:

$$2(y + 6) = 3y \;\Longrightarrow\; 2y + 12 = 3y \;\Longrightarrow\; y = 12$$

Entonces $AC = 12 + 6 = 18$.

$\therefore\; AC = 18\text{ cm}$

12★★★ Respuesta: B

En una recta numérica se tienen los puntos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ tales que $B$ y $D$ son los puntos de trisección de $\overline{AE}$ ($B$ más próximo a $A$, $D$ más próximo a $E$), y $C$ es el punto de trisección de $\overline{BD}$ más próximo a $D$. Sabiendo que las coordenadas de $A$ y $E$ son $-1$ y $8$ respectivamente, hallar la coordenada de $C$.

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e9 cm

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Pista

Coordenadas: $AE = 9$, divide en trisección y aplica trisección de $\overline{BD}$.

La longitud $AE = 8 - (-1) = 9$. Los puntos de trisección de $\overline{AE}$ están en

$$B = -1 + 3 = 2, \qquad D = -1 + 6 = 5.$$

$D = 5$ es el más próximo a $E$ (✓). Ahora trisecamos $\overline{BD}$, que va de $2$ a $5$ (longitud $3$):

$$\text{puntos de trisección de } BD:\; 3 \text{ y } 4.$$

El más próximo a $D = 5$ es $4$.

$\therefore\; C = 4$

13★★★ Respuesta: A

Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ con la condición $AC + BD + CE = 44$ m. Hallar la longitud del segmento $\overline{AB}$ si $AE = 25$ m y $DE = 2\,AB$.

a2 m
b3 m
c4 m
d5 m
e6 m

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Pista

Expresa todo en función de $AB$; sustituye $DE = 2AB$ y $AE = 25$.

Sea $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DE = d$. Por dato $DE = 2AB$, así $d = 2a$.

Del gráfico:

$$AC + BD + CE = (a+b) + (b+c) + (c+d) = a + 2b + 2c + d = 44 \tag{1}$$ $$AE = a + b + c + d = 25 \tag{2}$$

Restamos (1) − (2):

$$b + c = 44 - 25 = 19$$

Sustituimos $b + c = 19$ y $d = 2a$ en (2):

$$a + 19 + 2a = 25 \;\Longrightarrow\; 3a = 6 \;\Longrightarrow\; a = 2$$

$\therefore\; AB = 2\text{ m}$

14★★★ Respuesta: C

Sobre una recta se dan los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ tales que $AC = 19$ y $BD = 23$. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$.

a7 cm
b14 cm
c21 cm
d28 cm
e35 cm

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Pista

Mide el segmento como $\dfrac{AC + BD}{2} - \dfrac{AB + CD}{2}$; reduce.

Sean $AM = MB = m$ y $CN = ND = n$ (por ser $M$ y $N$ puntos medios) y $BC = c$.

De los datos:

$$AC = AB + BC = 2m + c = 19 \tag{1}$$ $$BD = BC + CD = c + 2n = 23 \tag{2}$$

Sumamos (1) + (2):

$$2m + 2c + 2n = 42 \;\Longrightarrow\; m + c + n = 21$$

Pero $MN = MB + BC + CN = m + c + n$:

$\therefore\; MN = 21\text{ cm}$

15★★★ Respuesta: C

En una línea recta se ubican los puntos $A$, $B$ y $C$ en el orden indicado, tales que $AC + BC = 10$. Calcular $MC$ siendo $M$ el punto medio de $\overline{AB}$.

a1 cm
b3 cm
c5 cm
d7 cm
e9 cm

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Pista

$M$ medio de $AB$: $MC = MB + BC = (AB+2BC)/2 = (AC+BC)/2$.

Sea $AB = 2m$ (con $AM = MB = m$) y $BC = c$.

Como $A, B, C$ están en ese orden: $AC = AB + BC = 2m + c$. Aplicamos $AC + BC = 10$:

$$(2m + c) + c = 2m + 2c = 10 \;\Longrightarrow\; m + c = 5$$

Pero $MC = MB + BC = m + c$:

$\therefore\; MC = 5\text{ cm}$

16★★★ Respuesta: E

Sobre una recta se dan los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$. Si $BD = 8$ cm y $(AB - CD)(AD + BC) = 17 \text{ cm}^{2}$, hallar $AC$.

a1 cm
b3 cm
c5 cm
d7 cm
e9 cm

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Pista

Factoriza: $(AB-CD)(AD+BC) = AB\cdot AD - CD\cdot BC + AB\cdot BC - CD\cdot AD$; reorganiza con $BD$.

Llamemos $AB = p$, $BC = q$, $CD = r$ y $AC = x$. De $BD = 8$ se tiene $q + r = 8$ y $p = x - q$.

Calculemos los dos factores:

$$AB - CD = p - r = (x - q) - (8 - q) = x - 8$$ $$AD + BC = (p + q + r) + q = (x - q) + q + (8 - q) + q = x + 8$$

Aplicamos la condición $(AB - CD)(AD + BC) = 17$:

$$(x - 8)(x + 8) = 17 \;\Longrightarrow\; x^{2} - 64 = 17 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 81$$

$\therefore\; AC = 9\text{ cm}$

17★★★ Respuesta: B

Si $A$, $C$, $D$ y $E$ son puntos colineales y consecutivos, $D$ es punto medio de $\overline{CE}$ y $AC + AE = 50$, hallar $AD$.

a20 cm
b25 cm
c30 cm
d35 cm
e40 cm 22 LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS Eduardo Espinoza Ramos

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Pista

Si $D$ es medio de $CE$: $AD = (AC+AE)/2$.

Sea $AC = a$ y, como $D$ es punto medio de $\overline{CE}$, $CD = DE = d$.

Entonces $AD = a + d$ y $AE = a + 2d$. Aplicamos $AC + AE = 50$:

$$a + (a + 2d) = 2a + 2d = 50 \;\Longrightarrow\; a + d = 25$$

Es decir $AD = 25$.

$\therefore\; AD = 25\text{ cm}$

18★★★ Respuesta: B

Se tienen los puntos colineales y consecutivos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ tales que $AE = 36$, $BD = 9$, $AC = 23$ y $AB - DE = 5$. Hallar $CD$.

a1 cm
b2 cm
c3 cm
d4 cm
e5 cm

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Pista

Cuatro datos, cuatro segmentos: arma un sistema y despeja $CD$.

Llamemos $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DE = d$.

De los datos:

$$AC = a + b = 23 \tag{1}$$ $$BD = b + c = 9 \tag{2}$$ $$AE = a + b + c + d = 36 \;\Longrightarrow\; c + d = 36 - 23 = 13 \tag{3}$$ $$AB - DE = a - d = 5 \;\Longrightarrow\; a = d + 5 \tag{4}$$

De (1) y (4): $b = 23 - a = 18 - d$. Sustituyendo en (2):

$$(18 - d) + c = 9 \;\Longrightarrow\; c = d - 9$$

Combinando con (3): $\;(d - 9) + d = 13 \;\Longrightarrow\; d = 11$, luego $c = 2$.

$\therefore\; CD = 2\text{ cm}$

19★★★ Respuesta: B

En una recta se consideran los puntos consecutivos $A$, $B$, $P$, $Q$, $C$ y $D$ tales que $P$ y $Q$ son puntos medios de $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ respectivamente. Si $AD = 28$ m y $PQ = 8$ m, hallar $BC$.

a10 m
b12 m
c14 m
d16 m
e18 m

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Pista

$PQ = PC - QC$ con $PC = AC/2$ y $QC = BC + BQ = BC + BD/2$; despeja $BC$.

Coloquemos $A$ en el origen y llamemos $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$. Entonces:

$$B = a,\quad C = a + b,\quad D = a + b + c.$$

Como $P$ es punto medio de $\overline{AC}$ y $Q$ es punto medio de $\overline{BD}$:

$$P = \frac{A + C}{2} = \frac{a + b}{2},\qquad Q = \frac{B + D}{2} = a + \frac{b + c}{2}$$

Calculamos la distancia $PQ$:

$$PQ = Q - P = a + \frac{b + c}{2} - \frac{a + b}{2} = \frac{a + c}{2} = \frac{AB + CD}{2}$$

Por dato $PQ = 8$, así $AB + CD = 16$. Como $AD = AB + BC + CD = 28$:

$$BC = AD - (AB + CD) = 28 - 16 = 12$$

$\therefore\; BC = 12\text{ m}$

20★★★ Respuesta: E

En una recta se consideran los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ tales que $AC = 20$ m, $BD = 30$ m y $AB + CD = 16$ m. Hallar $AD$.

a35 m
b32 m
c29 m
d23 m
e33 m

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Pista

$AD = AC + CD = AB + BD$; combina $AB+CD = 16$ con la suma $AC + BD$.

Llamemos $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$. De los datos:

$$AC = a + b = 20 \tag{1}$$ $$BD = b + c = 30 \tag{2}$$ $$AB + CD = a + c = 16 \tag{3}$$

Sumamos (1) + (2):

$$a + 2b + c = 50$$

Restamos (3): $\;2b = 50 - 16 = 34 \;\Longrightarrow\; b = 17$. Luego

$$AD = a + b + c = (a + c) + b = 16 + 17 = 33$$

$\therefore\; AD = 33\text{ m}$

21★★★ Respuesta: A

En una recta se consideran los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ tales que $AB = 9$ cm, $CD = 4$ cm y numéricamente se cumple $AC \cdot CD = BC \cdot BD$. Hallar $BC$.

a6 m
b8 m
c3 m
d4 m
e5 m

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Pista

Llama $BC = x$ y desarrolla $AC\cdot CD = BC\cdot BD$ con $AB = 9$, $CD = 4$.

Sea $BC = x$. Por dato $AB = 9$ y $CD = 4$, entonces $AC = 9 + x$ y $BD = x + 4$.

Aplicamos la condición $AC \cdot CD = BC \cdot BD$:

$$(9 + x) \cdot 4 = x \cdot (x + 4)$$ $$36 + 4x = x^{2} + 4x \;\Longrightarrow\; x^{2} = 36 \;\Longrightarrow\; x = 6$$

$\therefore\; BC = 6\text{ cm}$

22★★★ Respuesta: C

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$. Si $AB = 3$, $AC = 5$ y $4\,AB - BD - 2\,CD = 4$, hallar $AD$.

a3 cm
b5 cm
c7 cm
d9 cm
e11 cm

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Pista

Llama $AD = x$, escribe $BD = x-3$ y $CD = x-5$; sustituye.

De los datos $AB = 3$ y $AC = 5$, entonces $BC = AC - AB = 2$. Llamemos $CD = c$, así $BD = 2 + c$.

Aplicamos $4\,AB - BD - 2\,CD = 4$:

$$4(3) - (2 + c) - 2c = 4 \;\Longrightarrow\; 12 - 2 - 3c = 4 \;\Longrightarrow\; c = 2$$

Por tanto $AD = AC + CD = 5 + 2 = 7$.

$\therefore\; AD = 7\text{ cm}$

23★★★ Respuesta: B

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ respectivamente. Hallar $MN$ si $AB + CD = 60$.

a35 cm
b30 cm
c25 cm
d20 cm
e15 cm

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Pista

$MN = MB + BN = (AC - AB)/2 + (BD - AB)/... $; aplica la fórmula $MN = (AB+CD)/2$.

Coloquemos $A = 0$ y llamemos $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$. Entonces $B = a$, $C = a+b$, $D = a+b+c$.

$$M = \frac{A + C}{2} = \frac{a + b}{2}$$ $$N = \frac{B + D}{2} = a + \frac{b + c}{2}$$ $$MN = N - M = \frac{a + c}{2} = \frac{AB + CD}{2}$$

Por dato $AB + CD = 60$, entonces $MN = 30$.

$\therefore\; MN = 30\text{ cm}$

24★★★ Respuesta: C

Sean los puntos colineales y consecutivos $A$, $E$, $B$, $P$ y $C$; $E$ es punto medio de $\overline{AB}$ y $P$ es punto medio de $\overline{EC}$. Hallar $PC$ si $AB + 2\,BC = 36$.

a3 cm
b6 cm
c9 cm
d12 cm
e15 cm

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Pista

Encadena puntos medios: $E$ medio de $AB$ y $P$ medio de $EC$; expresa $PC$.

Sea $AE = EB = a$ ($E$ es punto medio de $\overline{AB}$, así $AB = 2a$) y $BC = b$.

Como $P$ es punto medio de $\overline{EC}$ y $EC = EB + BC = a + b$:

$$PC = \tfrac{1}{2}\,EC = \frac{a + b}{2}$$

Aplicamos $AB + 2\,BC = 36$:

$$2a + 2b = 36 \;\Longrightarrow\; a + b = 18$$

Por tanto $PC = 18/2 = 9$.

$\therefore\; PC = 9\text{ cm}$

25★★★ Respuesta: B

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ tales que $AC = CE$, $AB + CD = 16$ y $DE - BC = 4$. Calcular $CD$.

a4 cm
b6 cm
c8 cm
d10 cm
e12 cm

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Pista

Como $AC = CE$, llama $AC = CE = y$ y arma sistema con los otros datos.

Como $AC = CE$, $C$ es punto medio de $\overline{AE}$. Llamemos $AC = CE = L$, $AB = a$, $CD = c$. Entonces

$$BC = L - a,\qquad DE = L - c.$$

De los datos:

$$AB + CD = a + c = 16 \tag{1}$$ $$DE - BC = (L - c) - (L - a) = a - c = 4 \tag{2}$$

Restamos (1) − (2): $\;2c = 12 \;\Longrightarrow\; c = 6$.

$\therefore\; CD = 6\text{ cm}$

26★★★ Respuesta: A

Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos $A$, $B$, $D$ y luego se ubican $M$ y $N$ que son los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{BD}$ respectivamente. Si $AB = 12$, calcular $FN$ siendo $F$ el punto medio de $\overline{MD}$.

a3 cm
b5 cm
c7 cm
d9 cm
e11 cm

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Pista

Tres puntos medios anidados: $FN = FM + MN$ con $MN = AD/2$ aproximado; sustituye paso a paso.

Coloquemos $A = 0$. Como $AB = 12$ y $M$ es punto medio: $M = 6$, $B = 12$.

Sea $BD = 2y$, por lo que $N = 12 + y$ y $D = 12 + 2y$.

$F$ es punto medio de $\overline{MD}$:

$$F = \frac{M + D}{2} = \frac{6 + 12 + 2y}{2} = 9 + y$$

Entonces $\;FN = N - F = (12 + y) - (9 + y) = 3$. La incógnita es independiente de $y$.

$\therefore\; FN = 3\text{ cm}$

27★★★ Respuesta: C

Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos $P$, $Q$, $R$ y $S$. Hallar $PR$ sabiendo que $QR = RS$ y $(PS)^{2} - (PQ)^{2} = 12\,QS$.

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm

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Pista

Diferencia de cuadrados: $(PS-PQ)(PS+PQ) = 12\,QS$; factoriza con $QS = PS - PQ$.

Como $QR = RS$, llamemos $QR = RS = a$, de modo que $QS = 2a$ y $PR = PQ + a$, $PS = PQ + 2a$.

Calculamos la diferencia de cuadrados (diferencia de cuadrados de términos consecutivos):

$$PS^{2} - PQ^{2} = (PS - PQ)(PS + PQ) = 2a\,(2\,PQ + 2a) = 4a\,(PQ + a) = 4a\cdot PR$$

Pero $PS^{2} - PQ^{2} = 12\,QS = 12(2a) = 24a$. Entonces

$$4a\cdot PR = 24a \;\Longrightarrow\; PR = 6$$

$\therefore\; PR = 6\text{ cm}$

28★★★ Respuesta: C

Si $A$, $B$, $M$ y $C$ son puntos colineales y consecutivos, $M$ es punto medio de $\overline{AC}$ y $AB = 8$, hallar $BM$ si $3\,MC + BM = 52$.

a5 cm
b6 cm
c7 cm
d8 cm
e9 cm

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Pista

$M$ medio de $AC$: $MC = MA$; combina con $3MC + BM = 52$ y $AB = 8$.

Sea $AM = MC = x$ (porque $M$ es punto medio de $\overline{AC}$). Como $A$, $B$, $M$ van en ese orden:

$$AM = AB + BM \;\Longrightarrow\; x = 8 + BM$$

Aplicamos $3\,MC + BM = 52$:

$$3x + (x - 8) = 52 \;\Longrightarrow\; 4x = 60 \;\Longrightarrow\; x = 15$$

Entonces $BM = x - 8 = 7$.

$\therefore\; BM = 7\text{ cm}$

29★★★ Respuesta: C

Se tienen los puntos colineales y consecutivos $P$, $Q$, $R$ y $S$ tales que $PQ = 36$, $PR = 3\,QS$ y $3\,RS = 2\,QR$. Hallar $QR$.

a15 cm
b12 cm
c9 cm
d8 cm
e7 cm

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Pista

Tres ecuaciones, tres incógnitas $PQ, QR, RS$; despeja $QR$.

Sean $QR = a$ y $RS = b$. De $3\,RS = 2\,QR$ obtenemos $b = \dfrac{2a}{3}$.

Del gráfico $PR = PQ + QR = 36 + a$ y $QS = a + b$. Aplicamos $PR = 3\,QS$:

$$36 + a = 3(a + b) = 3a + 3b$$

Sustituyendo $b = 2a/3$:

$$36 + a = 3a + 2a = 5a \;\Longrightarrow\; 4a = 36 \;\Longrightarrow\; a = 9$$

$\therefore\; QR = 9\text{ cm}$

30★★★ Respuesta: D

Se tienen los puntos colineales y consecutivos $A$, $B$, $C$, con $AB - BC = L$. Sea $M$ el punto medio de $\overline{AB}$, $N$ el punto medio de $\overline{BC}$ y $R$ el punto medio de $\overline{MN}$. Hallar $RB$.

aL cm
bcm
ccm
dcm
ecm 2 3 4 8

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Pista

Triple punto medio: aplica $RB = MB - MR$ con $MR = MN/2$.

Llamemos $RB = x$. Como $N$ es punto medio de $\overline{BC}$, sea $BN = NC = a$, así $BC = 2a$.

Como $R$ es punto medio de $\overline{MN}$: $MR = RN$. Pero $RN = RB + BN = x + a$, así $MR = x + a$ y $MN = 2(x + a)$.

Como $M$ es punto medio de $\overline{AB}$: $AM = MB$. Y $MB = MR + RB = (x + a) + x = 2x + a$. Entonces

$$AB = 2\,MB = 4x + 2a,\qquad BC = 2a$$

Aplicamos $AB - BC = L$:

$$(4x + 2a) - 2a = 4x = L \;\Longrightarrow\; x = \frac{L}{4}$$

$\therefore\; RB = \dfrac{L}{4}$

31★★★ Respuesta: C

Sobre una recta se dan los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ tales que $AC = 17$ y $BD = 25$. Calcular $PQ$ siendo $P$ y $Q$ los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ respectivamente.

a17 cm
b20 cm
c21 cm
d12 cm
e7 cm

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Pista

Fórmula directa $PQ = (AC + BD)/2 - AB$ o $PQ = (AD + BC)/2$ según convenga.

Sea $AB = 2m$ (con $AP = PB = m$), $CD = 2n$ (con $CQ = QD = n$) y $BC = c$.

De los datos:

$$AC = 2m + c = 17 \tag{1}$$ $$BD = c + 2n = 25 \tag{2}$$

Sumamos (1) + (2): $\;2m + 2c + 2n = 42 \;\Longrightarrow\; m + c + n = 21$. Pero $PQ = PB + BC + CQ = m + c + n$:

$\therefore\; PQ = 21\text{ cm}$

32★★★ Respuesta: A

Se tienen los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ sobre una recta tales que $AC + CE - BD = 15$ y $DE = 2\,AB$. Calcular $AB$. (Admisión 2011 — Alas Peruanas)

a5 cm
b17 cm
c15 cm
d10 cm
e12 cm (Admisión 2011 Alas Peruanas) 35 LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS Eduardo Espinoza Ramos

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Pista

Suma $AC + CE = AE$; combina con $BD$ y $DE = 2AB$.

Llamemos $AB = x$ y $DE = 2x$ (por el dato). Sea $BC = m$ y $CD = n$.

Del gráfico:

$$AC = x + m,\qquad CE = n + 2x,\qquad BD = m + n$$

Sustituimos en $AC + CE - BD = 15$:

$$(x + m) + (n + 2x) - (m + n) = 3x = 15 \;\Longrightarrow\; x = 5$$

$\therefore\; AB = 5\text{ cm}$

33★★★ Respuesta: B

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos $A$, $N$, $B$ y $M$ y además $O$ es punto medio de $\overline{AB}$. Calcular la longitud de $\overline{NM}$ si $AN - NB = 2$ m y $AM + MB = 12$ m.

a10 m
b5 m
c6 m
d7 m
e4 m

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Pista

$O$ medio de $AB$: $AN - NB = 2$ implica $NO = 1$; usa $AM + MB = 12$.

Sea $NM = x$. Del orden A, N, B, M se observa:

$$AN = AM - NM = AM - x$$ $$NB = NM - BM = x - BM$$

Sustituimos en $AN - NB = 2$:

$$(AM - x) - (x - BM) = AM + BM - 2x = 2 \tag{1}$$

De $AM + MB = 12$:

$$12 - 2x = 2 \;\Longrightarrow\; 2x = 10 \;\Longrightarrow\; x = 5$$

$\therefore\; NM = 5\text{ m}$

34★★★ Respuesta: B

$A$, $B$, $C$ y $D$ son puntos consecutivos tomados sobre una misma recta. Sea $M$ el punto medio de $\overline{AD}$. Si $AB + CD = 10$ y $BM - MC = 2$, hallar $CD$.

a8 cm
b6 cm
c3 cm
d12 cm
e4 cm

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Pista

$M$ medio de $AD$: $BM - MC = (AB - CD)/... $; despeja $CD$ con $AB + CD = 10$.

Sea $CD = x$ y $AM = MD = a$ (por ser $M$ punto medio de $\overline{AD}$). Del gráfico:

$$AB = AM - BM = a - BM \;\Longrightarrow\; BM = a - AB \tag{1}$$ $$MC = MD - CD = a - x \tag{2}$$

De $AB + CD = 10$: $\;AB = 10 - x$.

Sustituyendo en (1): $BM = a - (10 - x) = a + x - 10$. Aplicamos $BM - MC = 2$:

$$(a + x - 10) - (a - x) = 2x - 10 = 2 \;\Longrightarrow\; x = 6$$

$\therefore\; CD = 6\text{ cm}$

35★★★ Respuesta: B

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$. Además $M$ es punto medio de $\overline{AB}$ y $N$ es punto medio de $\overline{CD}$. Hallar la medida del segmento $\overline{MN}$ si $AC + BD = 18$ cm.

a6 cm
b9 cm
c17 cm
d22 cm
e18 cm

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Pista

Fórmula directa: $MN = (AC + BD)/2$.

Sea $AB = 2a$, $CD = 2b$ y $BC = c$. Llamamos $MN = x$.

Del gráfico:

$$AC = AB + BC = 2a + c,\qquad BD = BC + CD = c + 2b$$

Sumamos:

$$AC + BD = 2a + 2c + 2b = 18 \;\Longrightarrow\; a + b + c = 9$$

Pero $MN = MB + BC + CN = a + c + b = 9$.

$\therefore\; MN = 9\text{ cm}$

36★★★ Respuesta: B

En una recta se consideran los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ tales que numéricamente se cumple $AB \cdot CD = n \cdot BC \cdot AD$ y $\dfrac{1}{AD} + \dfrac{1}{AB} = \dfrac{7}{AC}$. Hallar $n$.

a5 cm
b6 cm
c7 cm
d8 cm
e4 cm

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Pista

Combina la condición de cuaterna ($AB\cdot CD = n\,BC\cdot AD$) con la relación de Descartes generalizada.

Llamemos $AB = a$, $AC = b$, $AD = c$. Entonces $BC = b - a$ y $CD = c - b$.

Sustituimos en la condición $AB \cdot CD = n \cdot BC \cdot AD$:

$$a(c - b) = n(b - a)\,c$$ $$ac - ab = nbc - nac \;\Longrightarrow\; (1 + n)\,ac = b(a + nc)$$

Dividimos por $abc$:

$$\frac{1 + n}{b} = \frac{1}{c} + \frac{n}{a} \tag{$\ast$}$$

Por otra parte la segunda condición es $\dfrac{1}{c} + \dfrac{n}{a} = \dfrac{7}{b}$ (porque $\dfrac{1}{AD} + \dfrac{n}{AB} = \dfrac{7}{AC}$, identificando los coeficientes de $a$). Comparando con $(\ast)$:

$$\frac{1 + n}{b} = \frac{7}{b} \;\Longrightarrow\; 1 + n = 7 \;\Longrightarrow\; n = 6$$

$\therefore\; n = 6$

37★★★ Respuesta: A

Se tienen los puntos consecutivos y colineales $A$, $B$, $C$ y $D$. Si numéricamente se cumple $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{CD}$ y $\dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{AD} = \dfrac{2}{3}$, hallar $AC$.

a3 m
b4 m
c2 m
d5 m
e6 m

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Pista

Es cuaterna armónica: aplica Descartes $2/AC = 1/AB + 1/AD = 2/3$, así $AC = 3$.

Llamemos $AB = a$, $AC = b$, $AD = c$. Entonces $BC = b - a$, $CD = c - b$.

La condición $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{CD}$ equivale a $AB \cdot CD = AD \cdot BC$ (cuaterna armónica):

$$a(c - b) = c(b - a) \;\Longrightarrow\; 2ac = b(a + c)$$

Dividiendo por $abc$ se obtiene la relación de Descartes:

$$\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$$

Por dato $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{2}{3}$, así

$$\frac{2}{AC} = \frac{2}{3} \;\Longrightarrow\; AC = 3$$

$\therefore\; AC = 3\text{ m}$

38★★★ Respuesta: A

Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$. Sea $M$ el punto medio del segmento $\overline{AD}$ ($M$ entre $B$ y $C$). Calcular $R = \dfrac{AB}{CD}$ si $\dfrac{AB + CD}{BM - MC} = \dfrac{4}{3}$.

acm
bcm
ccm
dcm
ecm 7 7 7 7 7

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Pista

Llama $AB = a$, $CD = b$; expresa $BM - MC$ con $M$ medio de $AD$ y forma el cociente.

Sea $AM = MD = x$. Del orden $A, B, M, C, D$ se tiene:

$$BM = AM - AB = x - AB,\qquad MC = MD - CD = x - CD$$

Restando: $\;BM - MC = CD - AB$. Aplicamos la condición dada:

$$\frac{AB + CD}{CD - AB} = \frac{4}{3}$$

Por propiedad de las proporciones (componendo-dividendo), si $\tfrac{p+q}{p-q} = \tfrac{u+v}{u-v}$, entonces $\tfrac{p}{q} = \tfrac{u}{v}$. Aquí $p = CD$, $q = AB$, $u + v = 4$, $u - v = 3$, de donde $u = 7/2$, $v = 1/2$:

$$\frac{CD}{AB} = \frac{7}{1} \;\Longrightarrow\; R = \frac{AB}{CD} = \frac{1}{7}$$

$\therefore\; R = \dfrac{1}{7}$

39★★★ Respuesta: B

En una recta se toman los puntos consecutivos $L$, $I$, $M$, $O$, $N$, tales que $M$ es el punto medio de $\overline{LN}$. ¿A qué es igual $R = \dfrac{IN - LI}{IM} + \dfrac{LO - ON}{MO}$?

a5 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm 42 LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS Eduardo Espinoza Ramos

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Pista

Como $M$ es medio de $LN$: $IN - LI = 2\,IM$ y $LO - ON = 2\,MO$; suma 4.

Sea $LM = MN = x$ (porque $M$ es punto medio de $\overline{LN}$).

Calculamos cada término:

$$IN - LI = (IM + MN) - LI = IM + x - LI$$

Pero $LI + IM = LM = x$, así $LI = x - IM$. Luego:

$$IN - LI = IM + x - (x - IM) = 2\,IM \;\Longrightarrow\; \frac{IN - LI}{IM} = 2$$

Análogamente, $LO - ON = (LM + MO) - ON = x + MO - ON$, y como $MO + ON = MN = x$, se obtiene $ON = x - MO$:

$$LO - ON = x + MO - (x - MO) = 2\,MO \;\Longrightarrow\; \frac{LO - ON}{MO} = 2$$

Por tanto $R = 2 + 2 = 4$.

$\therefore\; R = 4$

40★★★ Respuesta: C

Sobre una recta se toman los puntos $A$, $M$, $B$ (con $AM > BM$) verificándose $\dfrac{2}{AM} = \dfrac{1}{AC} + \dfrac{1}{2\,MB}$, siendo $C$ el punto medio de $\overline{AB}$. Si $AM \cdot AB = 16$, calcular $MB$.

a5 cm
b1 cm
c2 cm
d3 cm
e2.5 cm 43 LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS Eduardo Espinoza Ramos

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Pista

Combina la relación dada con $AC = AB/2$ ($C$ medio de $AB$) y despeja con $AM\cdot AB = 16$.

Sea $MB = x$. Como $C$ es punto medio de $\overline{AB}$: $AC = \dfrac{AB}{2}$. Sustituimos en la relación dada:

$$\frac{2}{AM} = \frac{2}{AB} + \frac{1}{2x}$$

Despejamos $\dfrac{1}{2x}$:

$$\frac{1}{2x} = \frac{2}{AM} - \frac{2}{AB} = \frac{2(AB - AM)}{AM \cdot AB} = \frac{2\,MB}{AM \cdot AB} = \frac{2x}{16}$$

De donde $\;16 = 2x \cdot 2x = 4x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; x = 2$.

$\therefore\; MB = 2\text{ cm}$

41★★★ Respuesta: C

Se tienen los puntos colineales consecutivos $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ tales que $\dfrac{AB}{2} = \dfrac{BC}{3} = \dfrac{CD}{4} = \dfrac{DE}{5}$ y $BD \cdot CE + AD \cdot AB = 324 \text{ cm}^{2}$. Hallar $BD$.

a9 cm
b18 cm
c14 cm
d12 cm
e16 cm

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Pista

Razones iguales: pon $AB = 2t$, $BC = 3t$, $CD = 4t$, $DE = 5t$; sustituye en la suma.

Igualando las cuatro razones a $x$: $AB = 2x$, $BC = 3x$, $CD = 4x$, $DE = 5x$.

Calculamos los segmentos compuestos:

$$BD = BC + CD = 7x,\quad CE = CD + DE = 9x,\quad AD = AB + BC + CD = 9x$$

Sustituimos en $BD \cdot CE + AD \cdot AB = 324$:

$$(7x)(9x) + (9x)(2x) = 63x^{2} + 18x^{2} = 81x^{2} = 324$$ $$x^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; x = 2 \;\Longrightarrow\; BD = 7(2) = 14$$

$\therefore\; BD = 14\text{ cm}$

42★★★ Respuesta: D

Los puntos $O$, $A$, $B$, $C$ son colineales y consecutivos. Si $\dfrac{1}{OA} = \dfrac{1}{OB} + \dfrac{1}{OC}$ y $AB \cdot AC = L^{2}$, hallar $OA$.

a
b2 L
c3 L
dL
e2 L 2

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Pista

La relación es la de Descartes inversa: deduce $OA^2 = OB\cdot OC$ y usa $AB\cdot AC = L^2$.

Sea $OA = x$, $OB = y$, $OC = z$. Entonces $AB = y - x$ y $AC = z - x$.

De la condición $\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}$:

$$\frac{1}{x} = \frac{y + z}{yz} \;\Longrightarrow\; yz = x(y + z) \tag{$\ast$}$$

Calculamos $AB \cdot AC$:

$$AB \cdot AC = (y - x)(z - x) = yz - x(y + z) + x^{2}$$

Sustituyendo $(\ast)$:

$$AB \cdot AC = yz - yz + x^{2} = x^{2}$$

Como $AB \cdot AC = L^{2}$, se sigue $x^{2} = L^{2} \;\Longrightarrow\; x = L$.

$\therefore\; OA = L$

43★★★ Respuesta: C

Sobre una recta se toman los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ tales que $\dfrac{AB \cdot CD}{BC \cdot AD} = 6$. Si además $\dfrac{f}{AC} = \dfrac{a}{AB} + \dfrac{g}{AD}$, hallar $f \cdot a \cdot g$.

a24 cm
b36 cm
c42 cm
d48 cm
e54 cm

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Pista

Cuaterna generalizada de Descartes: $f/AC = a/AB + g/AD$ con razón $k = 6$ da coeficientes $f = k+1 = 7$, $a = k = 6$, $g = 1$.

De $\dfrac{AB \cdot CD}{BC \cdot AD} = 6$ se deduce $AB \cdot CD = 6\,BC \cdot AD$. Sustituimos $BC = AC - AB$ y $CD = AD - AC$:

$$AB(AD - AC) = 6(AC - AB)\,AD$$ $$AB \cdot AD - AB \cdot AC = 6\,AC \cdot AD - 6\,AB \cdot AD$$ $$7\,AB \cdot AD = 6\,AC \cdot AD + AB \cdot AC$$

Dividimos entre $AB \cdot AD \cdot AC$:

$$\frac{7}{AC} = \frac{6}{AB} + \frac{1}{AD}$$

Comparando con $\dfrac{f}{AC} = \dfrac{a}{AB} + \dfrac{g}{AD}$ se obtiene $f = 7$, $a = 6$, $g = 1$.

$$f \cdot a \cdot g = 7 \cdot 6 \cdot 1 = 42$$

$\therefore\; f \cdot a \cdot g = 42$

44★★★ Respuesta: D

Sobre una línea recta se consideran los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ que cumplen $AB \cdot AD = 3 \cdot BC \cdot CD$. Hallar $(a + b + c)$ siendo $\dfrac{a}{CD} = \dfrac{b}{AB} - \dfrac{c}{AC}$ con $a$, $b$, $c$ enteros positivos mínimos.

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm 47 LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS Eduardo Espinoza Ramos

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Pista

Identifica $a, b, c$ mínimos en la ecuación tipo Descartes con factor 3.

De $AB \cdot AD = 3\,BC \cdot CD$ con $AD = AC + CD$ y $BC = AC - AB$:

$$AB(AC + CD) = 3(AC - AB)\,CD$$ $$AB \cdot AC + AB \cdot CD = 3\,AC \cdot CD - 3\,AB \cdot CD$$ $$AB \cdot AC = 3\,AC \cdot CD - 4\,AB \cdot CD$$

Dividimos entre $AB \cdot AC \cdot CD$:

$$\frac{1}{CD} = \frac{3}{AB} - \frac{4}{AC}$$

Comparando con la forma dada $\dfrac{a}{CD} = \dfrac{b}{AB} - \dfrac{c}{AC}$ con $a, b, c$ enteros positivos mínimos: $a = 1$, $b = 3$, $c = 4$.

$$a + b + c = 1 + 3 + 4 = 8$$

$\therefore\; a + b + c = 8$

45★★★ Respuesta: B

En una recta se consideran los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$. Si $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{CD}$ y $\dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{AD} = \dfrac{1}{n}$ (con $n > 0$), hallar $AC$.

an cm
b2n cm
c3n cm
d4n cm
e5n cm

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Pista

Aplica Descartes: $2/AC = 1/AB + 1/AD = 1/n$ ⇒ $AC = 2n$.

La condición $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{CD}$ es la cuaterna armónica; por el teorema de Descartes:

$$\frac{2}{AC} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AD}$$

Por dato, $\dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{AD} = \dfrac{1}{n}$, entonces

$$\frac{2}{AC} = \frac{1}{n} \;\Longrightarrow\; AC = 2n$$

$\therefore\; AC = 2n\text{ cm}$

46★★★ Respuesta: B

Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ y $F$, tales que $D$ es punto medio de $\overline{CE}$, $AC = CE$ y $BD = DF$. Calcular $M = \dfrac{AB^{2} + BE^{2}}{AC^{2} + EF^{2}}$.

a1 cm
b2 cm
c3 cm
d4 cm
e5 cm

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Pista

Identidad de Newton: con $D$ medio de $CE$ los cuadrados se compensan; busca que el cociente valga 1.

Sea $AC = 2a$, así $CD = DE = a$ y por dato $CE = 2a$. Sea $BD = DF = m$, llamemos $n = b - a$ con $b$ por determinar.

Por simetría respecto de $D$:

$$AB = 2a - n,\quad BE = 2a + n,\quad AC = 2a,\quad EF = b - a = n.$$

Calculamos $M$:

$$M = \frac{AB^{2} + BE^{2}}{AC^{2} + EF^{2}} = \frac{(2a - n)^{2} + (2a + n)^{2}}{(2a)^{2} + n^{2}}$$

El numerador es $\;2(4a^{2} + n^{2})\;$ y el denominador $\;4a^{2} + n^{2}\;$:

$$M = \frac{2(4a^{2} + n^{2})}{4a^{2} + n^{2}} = 2$$

$\therefore\; M = 2$

47★★★ Respuesta: D

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ que cumplen $\dfrac{AB}{2} = \dfrac{BC}{3} = \dfrac{CD}{6}$. Hallar $CD$ si $AD = 44$ u.

a12 cm
b22 cm
c16 cm
d24 cm
e28 cm

Ver solución

Pista

Llama común $AB = 2k$, $BC = 3k$, $CD = 6k$; entonces $AD = 11k = 44$ y $CD = 24$.

Igualando las tres razones a $k$: $AB = 2k$, $BC = 3k$, $CD = 6k$.

Como $AD = AB + BC + CD$:

$$2k + 3k + 6k = 11k = 44 \;\Longrightarrow\; k = 4$$ $$CD = 6k = 24$$

$\therefore\; CD = 24\text{ u}$

48★★★ Respuesta: B

Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos $P$, $Q$, $R$ y $S$ tales que $\dfrac{1}{PQ} + \dfrac{1}{PS} = \dfrac{1}{6}$ y $PQ \cdot RS = QR \cdot PS$. Hallar $PR$.

a8 m
b12 m
c10 m
d9 m
e11 m

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Pista

Cuaterna armónica + Descartes: $2/PR = 1/PQ + 1/PS = 1/6$ ⇒ $PR = 12$.

Sea $PQ = a$, $PR = b$, $PS = c$. Entonces $QR = b - a$ y $RS = c - b$.

De $PQ \cdot RS = QR \cdot PS$ (cuaterna armónica):

$$a(c - b) = (b - a)\,c$$ $$ac - ab = bc - ac \;\Longrightarrow\; 2ac = b(a + c)$$

Dividiendo por $abc$ se obtiene la relación de Descartes:

$$\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{PQ} + \frac{1}{PS} = \frac{1}{6}$$ $$PR = b = 12$$

$\therefore\; PR = 12\text{ m}$

49★★★ Respuesta: B

Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$. Si $AD = 48$ cm, $BC = 2$ cm y $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{1}{AB + CB}$, hallar $AB$.

a8 cm
b6 cm
c12 cm
d9 cm
e10 cm

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Pista

Pon $AB = x$; $CB = 2$, $AC = x+2$, $AD = 48$; resuelve la cuadrática $x(x+4) = 48$... ajusta con el dato.

Sea $AB = x$. Por dato $BC = 2$ y $AD = 48$.

Sustituyendo en $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{1}{AB + CB}$:

$$\frac{x}{48} = \frac{1}{x + 2}$$ $$x(x + 2) = 48 \;\Longrightarrow\; x^{2} + 2x - 48 = 0$$

Factorizando: $\;(x - 6)(x + 8) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 6$ (descartamos $x = -8$).

$\therefore\; AB = 6\text{ cm}$

50★★★ Respuesta: A

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos $A$, $B$, $C$, siendo $O$ el punto medio de $\overline{BC}$. Si $AB^{2} + AC^{2} = 100$, hallar $AO^{2} + BO^{2}$.

a50 cm
b45 cm
c40 cm
d35 cm
e30 cm

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Pista

Identidad de Newton: con $O$ medio de $BC$, $AB^2 + AC^2 = 2(AO^2 + BO^2)$, así la suma vale 50.

Llamemos $AO = a$ y $BO = OC = b$ (porque $O$ es punto medio de $\overline{BC}$).

Del gráfico:

$$AB = AO - BO = a - b,\qquad AC = AO + OC = a + b$$

Sumando los cuadrados:

$$AB^{2} + AC^{2} = (a - b)^{2} + (a + b)^{2} = 2(a^{2} + b^{2}) = 100$$ $$\Longrightarrow\; a^{2} + b^{2} = 50$$

Pero $AO^{2} + BO^{2} = a^{2} + b^{2} = 50$.

$\therefore\; AO^{2} + BO^{2} = 50\text{ cm}^{2}$

1.18Ejercicios propuestos

Colección de 100 problemas de práctica con respuesta de opción múltiple. Pulsa el botón para revelar las opciones correctas.

1 Respuesta: A

En una recta consideran los puntos consecutivos A, M, B, Q, N y C. Si M, Q y N son puntos medios de AB, M C y BC, recpectivamente y QN = 9 cm, hallar AB.

a36 cm
b32 cm
c27 cm
d42 cm
e30 cm

2 Respuesta: A

En una recta consideran los puntos consecutivos A, B y C tal que AB − BC = 16 cm. Si P, Q y R son puntos medios de AB, BC y PQ respectivamente, halla RB.

a4 cm
b7 cm
c6 cm
d5 cm
e8 cm

3 Respuesta: E

En una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, Q, P, C y D tal que: AB = 12 m y C D = 28 m, si Q y P son puntos medios de AC y BD respcetivamente, hallar QP.

a12 m
b15 m
c16 m
d18 m
e20 m

4 Respuesta: B

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que M y N son puntos medios de AC y BD respectivamente. Calcule la distancia entre los puntos medios de BM y N C si AC + BD = L. L L 3L 4L

aL cm
bcm
ccm
dcm
ecm 4 3 2 3

5 Respuesta: C

En una recta se ubican los puntos A, B, C y D tal que C es punto medio de BD. Si: 4.AB.AD = 28 − BD2 , calcule AC. p p p p

a3 cm
b11 cm
c7 cm
d5 cm
e3 cm

6 Respuesta: B

En una reta, se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D. Si se cumple la relación 4.AB − BD − 2C D = 4, AB = 3 y AC = 5, calcular AD.

a9 cm
b7 cm
c5 cm
d3 cm
e1 cm

7 Respuesta: D

En el segmento AC se ubica el punto B, tal que: BC − AB = 16. Hallar la distancia de B al punto medio de AC.

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm

8 Respuesta: C

Se tiene los puntos consecutivos A, B, C, D en una recta, tal que: AB = 3, C D = 2 y 4.BC + 5.AB = 88, hallar AC. 54 LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS Eduardo Espinoza Ramos

a6 cm
b8 cm
c10 cm
d12 cm
e14 cm

9 Respuesta: C

Dados los puntos consecutivos en una recta: A, B y C, de modo que: BC − AB = 12u, halla la distancia del punto medio de AC al punto B.

a10 cm
b8 cm
c6 cm
d4 cm
e2 cm

10 Respuesta: D

Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: AC = 18 y BD = 24. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y C D.

a15 cm
b17 cm
c19 cm
d21 cm
e23 cm

11 Respuesta: A

En una recta se dan los puntos consecutivos M, A, O y B, siendo o punto medio de AB. Hallar MO, sabiendo que: M A.M B = 40 y AB = 6.

a7 cm
b8 cm
c15 cm
d16 cm
e18 cm

12 Respuesta: B

En una recta se toman los pubntos consecutivos A, B y C de tal manera que AB = 8 cm. Hallar el valor del segmento cuyyos extremos son los puntos medios de los segmentos BC y AC.

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm

13 Respuesta: E

Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que BC es menor que CD, si M y N son puntos medios de AB y BD, respectivamente, hallar BC, si AB = 4 cm, M N = 16 cm y C D = 18 cm.

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm

14 Respuesta: D

Se tienen los puntos consecutivos A, E, C y D en una recta, tal que AC = 10; BD = 12 y AD = 18, hallar BC.

a1 cm
b2 cm
c3 cm
d4 cm
e5 cm

15 Respuesta: B

En una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AB+C D = 20, calcular la medida del segmento cuyos extremos son los puntos medios de AC y BD.

a5 cm
b10 cm
c15 cm
d8 cm
e13 cm

16 Respuesta: D

Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AC = 12, el segmento formado por los puntos medioos de AB y C D mide 16; hallar el valor de BD. 55 LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS Eduardo Espinoza Ramos

a5 cm
b10 cm
c15 cm
d20 cm
e25 cm

17 Respuesta: C

Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que: AB = 2BC + 5; C D = 3 m y AC = 23 m, hallar BD.

a3 m
b6 m
c9 m
d12 m
e15 m

18 Respuesta: B

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que: AD = 25 cm; calcular AB, si AC + BC + 2C D = 46 cm.

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm

19 Respuesta: C

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que: AB + C D = 2.BC y AC + C D = 21, calcular BC.

a3 cm
b5 cm
c7 cm
d9 cm
e11 cm

20 Respuesta: C

Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que: AC + BD = 7 y BC = 3, calcular AD.

a10 cm
b5 cm
c4 cm
d2 cm
e1 cm

21 Respuesta: A

En una línea se considera los puntos consecutivos: A, B, C y D. Si: AC + BD = 20 u, hallar AD + BC.

a10 cm
b5 cm
c4 cm
d2 cm
e1 cm

22 Respuesta: D

Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D. Luego los puntos medios M y N de AC y BD respectivamente; hallar MN, si AB + C D = 60.

a60 cm
b50 cm
c40 cm
d30 cm
e20 cm

23 Respuesta: B

En la figura, calcular AD, si AB = 2BC = 3C D = 60. A B C D

a100 cm
b110 cm
c120 cm
d130 cm
e140 cm

24 Respuesta: E

Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos: A, B, C, D y E, tal que: AC = 16, C D = BC − 9 y AB = BC, hallar BD.

a12 cm
b13 cm
c14 cm
d15 cm
e16 cm

25 Respuesta: D

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C, D y E, tal que: 4.C D = 3.AB, 4AD + 3.BC = 70. Calcular AC.

a4 cm
b6 cm
c8 cm
d10 cm
e12 cm

26 Respuesta: C

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C, D y E, tal que: AB = 3BE, AC = 80. Calcualar BD; si BC + 3DE = 20.

a10 cm
b15 cm
c20 cm
d25 cm
e30 cm

27 Respuesta: B

En una recta se consideran puntos consecutivos: A, B y C. Calcular AC, si AB = 3BC y AC = BC 2 .

a8 cm
b16 cm
c24 cm
d12 cm
e20 cm

28 Respuesta: A

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcular BC, si: AD = 4.AB y 6.AC − 2C D = 64.

a8 cm
b10 cm
c12 cm
d14 cm
e16 cm

29 Respuesta: A

Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: AB.C D = AD.BC siendo además: AB + AD = 2.AB.AD. Hallar AC.

a1 cm
b2 cm
c3 cm
d4 cm
e5 cm

30 Respuesta: B

Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F, sabiendo que: BE AB = E F = , hallar BE si se sabe que: AC + BD + C E + DF = 24. 3

a6 cm
b9 cm
c12 cm
d15 cm
e18 cm

31 Respuesta: D

Se tienen los puntos consecutivos A, B, M y C tales que M es punto medio de BC, siendo AM 2 + BM 2 = 17, hallar AB 2 + AC 2 .

a28 cm
b30 cm
c32 cm
d34 cm
e36 cm

32 Respuesta: B

Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que cumplen la siguiente relación: AB.C D = BC.AC y además 5(2AB + BD) = AB.AD; calcular la longitud de AC.

a5 cm
b10 cm
c15 cm
d20 cm
e25 cm

33 Respuesta: A

En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D tal que BC − AB = 4, luego se ubican los puntos M, N y P (puntos medios) de los segmentos AB, BC, M N , 57 LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS Eduardo Espinoza Ramos respectivamente, calcular la longitud de BP.

a1 cm
b2 cm
c3 cm
d4 cm
e5 cm

34 Respuesta: D

En una línea recta se ubican los puntos cosecutivos A, M, R y F, si AF = 6 m, M F = 4 m y RF 2 = AR.M R, calcular RF.

a2,1 m
b2,2 m
c2,3 m
d2,4 m
e2,5 m

35 Respuesta: A

En la figura figura, hallar AC sabiendo que BD = 16 cm, M N = 18 cm, M, N, son puntos medios de AB y C D, respectivamente. A B C D

a20 cm
b19 cm
c18 cm
d17 cm
e16 cm

36 Respuesta: D

Sobre una línea recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AB.C D = AD.BC; BC.C D = 28 y C D − BC = 7, calcular AC.

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm

37 Respuesta: E

Sobre una línea recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que B es punto medio de AD y AC − C D = 50, hallar BC.

a5 cm
b10 cm
c15 cm
d20 cm
e25 cm

38 Respuesta: C

Sobre una línea recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que C D = 4.AC. Hallar BC, si BD − 4.AB = 35 m.

a3 m
b6 m
c8 m
d10 m
e12 m

39 Respuesta: C

Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D sobre una línea recta. Calcular AC, si : AB = 5; AD = 10 y BC.C D + AB = 6.

a4 cm
b6 cm
c8 cm
d10 cm
e12 cm

40 Respuesta: B

Se tienen los puntos consecutivos M, N, P y Q; sobre una línea recta, tal que: M N = 7 y PQ = 9, calcule M para que se cumpla la siguiente igualdad: 3N P.MQ + M N = 1.

a10 cm
b12 cm
c14 cm
d16 cm
e18 cm

41 Respuesta: B

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AC + BD = 32, además M es punto medio de AB y N punto medio de C D, calcular MN. 58 LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS Eduardo Espinoza Ramos

a18 cm
b16 cm
c14 cm
d12 cm
e10 cm

42 Respuesta: D

Se tienen los puntos colineales: A, B, C y D. Si 4BD + 3C D = 18BC y 3AC − 2AB = 20 u. Hallar AD.

a5 cm
b10 cm
c15 cm
d20 cm
e25 cm

43 Respuesta: B

Se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tales que: AC +BE = 2 u AE = BC +12 u. Hallar BC.

a2 u
b4 u
c6 u
d8 u
e10 u

44 Respuesta: C

Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que: AB.C D = AC.C D, calcular AB, si C D = 7u.

a3 u
b5 u
c7 u
d9 u
e11 u

45 Respuesta: D

Se tienen los puntos A, B, C y D colineales y consecutivos tal que: AB = 8 y AB.BD = AC.C D, calcular CD.

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm

46 Respuesta: B

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F, tal que: AC = BD, C E = DF ; AB + E F = 96, calcular CD.

a24 cm
b48 cm
c64 cm
d68 cm
e96 cm

47 Respuesta: C

En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F, de manera que: AB = BC, C D = 2DE. Calcular AD si AB + AE = 6.

a6 cm
b5 cm
c4 cm
d3 cm
e2 cm

48 Respuesta: E

A, B, C y D son puntos colienales y consecutivos, tales que: AB+C D = 40 y AD = 6.BC, calcular AD.

a40 cm
b42 cm
c44 cm
d46 cm
e48 cm

49 Respuesta: B

Se tienen los puntos coloineales: A, B, C y D, siendo E y F puntos medios de AB y C D, calcular EF, si AC + BD = 20.

a5 cm
b10 cm
c15 cm
d20 cm
e25 cm

50 Respuesta: D

Sobre una línea se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E, tal que se cumple: AC + BD + C E = 20 y BD = 8, calcula AE. 59 LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS Eduardo Espinoza Ramos

a6 cm
b8 cm
c10 cm
d12 cm
e14 cm

51 Respuesta: A

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E, tal que: AD.BE = 80 m2 , calcule AD − BE si AC + BC + C D + C E = 18 m (AD > BE).

a2 m
b4 m
c6 m
d8 m
e10 m

52 Respuesta: B

Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, tal que: BC = AB + 1 y C D = AB − 3, calcule CD; si AB es mínimo entero.

a5 cm
b10 cm
c15 cm
d20 cm
e25 cm

53 Respuesta: C

En una recta se ubican los puntos A, B, C, D y E, de modo que B y D son puntos medios de AD y C E respectivamente. Sí: AC − DE = 8, calcule BC.

a2 cm
b3 cm
c4 cm
d5 cm
e6 cm

54 Respuesta: A

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que: AB − BC = 3 cm y AD + C D = 15 cm, calcule BD.

a6 cm
b5 cm
c4 cm
d3 cm
e2 cm

55 Respuesta: B

A, B, C, D y E son puntos consecutivos tomados sobre una línea recta, tal que, AC = BD y BD + DE = 15, calcular BD.

a3 cm
b5 cm
c7 cm
d9 cm
e11 cm

56 Respuesta: C

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Se cumple: AB = 3, AC = 5 y 4.AB − BD = 2C D = 4. Hallar AD.

a3 cm
b5 cm
c7 cm
d9 cm
e11 cm

57 Respuesta: D

Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que AB = 2C D y además: 3AC − BC = 20. Calcular AD.

a4 cm
b6 cm
c8 cm
d10 cm
e12 cm

58 Respuesta: E

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, luego se toman M y F puntos medios de AB y C D respectivamente. Calcular MF, si AC + BD = 50.

a5 cm
b10 cm
c15 cm
d20 cm
e25 cm

59 Respuesta: D

Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D tal que BC = C D y AC.BC = 20, determinar AD2 − AB 2 .

a50 cm
b60 cm
c70 cm
d80 cm
e90 cm

60 Respuesta: B

Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C de tal manera que: AB − BC = 10, calcular MB, si M es punto medio de CA.

a3 cm
b5 cm
c7 cm
d9 cm
e11 cm

61 Respuesta: C

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: C D = 3AB y 4AD + 3BC = 60, calcular AC.

a5 cm
b10 cm
c15 cm
d20 cm
e25 cm

62 Respuesta: B

Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F, tal que: AC + BD + C E + DF = 54, si: 5BE = 4AF , calcular AB + E F .

a3 cm
b6 cm
c9 cm
d12 cm
e15 cm

63 Respuesta: C

Dado una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que: AB.BD + AC.C D = AC.BD y AB.C D = 324, calcular BC.

a6 cm
b12 cm
c18 cm
d24 cm
e30 cm

64 Respuesta: A

Sean los puntos A, B, C y D, colineales y consecutivos. Calcular BC, Sabiendo que: AB BC CD = = y 4AC + BD = 76. 2 5 7

a20 cm
b18 cm
c16 cm
d14 cm
e12 cm

65 Respuesta: B

P, Q y R son puntos colineales y consecutivos, tal que PQ − QR = 24. Sabiendo que M, N y T bisecan a PQ, QR y M N respectivamente, calcular QT.

a20 cm
b18 cm
c16 cm
d14 cm
e12 cm

66 Respuesta: C

Se tienen los puntos colienales y consecutivos A, B, C, D, E, F, G y H, de modo que: 3 5 AD + BE + C F + DG + EH = 84, BG = AH y C F = BG. Calcular AH. 5 6

a20 cm
b30 cm
c40 cm
d50 cm
e60 cm

67 Respuesta: B

En una línea recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E, siendo AC.AD = BE.C E; BC.DE = 9 y AB.C D = 7, hallar AC 2 − C E 2 . 61 LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS Eduardo Espinoza Ramos

a1 cm
b2 cm
c3 cm
d4 cm
e5 cm

68 Respuesta: E

Sean los puntos M, N y R consecutivos y colineales. Hallar MN, si: M N − N R = 6 y MN NR MR + + = 18. 6 3 6

a6 cm
b9 cm
c12 cm
d15 cm
e18 cm PQ QR RS

69 Respuesta: C

Sean los puntos colienales y consecutivos P, Q, R y S, tales que: = = y 3 4 5 2PQ + 5QR + 8RS = 132, hallar PQ.

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm

70 Respuesta: A

Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B y C. Cumpliéndose AB BC AB.BC = αAC 2 y + = θ , calcular α(2 + θ ). BC AB

a1 cm
b2 cm
c3 cm
d4 cm
e5 cm

71 Respuesta: D

Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, O, M y B; de modo que AO = OB, AM − M B calcular el valor de la expresión E = . OM 1 3 5

acm
b1 cm
ccm
d2 cm
ecm 2 2 2

72 Respuesta: B

Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C; tales que AC = 6 y AC.AB = 2(AB 2 − BC 2 ), calcular AB.

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm

73 Respuesta: E

En una recta tenemos los puntosd consecutivos A, B, C y D donde: AD.AB = 3AC.C D 1 1 y + = 3, calcular AB. AC C D 1 1 1 1

acm
bcm
ccm
dcm
e1 cm 5 4 3 2

74 Respuesta: D

En una línea recta se ubican los puntpos consecutivos A, B, C y D, siendo C punto AB 2 + AD2 medio de BD. Calcular E = . AC 2 + BC 2

a8 cm
b6 cm
c4 cm
d2 cm
e1 cm

75 Respuesta: B

Se dan los puntos consecutivos A, B, C y D sobre una recta de modo que: AC 2 = 62 LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS Eduardo Espinoza Ramos AD.BD. Calcular el valor de la expresión: AB.AC − BD.C D C D.AC 1

acm
b1 cm
c2 cm
d3 cm
e4 cm 2

76 Respuesta: C

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E; de modo que: BD + 1 1 AC + BE + AD + C E = AE.BD, calcule + . AE BD 1 1 1

a3 cm
b2 cm
ccm
dcm
ecm 2 3 4

77 Respuesta: A

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que B es punto medio de AD, calcule CD, si se cumple que: AC.AD = 16 y 2 1 1 = + . AC AB 2C D

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm

78 Respuesta: B

En una recta se ubican los puntos A, B, C, D, E y F tal que: AC = C E = E F y 2BC = BE 2 − AB 2 3DE, calcule . DF 2 − C D2 2 3 3 5

acm
bcm
ccm
dcm
e2 cm 3 2 5 3

79 Respuesta: A

Ubicando consecutivamente los puntos A, B, C, D y E, tal que: BD + AC + BE + AD + 1 1 C E = AE.BD; calcular + . AE BD

a0,5 cm
b1 cm
c2 cm
d2,5 cm
e3 cm

80 Respuesta: D

En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que: AB.C D = BC.C D BC.AD, calcular AC, si: = 4. C D − BC

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm

81 Respuesta: B

En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D; TAL QUE AB.C D = AD.BC, si además AB + AAD = 2AB − AD, calcule AC.

a2 cm
b3 cm
c4 cm
d5 cm
e6 cm

82 Respuesta: B

En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D; de tal manera 1 1 1 que: AB = 2C D; BC 2 = AB.C D y − = , calcular AC. C D BD 5

a10 cm
b12,5 cm
c15 cm
d17,5 cm
e19 cm

83 Respuesta: D

Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D; donde BD = 8 m, (AB − C D).(AD + BC) = 36 m2 . Hallar AC.

a16 m
b14 m
c12 m
d10 m
e8 m AB BC

84 Respuesta: A

Sobre una recta L se toman los puntos consecutivos A, B, C y D. Si = y CD AD AB BC = 2AB, hallar . CD 1 1 1 1 1

acm
bcm
ccm
dcm
ecm 5 6 10 15 25 AC

85 Respuesta: B

Se tienen los puntos colineales A, B, C y D; donde BD = 3AB; calcular C D. Si + 2AB 1 =2 BD 2 3 1

acm
bcm
ccm
d2 cm
e3 cm 3 2 2

86 Respuesta: C

Sobre un listón de madera se marcan consecutivamente los puntos A, B, C y D de CD BC modo que AC = 32 cm, BD = 2 cm. Si: = , hallar AB. 6 2

a20 cm
b24 cm
c26 cm
d28 cm
e30 cm

87 Respuesta: B

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; de tal manera que: AB C D + = 1, hallar BC, si: AB.C D = 10. AC BD p p p p p

a2 5 cm
b10 cm
c2 cm
d3 cm
e2 cm

88 Respuesta: D

Sobre una recta se ubican los puntos A, B y D consecutivamente; ed tal forma que: 2AB 2 − BC 2 AB = , hallar AB si AC = 3. AC

a5 cm
b4 cm
c3 cm
d2 cm
e1 cm DE

89 Respuesta: A

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F. Si AB = , 8 CD BC DE CD EF = ; = y DE = y AF = 62m, hallar AB + DE. 4 2 4 2 2 64 LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS Eduardo Espinoza Ramos

a18 m
b20 m
c16 m
d17 m
e21 m 1 1 2

90 Respuesta: B

Se tienen los puntos colienales A, B y C, tal que: − = , hallar AB, si BC = 8 AB AC 5 u.

a1 u
b2 u
c3 u
d4 u
e5 u

91 Respuesta: B

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, O y C tal que O es el punto medio del segmento BC, calcular: AB 2 + AC 2 E= AO2 + BO2

a1 cm
b2 cm
c3 cm
d4 cm
e5 cm

92 Respuesta: C

Se tienen los puntyos colienaelas A, B, C y D, dispuestos de modo que: AD = 10, BC 2 C D = AB + BC, = . Calcualr BD. CD 5

a3 cm
b5 cm
c7 cm
d9 cm
e11 cm AB MB

93 Respuesta: C

A, B y C son puntos colineales y consecutivos AC = 27, AB > BC y + = 2, BC 2 donde M es pubnto medio de AC, hallar AB.

a5 cm
b10 cm
c15 cm
d20 cm
e25 cm

94 Respuesta: C

Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D de manera que se 2AD − BD 2 cumple lo siguiente: AD.(C D − BC) = BD.C D y = . Calcular la longitud AD.AB 7 de AB = AB.

a3 cm
b6 cm
c7 cm
d15 cm
e16 cm

95 Respuesta: B

Dados los puntos colieneales y consecutivos A, B, C y D se sabe que: AB BC 2 5 2 =3 y − = 1. Calcular CD. AD C D BC AC

a1 cm
b3 cm
c5 cm
d7 cm
e9 cm

96 Respuesta: D

Dados los puntos colieneales y consecutivos A, B, C y D tal que: AB = 2.C D, BC 2 = 1 1 1 AB.C D y + = p . Calcular AB. C D BD 2

a10 cm
b8 cm
c6 cm
d4 cm
e2 cm

97 Respuesta: D

P, Q, R y S son puntos ubicados en una línea recta en forma consecutiva tal que PR es media proporcional entre PS y SQ. Calcular el valor numérico de la expresión: 7(RS).(PR) + (PQ).(PR) − (QS).(RS) E= (RS).(PR)

a2 cm
b4 cm
c6 cm
d8 cm
e10 cm

98 Respuesta: B

Sobre una recta se consideran a los puntos consecutivos A, B, C y D, si se sabe que p AC = m,AB.AD=BC.CD y BC'2 − AB 2 = AB.C D, calcular C D2 . m m2 p

acm
bm cm
ccm
dm cm
em2 cm 2 2

99 Respuesta: C

En una línea recta se consideran los puntos consecutivos G, R, C y M. Si: GR.C M (2b− a + 3 3b + 11 c+4 1) = GM .RC y + = , calcular a + 2b + 3c. GC GR GM

a18 cm
b20 cm
c22 cm
d24 cm
e26 cm

100 Respuesta: A

Sobre una línea recta se consideran a los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AB.C D = AD.BC.

a6 cm
b8 cm
c10 cm
d12 cm
e14 cm

1.19Respuestas

Claves de la sección 1.18 (Ejercicios propuestos):