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Problemas de Berkeley — Capítulo 1

Por Eduardo Espinoza Ramos · 7 capítulos · 430 ejercicios resueltos

Esta es la versión oficial y autorizada por el autor. Lee gratis el inicio del Capítulo 1 y decide con confianza.

Capítulo 1

Análisis Real

Cálculo elemental, límites, series, cálculo diferencial e integral, secuencias de funciones, series de Fourier, funciones convexas

1.0 · Sobre este capítulo

Esta colección reúne los problemas de Análisis Real que aparecieron en los Exámenes Preliminares (Preliminary Exams) del programa de doctorado en Matemáticas de la Universidad de California, Berkeley, desde 1977. Cada problema lleva una etiqueta que identifica el examen del que proviene, según la convención de Berkeley: - Fa = Fall (Otoño), Sp = Spring (Primavera), Su = Summer (Verano), Wi = Winter (Invierno) - Los dos dígitos finales indican el año (ej: Fa87 = Otoño de 1987). Las soluciones presentadas en este libro están redactadas bajo el enfoque pedagógico del Prof. Eduardo Espinoza Ramos, con énfasis en la claridad conceptual, los pasos detallados y los criterios usados en los cursos de análisis matemático de las universidades peruanas. *Recopilación original de los problemas:* Paulo Ney de Souza y Jorge-Nuno Silva, *Berkeley Problems in Mathematics* (UC Berkeley, 1998).

1.1 · Cálculo Elemental

Esta sección reúne problemas que apelan a las herramientas fundamentales del cálculo de una variable: continuidad, derivadas, valores extremos, desigualdades clásicas y aplicaciones geométricas. La mayoría se resuelve con el Teorema del Valor Medio, el Teorema de Rolle, criterios de monotonía y manipulación cuidadosa de desigualdades.
1
Probar que (cos⁡θ)p≤cos⁡(pθ)\left(\cos\theta\right)^p \leq \cos\left(p\theta\right) para 0≤θ≤π/20 \leq \theta \leq \pi/2 y 0<p<10 < p < 1.Fa87
2
Sea f:[0,1]→Rf:[0,1]\to\mathbb{R} continuamente diferenciable con f(0)=0f(0)=0. Probar que: sup⁡0≤x≤1∣f(x)∣≤(∫01(f′(x))2 dx)1/2\sup_{0 \leq x \leq 1} |f(x)| \leq \left(\int_0^1 (f'(x))^2\,dx\right)^{1/2}.Fa77
3
Sea f(x)f(x) una función de valores reales definida para todo x≥1x \geq 1, con f(1)=1f(1) = 1 y f′(x)=1x2+f(x)2f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + f(x)^2}. Probar que lim⁡x→∞f(x)\lim_{x\to\infty} f(x) existe y es menor que 1+π41 + \dfrac{\pi}{4}.Sp81
4
Sean f,g:[0,1]→[0,∞)f, g:[0,1]\to[0,\infty) funciones continuas que cumplen sup⁡0≤x≤1f(x)=sup⁡0≤x≤1g(x)\sup_{0 \leq x \leq 1} f(x) = \sup_{0 \leq x \leq 1} g(x). Probar que existe t∈[0,1]t \in [0,1] con f(t)2+3f(t)=g(t)2+3g(t)f(t)^2 + 3f(t) = g(t)^2 + 3g(t).Sp95
5
Sea ff una función real sobre la recta real. Definir Δf(x)=f(x+1)−f(x)\Delta f(x) = f(x+1) - f(x). Para n≥2n \geq 2, definir Δnf\Delta^n f recursivamente por Δnf=Δ(Δn−1f)\Delta^n f = \Delta(\Delta^{n-1}f). Probar que Δnf≡0\Delta^n f \equiv 0 si y solo si ff tiene la forma f(x)=a0(x)+a1(x)x+⋯+an−1(x)xn−1f(x) = a_0(x) + a_1(x)x + \cdots + a_{n-1}(x)x^{n-1}, donde a0,a1,…,an−1a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} son funciones periódicas de período 1.Fa86
6
Probar o refutar (con un contraejemplo) cada una de las siguientes afirmaciones:
(1) Dadas f,g:R→Rf, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tales que lim⁡t→ag(t)=b\lim_{t\to a} g(t) = b y lim⁡t→bf(t)=c\lim_{t\to b} f(t) = c, entonces lim⁡t→af(g(t))=c\lim_{t\to a} f(g(t)) = c.
(2) Si f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} es continua y UU es un conjunto abierto en R\mathbb{R}, entonces f(U)f(U) es un conjunto abierto en R\mathbb{R}.
(3) Sea ff de clase C∞C^\infty en el intervalo −1<x<1-1 < x < 1. Supongamos que ∣f(n)(x)∣≤1|f^{(n)}(x)| \leq 1 para todo n≥1n \geq 1 y para todo xx en el intervalo. Entonces ff es analítica real, esto es, tiene una serie convergente de potencias alrededor de cada punto del intervalo.Fa81
7
Dadas y(h)=1−2sin⁡2(2πh)y(h) = 1 - 2\sin^2(2\pi h) y f(y)=21+1−y2f(y) = \dfrac{2}{1+\sqrt{1-y^2}}. Justificar que f(y(h))=2−42π ∣h∣+O(h2)f(y(h)) = 2 - 4\sqrt{2\pi}\,|h| + O(h^2), donde lim sup⁡h→0O(h2)h2<∞\limsup_{h\to 0} \dfrac{O(h^2)}{h^2} < \infty.Su81
8
(1) Probar que no hay un mapa continuo desde el intervalo abierto (0,1)(0,1) sobre el intervalo cerrado [0,1][0,1].
(2) Encontrar un mapa continuo sobreyectivo desde el intervalo abierto (0,1)(0,1) sobre el intervalo cerrado [0,1][0,1].
(3) Probar que ningún mapa de la Parte (2) puede ser biyectivo.Fa82
9
Encontrar la máxima área de todos los triángulos que pueden ser inscritos en una elipse con semiejes aa y bb, y describir los triángulos que tienen el área mayor.

*Sugerencia:* representar la elipse mediante las ecuaciones paramétricas x=acos⁡(t), y=bsin⁡(t), 0≤t≤2πx = a\cos(t),\ y = b\sin(t),\ 0 \leq t \leq 2\pi.Fa94, Sp98
10
Sea ff una función continua de valores reales en [0,∞)[0,\infty). Sea AA el conjunto de números reales que pueden expresarse como a=lim⁡n→∞f(xn)a = \lim_{n\to\infty} f(x_n) para alguna sucesión xn∈[0,∞)x_n \in [0,\infty) tal que lim⁡n→∞xn=∞\lim_{n\to\infty} x_n = \infty. Probar que si AA contiene los números aa y bb, entonces contiene el intervalo completo de extremos aa y bb.Fa93
11
Mostrar que la ecuación x(1+log⁡(1εx))=1x\left(1 + \log\left(\dfrac{1}{\varepsilon\sqrt{x}}\right)\right) = 1, x>0x > 0, ε>0\varepsilon > 0, tiene, para cada ε>0\varepsilon > 0 suficientemente pequeño, dos soluciones exactas. Sea x(ε)x(\varepsilon) la menor de ellas. Demostrar que: (1) x(ε)→0x(\varepsilon)\to 0 cuando ε→0+\varepsilon \to 0^+, y (2) para cualquier s>0s > 0: ε−sx(ε)→∞\varepsilon^{-s}x(\varepsilon)\to\infty cuando ε→0+\varepsilon\to 0^+.Su81
12
Supongamos que f(x)f(x) es un polinomio con coeficientes reales y que aa es un número real tal que f(a)≠0f(a) \neq 0. Demostrar que existe un polinomio real g(x)g(x) tal que si definimos p(x)=f(x)g(x)p(x) = f(x)g(x), tenemos p(a)=1p(a) = 1, p′(a)=0p'(a) = 0 y p′′(a)=0p''(a) = 0.Sp82
13
Sea p(z)p(z) un polinomio no constante con coeficientes reales tal que para un número real aa: p(a)≠0p(a) \neq 0 pero p′(a)=p′′(a)=0p'(a) = p''(a) = 0. Probar que la ecuación p(z)=0p(z) = 0 tiene una raíz no real.Su84
14
Sea ff una función C2C^2 con dominio real, acotada, con derivada segunda acotada. Sean A=sup⁡x∈R∣f(x)∣A = \sup_{x\in\mathbb{R}}|f(x)| y B=sup⁡x∈R∣f′′(x)∣B = \sup_{x\in\mathbb{R}}|f''(x)|. Probar que sup⁡x∈R∣f′(x)∣≤2AB\sup_{x\in\mathbb{R}}|f'(x)| \leq 2\sqrt{AB}.Fa84
15
Encontrar todos los pares de enteros aa y bb que cumplan 0<a<b0 < a < b y ab=baa^b = b^a.Fa90
16
¿Para qué números positivos aa y bb, con a>1a > 1, la ecuación log⁡ax=xb\log_a x = x^b tiene una solución positiva para xx?Sp92
17
¿Qué número es mayor, π3\pi^3 o 3π3^\pi?Sp84
18
¿Para qué números a∈(1,∞)a \in (1,\infty) se cumple que xa≤axx^a \leq a^x para todo x∈(1,∞)x \in (1,\infty)?Sp94
19
Demostrar que una constante positiva tt puede cumplir ex>xte^x > x^t para todo x>0x > 0 si y solo si t<et < e.Sp96
20
Suponiendo que f(x)f(x) está definida en [−1,1][-1,1] y que f′′′(x)f'''(x) es continua, demostrar que la serie ∑n=1∞(n(f(1/n)−f(−1/n))−2f′(0))\sum_{n=1}^{\infty} \left(n(f(1/n) - f(-1/n)) - 2f'(0)\right) converge.Su77
21
Si ff es una función C2C^2 en un intervalo abierto, probar que lim⁡h→0f(x+h)−2f(x)+f(x−h)h2=f′′(x)\lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = f''(x).Fa96
22
Probar que para todo x>0x > 0: sin⁡x>x−x36\sin x > x - \dfrac{x^3}{6}.Fa97
23
(1) Para 0≤θ≤π20 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}, demostrar que sin⁡θ≥2πθ\sin\theta \geq \dfrac{2}{\pi}\theta.
(2) Usando la Parte (1), o por cualquier otro método, demostrar que si λ<1\lambda < 1, entonces lim⁡R→∞Rλ∫0π/2e−Rsin⁡θ dθ=0\lim_{R\to\infty} R^\lambda \int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\theta}\,d\theta = 0.Su85
24
Sea f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} continua. Suponiendo que R\mathbb{R} contiene un subconjunto infinito numerable SS tal que ∫pqf(x) dx=0\int_p^q f(x)\,dx = 0 siempre que p,q∉Sp, q \notin S. Probar que f≡0f \equiv 0.Su78
25
Sea f:[0,1]→[0,1]f:[0,1]\to[0,1] con las propiedades:
• ff es de clase C1C^1;
• f(0)=f(1)=0f(0) = f(1) = 0;
• f′f' es no creciente (es decir, ff es cóncava).

Probar que la longitud de arco de la gráfica de ff no es mayor que 3.Fa89
26
Sea ff una función de valores reales C1C^1 en [0,∞)[0,\infty) tal que la integral impropia ∫1∞∣f′(x)∣ dx\int_1^\infty |f'(x)|\,dx converge. Probar que la serie infinita ∑n=1∞f(n)\sum_{n=1}^\infty f(n) converge si y solo si la integral ∫1∞f(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx converge.Sp93
27
Sea EE el conjunto de todas las funciones continuas de valores reales u:[0,1]→Ru:[0,1]\to\mathbb{R} que cumple ∣u(x)−u(y)∣≤∣x−y∣|u(x) - u(y)| \leq |x-y| con 0≤x,y≤10 \leq x, y \leq 1 y u(0)=0u(0) = 0. Sea φ:E→R\varphi:E\to\mathbb{R} definida por φ(u)=∫01(u(x)2−u(x)) dx\varphi(u) = \int_0^1 (u(x)^2 - u(x))\,dx. Demostrar que φ\varphi alcanza su máximo valor en algún elemento de EE.Su82
28
Sea SS el conjunto de todas las funciones ff reales C1C^1 en [0,1][0,1] tal que f(0)=0f(0) = 0 y ∫01f′(x)2 dx≤1\int_0^1 f'(x)^2\,dx \leq 1. Definiendo J(f)=∫01f(x) dxJ(f) = \int_0^1 f(x)\,dx, demostrar que la función JJ es acotada en SS, y calcular su supremo. ¿Hay una función f0∈Sf_0 \in S para la cual JJ alcanza su máximo valor? Si es así, ¿cuál es f0f_0?Fa87
29
Sea ff una función continua no negativa de valores reales en [0,1][0,1] tal que f(t)2≤1+2∫0tf(s) dsf(t)^2 \leq 1 + 2\int_0^t f(s)\,ds para t∈[0,1]t \in [0,1]. Demostrar que f(t)≤1+tf(t) \leq 1 + t para t∈[0,1]t \in [0,1].

*Sugerencia:* Considerar u(t)=1+2∫0tf(s) dsu(t) = 1 + 2\int_0^t f(s)\,ds.Fa82, Fa96
30
Supongamos que φ\varphi es una función C1C^1 en R\mathbb{R} tal que φ(x)→a\varphi(x)\to a y φ′(x)→b\varphi'(x)\to b si x→∞x\to\infty. Probar o dar un contraejemplo de que bb debe ser cero.Sp96
31
Demostrar que F(k)=∫0π/2dx1−kcos⁡2xF(k) = \int_0^{\pi/2} \dfrac{dx}{\sqrt{1 - k\cos^2 x}}, con 0≤k<10 \leq k < 1, es una función creciente de kk.Su77
32
Dado que ∫−∞∞e−x2dx=π\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}, hallar f′(t)f'(t) explícitamente, donde f(t)=∫−∞∞e−tx2 dxf(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{-tx^2}\,dx, t>0t > 0.Fa79
33
Definir F(x)=∫sin⁡xcos⁡xe(t2+xt) dtF(x) = \int_{\sin x}^{\cos x} e^{(t^2 + xt)}\,dt. Calcular F′(0)F'(0).Fa80
34
Sea f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} una función C∞C^\infty distinta de cero, tal que f(x)f(y)=f ⁣(x2+y2)f(x)f(y) = f\!\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) para todo x,yx, y, y f(x)→0f(x)\to 0 si ∣x∣→∞|x|\to\infty.
(1) Probar que ff es par y que f(0)=1f(0) = 1.
(2) Probar que ff cumple la ecuación diferencial f′(x)=f′′(0)⋅x⋅f′(x)f'(x) = f''(0)\cdot x\cdot f'(x), y hallar la función más general que cumpla las condiciones dadas.Fa95

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