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Razonamiento Matemático Tomo I — Capítulo 1

Por Eduardo Espinoza Ramos · 8 capítulos · 950 ejercicios resueltos

Esta es la versión oficial y autorizada por el autor. Lee el Capítulo 1 completo y decide con confianza.

Capítulo 1

Razonamiento Lógico Matemático

Lógica proposicional, conectivos y tablas de verdad

1.1 · Definición

La herramienta principal del razonamiento lógico es el “análisis” que acompañado de un criterio lógico y adecuado y habilidad del estudiante; esa habilidad se construye con la práctica constante y de esa forma se llega a la solución de un problema de la manera rápida y sencilla. Ejemplo.- 97 personas asistieron a una fiesta. En un determinado momento 17 hombres y 8 mujeres no bailan. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fiesta?
SOLUCIÓN:
Notación: Sean, H: Número de hombres M : Número de mujeres Interpretando los datos del problema en un diagrama:
Cap-1-Razon-Log-Mat-m--1ds.png
Se entiende los que bailan son parejas hombre y mujer, de donde se deduce que: M - 8 = H - 17, de donde se obtiene:
H−M=9H - M = 9
Sumando (1) y (2) se tiene:
2H=106 extentoncesH=532H = 106 \ ext{ entonces } H = 53
Luego H+M=97⟶M=97−53=44H + M = 97 \longrightarrow M = 97 - 53 = 44 Ejemplo: Si una pistola automática dispara 3 balas por segundo. ¿Cuántas balas disparará en 4 segundos?
SOLUCIÓN:
Interpretando el problema en un gráfico en línea recta.
Cap-1-Razon-Log-Mat-m--2.png
Entonces, en 4 segundos disparará 9 balas Observación.-
• En el planteamiento de estos problemas solo es necesario de una pequeña dosis de concentración para dar con la respuesta acertada, no es necesario recurrir a la teoría matemática para este tipo de preguntas, sino generalmente el sentido con el que todos manejamos los problemas diarios de la vida.
• Se recomienda utilizar, esquemas, gráficos, dibujos, etc. que permitan observar y captar mejor la información y de esta manera llegar a la conclusión o deducción correcta.
Ejemplo.- En los círculos de la figura adjunta, escribe los 6 primeros números impares positivos, de modo que en cada lado del triángulo los números suman 15, ¿cuál es la suma de los números que están en los vértices del triángulo?
Cap-1-Razon-Log-Mat-m--3e1.png
SOLUCIÓN:
Los 6 primeros números impares son: 1; 3; 5; 7; 9; 11 cuya suma es: 1+3+5+7+9+11=361+3+5+7+9 +11 = 36. Con ayuda del gráfico interpretamos el problema
Cap-1-Razon-Log-Mat-m--3s.png
Ejemplo.- Dentro de una caja se tiene 5 bolitas blancas, 3 azules y 4 verdes. ¿Cuántas bolitas se tendrán que extraer de la caja al azar para tener la seguridad de haber extraído una bolita blanca?
SOLUCIÓN:
Identificamos los datos del problema, es decir, las bolitas:
5⏟Blancas3⏟Azules4⏟Verdes\underbrace{5}_{\text{Blancas}} \underbrace{3}_{\text{Azules}} \underbrace{4}_{\text{Verdes}}
Ahora analizamos las posibilidades, que se tendría si el extraer la primera bolita y esta sería blanca, en este caso sería solo una extracción, pero eso sería mucha suerte. Para tomar la seguridad de haber extraído una bola blanca, tendríamos que haber extraído todas las de otro color, entonces necesitamos extraer: 4⏟Blancas+3⏟Azules+1⏟Verdes=8 bolitas\underbrace{4}_{\text{Blancas}} + \underbrace{3}_{\text{Azules}} + \underbrace{1}_{\text{Verdes}} = 8 \text{ bolitas} ∴\therefore Se tiene que extraer 8 bolitas.

1.2 · Habilidad Operativa

Esto es un tema meramente lógico, solo se requiere de un poco de habilidad y esto se consigue con la práctica constante y así obtendremos la habilidad operativa. Ejemplo.- Calcular la suma de las cifras de M si:
M=(111...11)2⏟19 cifrasM = \underbrace{(111...11)^2}_{19 \text{ cifras}}
Primero, analizaremos cosas particulares y después procederemos a generalizarlas, en otras palabras, haremos uso del método de inducción. Para una cifra: 12=1⟶S1=1=121^2 = 1\longrightarrow S_1 = 1 = 1^2 Para dos cifras: 112=121⟶S2=1+2+1=4=2211^2 = 121 \longrightarrow S_2 = 1+ 2 +1 = 4 = 2^2 Para tres cifras: 1112=12321⟶S3=1+2+3+2+1=9=32111^2 = 12321 \longrightarrow S_3 = 1+2+3+2+1 = 9 = 3^2 Para cuatro cifras: 11112=1234321⟶S4=1+2+3+4+3+2+1=16=421111^2 = 1234321 \longrightarrow S_4 = 1+2+3+4+3+2+1 = 16 = 4^2 Como se podrá observar, la suma de las cifras del resultado de efectuar M, sería:
S19=192=361S_1 9 = 19^2 = 361
Ejemplo.- Calcular la suma de las cifras de M si M=(123456789)2−(213456788)2M = (123456789)^2 - (213456788)^2
SOLUCIÓN:
Para calcular esta operación en forma rápida recordemos la diferencia de cuadrado: a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 -b^2 = (a+b)(a-b). Ahora aplicamos en el problema planteado. M=(123546789)2−(123546788)2M = (123546789)^2 - (123546788)^2 M=(123456789+123456788)⏟A(123456789+123456788)⏟BM = \underbrace{(123456789 + 123456788)}_{A} \underbrace{(123456789+123456788)}_{B} A=123456789−123456788=1A = 123456789 - 123456788 = 1 B=123456789+123456788=246913577B = 123456789 + 123456788 = 246913577 S=∑S = \displaystyle \sum si 24+6+9+1+3+5+7+7=4424+6+9+1+3+5+7+7 = 44 ∴\therefore La suma de las cifras de M es 44

Ejercicios Desarrollados

SOLUCIÓN:
Mediante un gráfico, colocamos los datos del problema.
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--1.png
Total de personas (mínimo): 2 + 6 + 1 = 9 ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (b)
• En los vértices de un hexágono regular se colocan consecutivamente los 6 primeros números primos y en el centro de cada lado, el producto de los dos vértices adyacentes. ¿Qué número está frente al número 26? a) 35 b) 33 c) 43 d) 38 e) 41
SOLUCIÓN:
Los primeros números primos son: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 19; .... Ahora, de acuerdo al enunciado del problema, en un hexágono ubiquemos a los números primos.
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--2.png
Frente el número 26 está el número 35 ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (a)
• Un conejo al salir de su madriguera avanza dos saltos y retrocede uno; luego, avanza cuatro saltos y retrocede dos, avanza seis saltas y retrocede tres, avanza diez saltos y retrocede cinco. ¿A cuántos saltos se encontrará de su madriguera? a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 23
SOLUCIÓN:
Primero, veamos cuántos saltos avanza y después cuantos saltos retrocede: Avanza: 2 + 4 + 6 + 10 + 12 = 34 saltos Retrocede: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 saltos El conejo está a: 34 - 15 = 19 saltos de su madriguera. ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (c)
• Un caracol sube por un pino 3 metros durante el día y por la noche su propio peso le hace bajar 2 metros. Si la altura del pino es 12 metros y comenzó a subir el lunes. ¿Qué día llegará a la copa del árbol? a) martes de la próxima semana b) miércoles de la próxima semana c) jueves de la próxima semana d) viernes de la próxima semana e) sábado de la próxima semana
SOLUCIÓN:
De los datos del problema se tiene:
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--4.png
Entonces sube diariamente 1m, aparentemente llegara a la cima del árbol en 12 días, pero analicemos: Hasta el noveno día el caracol estaba a 9 m de altura. Como el décimo día sube 3m, llegara a los: 9m + 3m = 12m de altura (la copa del árbol); por lo tanto, contando 10 días a partir del lunes, el caracol llegaría el miércoles de la próxima semana. ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (b)
• Siendo miércoles el pasado mañana de ayer, ¿qué día sería el mañana de anteayer de pasado mañana? a) lunes b) viernes c) martes d) miércoles e) jueves
SOLUCIÓN:
Interpretando el problema en forma gráfica, para eso: Graficamos en forma horizontal el devenir del tiempo:
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--5-1.png
El pasado mañana de ayer es miércoles. Luego, hoy es martes.
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--5-2.png
Pasado mañana es jueves. Anteayer del jueves es martes. Mañana del martes es miércoles. Por lo tanto, el mañana de anteayer de pasado mañana es miércoles. ∴\therefore La respuesta es (d)
• Compré un lote de polos a 180 soles el ciento, vendí a 24 soles la docena, ganando en la mayoría 600 soles, ¿cuántos cientos tenía el lote? a) 30 cientos b) 20 cientos c) 25 cientos d) 35 cientos e) 40 cientos
SOLUCIÓN:
Primero, empezamos identificando los datos:
• Precio de costo de un polo: S/180100=S/1.8\dfrac{S/ 180}{100} = S/ 1.8
• Precio de venta de un polo: S/2412=S/2\dfrac{S/ 24}{12} = S/ 2 Ahora, veremos lo que se gana al vender un polo:
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--6.png
Para determinar los “x” polos que nos permita ganar S/600S/ 600, aplicamos la siguiente regla de tres. 1 polo ⟶S/0.2\longrightarrow S/ 0.2 x polos ⟶S/600\longrightarrow S/ 600 De donde x=S/600S/0.2=300=30x = \dfrac{S/ 600}{S/ 0.2} = 300 = 30 cientos. ∴\therefore Por lo tanto, se tiene 30 aciertos de polos, la respuesta es (a)

 • Si en los círculos de la figura escribimos los números naturales del 3 al 11, de manera que los números en cada lado del triángulo suman 25, ¿Cuál es la suma de los números que se escriben en los círculos etiquetados con x, y, z?
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--7-1.png
a) 21 b) 13 c) 15 d) 18 e) 12
SOLUCIÓN:
Interpretando el problema: Se debe colocar en cada círculo un número distinto de 3 al 11, pero el hacerlo debe cumplir que cada lado del triángulo sume 25 y dar como respuesta la suma de los números que van en los vértices: (x+y+z)
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--7-2.png
(a+b+c+d+e+f)+(x+y+z)⏟+(x+y+z)=75(1)\underbrace{(a+b+c+d+e+f) + (x+y+z)} + (x + y+ z) = 75 \quad\text{(1)}
Ademaˊs3+4+5+6+7+8+9+10+11=63(2)\text{Además} 3+4+5+6+7+8+9+10+11 = 63 \quad\text{(2)}
ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
63+(x+y+z)=75⟹x+y+z=2363 + (x+y+z) = 75 \Longrightarrow x+y+z = 23
∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (e)
• Si el ayer de pasado mañana es lunes, ¿Qué día será el mañana de ayer de anteayer? a) martes b) miércoles c) viernes d) lunes e) jueves
SOLUCIÓN:
Interpretaremos el problema en forma gráfica, lo haremos en forma horizontal. Para esto tenemos que: El ayer de pasado mañana es lunes.
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--8-1.png
Según el esquema, hoy es domingo
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--8-2.png
Anteayer es viernes Ayer del viernes es jueves Por lo tanto, el mañana de ayer de anteayer es viernes. ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (c)
• Supongamos que cuatro empresas de transporte A, B, C y D desean contratar una persona para cada una de las tres áreas: chofer, oficina y servicio. ¿Cuántas oportunidades de empleo hay disponible? a) 8 b) 6 c) 12 d) 10 e) 14
SOLUCIÓN:
La solución del problema la obtenemos en forma rápida y sencilla mediante la ayuda del siguiente esquema:
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--9.png
Por lo tanto, se tiene 12 oportunidades ∴\therefore La respuesta es (c)
• Calcular el valor de: E=111...11⏟46 cifras−222...222⏟23 cifrasE = \sqrt{\underbrace{111...11}_{46 \text{ cifras}} - \underbrace{222...222}_{23 \text{ cifras}}} Dé como respuesta la suma de cifras del resultado. a) 30 b) 33 c) 66 d) 69 e) 74
SOLUCIÓN:
Halla el valor de E, así en la forma como nos han dado sería un proceso muy laborioso, por lo tanto, mejor es usar el método inductivo; es decir, analizamos problemas más simples, pero muy parecidos. Obviemos que la cantidad de dígitos 1 es el doble de dígitos 2, esa característica debe mantenerse. E1=11⏟2 cifras−2⏟1cifra=9=3⏟1 cifraE_{1} = \sqrt{\underbrace{11}_{2 \text{ cifras}} - \underbrace{2}_{1 \text{cifra}}} = \sqrt{9} = \underbrace{3}_{1\text{ cifra}}
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--10s.png
∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (d)
• Calcular E=999..99⏟ n cifras−000..000025⏟ (n+2) cifrasE = \sqrt{\underbrace{999 .. 99}_{\text{ n cifras}} - \underbrace{000..000025}_{\text{ (n+2) cifras}}} Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. a) 9n+5 b) 9n+3 c) 9n+1 d) 9n+7 e) 9n+4
SOLUCIÓN:
En este problema aplicamos el método de inducción, para esto hallemos el valor de E para n = 1, 2 y 3 n=1n = 1, E1=925=95⟶S1=9+5=14=9(1)+5E_{1} = \sqrt{925} = 95 \longrightarrow S_1 = 9+5 = 14 = 9(1) +5 n=2n = 2, E2=990025=995S2=9+9+5=23=9(2)+5E_2 = \sqrt{990025} = 995S_2 = 9 + 9 + 5 = 23 = 9(2) +5 n=3n = 3, E3=999900025=9995⟶S3=9+9+9+5=32=9(3)+5E_3 = \sqrt{999900025} = 9995 \longrightarrow S_3 = 9+9+9+5 = 32 = 9(3) + 5 ... En=999...999⏟ n cifras−0000...0025⏟ (n+2) cifras⟶Sn=9(n)+5=9n+5E_n = \sqrt{\underbrace{999...999}_{\text{ n cifras}}- \underbrace{0000...0025}_{\text{ (n+2) cifras}}} \longrightarrow S_n = 9(n) + 5 = 9n+5 ∴\therefore Por lo tanto, la suma de las cifras es 9n+59n+5. La respuesta es (a)
• A una fiesta asistieron 156 personas. En un momento determinado, bailaban algunas parejas (hombre y mujer) y se observó que 31 mujeres y 11 hombres no bailaban. ¿Cuántos hombres asistieron a la fiesta? a) 78 b) 67 c) 68 d) 56 e) 74
SOLUCIÓN:
El total de personas que asistieron a la fiesta: 156. El número de parejas que bailan: X Por lo tanto, podemos plantear el problema así:
 extTotaldepersonas=(personasquenobailan)+(personasquebailan)\ ext{Total de personas = (personas que no bailan) + (personas que bailan)}
Ahora reemplazamos con los datos en el problema.
156=(31+11)+x ext,dedondex=114156 = (31+11) + x \ ext{, de donde } x = 114
Hombre que baila = 1142=57\dfrac{114}{2} = 57 y como 11 hombres no bailan; por lo tanto, se tiene que el total de hombres que asistieron a la fiesta es:
57+11=6857 + 11 = 68
∴\therefore La respuesta es (c)
• Dos números naturales consecutivos son tales que su suma y producto son también números consecutivos. Calcular el cuadrado de la suma del menor con el duplo del mayor. a) 64 b) 46 c) 56 d) 72 e) 74 (Adm. UNMSM 2005)
SOLUCIÓN:
Si M ∈\in N, entonces los números consecutivos son: nn y (n+1)(n+1) , entonces por enunciado del problema tenemos:
 extSuma=n(n+1)=2n+1 ext(1)\ ext{ Suma } = n(n+1) = 2n+1 \quad\ ext{(1)}
 extProducto=n(n+1)=n2+n ext(2)\ ext{Producto} = n(n+1) = n^2 +n \quad\ ext{(2)}
Por dato del problema , la suma y el producto también son consecutivos, entonces tenemos:
 extProducto− extSuma=1 ext(3)\ ext{Producto} - \ ext{Suma} = 1 \quad\ ext{(3)}
Ahora reemplazamos (1) y (2) en (3), tenemos
(n2+n)−(2n+1)=1(n^2 +n) - (2n+1) = 1
n2−n=2⟶n2−n−2=0, extfactorizandon^2 -n = 2 \longrightarrow n^2 -n-2 = 0, \ ext{ factorizando}
(n−2)(n+1)=0 ext,dedonden=2,n=−1∈N(n-2)(n+1) = 0 \ ext{, de donde } n = 2, n = -1 \cancel{\in} \mathbb{N}
Luego, el menor es n=2n = 2 y el mayor es n+1=3n+1 = 3 y nos piden (2+2.3)2=(2+6)2=82=64(2+2.3)^2 = (2+6)^2 = 8^2 = 64 ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (a)
• Al multiplicar un número por 50 olvidé poner el cero a la derecha. Calculando, así un producto que se diferencia del verdadero en 10530. ¿Cuál era el número? a) 64 b) 46 c) 56 d) 72 e) 74 (Adm. UNFV 2008)
SOLUCIÓN:
Sea “n” el número buscado, entonces por dato tenemos:
• Multiplicando por 50: 50n
• Nos olvidamos del cero: 5n
Por condición del problema tenemos:
50n−5n=10530⟶45n=1053050n - 5n = 10530 \longrightarrow 45n = 10530
n=1053045=234n = \dfrac{10530}{45} = 234
∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (b)
• Dos kilos de huevos contienen entre 20 y 35 huevos. ¿Cuál es el mínimo peso de 280 huevos? a) 12 kilos b) 14 kilos c) 16 kilos d) 18 kilos e) 20 kilos
SOLUCIÓN:
El mínimo peso se obtiene si en cada 2 kg, tenemos la mayor cantidad posible de huevo, es decir, 35 huevos. Luego:
• 35 huevos ⟶\longrightarrow 2kg
• 280 huevos ⟶\longrightarrow x kg
Entonces, 35x=280×2⟶x=56035=1635x = 280 \times 2 \longrightarrow x= \dfrac{560}{35} = 16 ∴\therefore Por lo tanto se tiene x = 16 kg, la respuesta es (c)
• Un parque tiene la forma de un hexágono regular. si en cada lado hay 7 focos, hallar, el número total de focos. a) 42 b) 40 c) 38 d) 36 e) 34
SOLUCIÓN:
se ve que la respuesta sería inmediata 7×6=427\times 6 = 42 ¿no es verdad?, pero grafiquemos convenientemente.
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--16.png
∴\therefore La respuesta es (d)
• Si ab+ba=18\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = 18, a>ba>b, calcular E=a−babE = \sqrt{\dfrac{a-b}{\sqrt{ab}}} a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
SOLUCIÓN:
Operando en: ab+ba=18⟶a2+b2ab=18\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = 18 \longrightarrow \dfrac{a^2 + b^2}{ab} = 18, de donde a2+b2=18aba^2 + b^2 = 18ab, completando e cuadrado así: a2−2ab+b2=16ab⟶(a−b)2=16aba^2 -2ab +b^2 = 16ab \longrightarrow (a-b)^2 = 16ab a−b=4aba-b = 4\sqrt{ab} como B=a−babB = \sqrt{\dfrac{a-b}{\sqrt{ab}}}, reemplazando E=4abab=4=2E = \sqrt{\dfrac{4\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}} = \sqrt{4} = 2 ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (a)
• Si (22x+22x+...+22x)⏟1778 sumados−(4x+4x+...+4x)⏟1776 sumados=128\underbrace{(2^{2x} + 2^{2x} + ... + 2^{2x} )}_{1778 \text{ sumados}} - \underbrace{(4^x + 4^x + ... + 4^x)}_{1776 \text{ sumados}} = 128, calcular el valor de (x−1)x(x-1)x a) 3 b) 4 c) 5 d)6 e) 7
SOLUCIÓN:
(22x+22x+...+22x)⏟1778 sumados−(4x+4x+...+4x)⏟1776 sumados=128\underbrace{(2^{2x} + 2^{2x} + ... + 2^{2x} )}_{1778 \text{ sumados}} - \underbrace{(4^x + 4^x + ... + 4^x)}_{1776 \text{ sumados}} = 128 (4x+4x+...+4x)⏟1778 sumados\underbrace{(4^x + 4^x + ... + 4^x)}_{1778 \text{ sumados}} Entonces, 1778(4x)−1776(4x)=1281778(4^x) - 1776(4^x) = 128, simplificando 2×4x=128  ⟹  4x=64=432\times4^x = 128 \implies 4^x = 64 = 4^3 Luego: (x−1)x=(3−1)(3)=2×3=6(x-1)x = (3-1)(3) = 2\times 3 = 6 ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es la (d)
• Halla la suma: 21100+2110000+211000000+...+21100...0⏟20 ceros\dfrac{21}{100} + \dfrac{21}{10000} + \dfrac{21}{1000000} + ... + \dfrac{21}{\underbrace{100 ... 0}_{20 \text{ ceros}}} a) 19921−21(100)10\dfrac{1}{99} 21 - \dfrac{21}{(100)^{10}} b) 19920−20(100)10\dfrac{1}{99} 20 - \dfrac{20}{(100)^{10}} c) 19920−21(100)10\dfrac{1}{99} 20 - \dfrac{21}{(100)^{10}} d) 199921+21(100)10\dfrac{1}{999}21 + \dfrac{21}{(100)^{10}} e) 199921−21(100)10\dfrac{1}{999} 21 - \dfrac{21}{(100)^{10}} (Adm. UNI - 2000 - II)
SOLUCIÓN:
Sean:
E=21102+21104+21106+...+211020 ext(1)E = \dfrac{21}{10^2} + \dfrac{21}{10^4} + \dfrac{21}{10^6} + ... + \dfrac{21}{10^{20}} \quad\ ext{(1)}
Multiplicando por 10210^2, ambos miembros:
100E=21+21102+21104+...+211018 ext(2)100 E = 21+ \dfrac{21}{10^2} + \dfrac{21}{10^4} + ... + \dfrac{21}{10^{18}}\quad\ ext{(2)}
Ahora restamos (2) - (1), obteniendo: 99E=21−211020=21−211001099E = 21 -\dfrac{21}{10^{20}} = 21 - \dfrac{21}{100^{10}}, de donde E=19921−2110010E = \dfrac{1}{99} 21- \dfrac{21}{100^{10}}, por lo tanto, la respuesta es (a)
• Se tiene 4 números. AL añadir el promedio de 3 de ellos al número restante, se obtienen los números 17; 21; 23 y 29. Entonces, la suma de los 4 número es igual a: a) 90 b) 80 c) 60 d) 50 e) 45 (Adm. UNI-2000-II)
SOLUCIÓN:
Sean a, b, c y d los cuatro números. Nos piden calcular: a+b+c+d=?a+b+c+d = ? Aplicando las condiciones del problema, se tiene:
• a+b+c3+d=17⟶a+b+c+3d=51\dfrac{a+b+c}{3} + d = 17 \longrightarrow a +b+c+3d = 51
• a+b+d3+c=21⟶a+b+d+3c=63\dfrac{a+b+d}{3} +c = 21 \longrightarrow a+b+d +3c =63
• a+c+d3+b=23⟶a+c+d+3d=69\dfrac{a+c+d}{3} + b = 23 \longrightarrow a + c +d+3d = 69
• b+c+d3+a=29⟶b+c+d+3a=87\dfrac{b+c+d}{3} +a = 29 \longrightarrow b+c+d+3a = 87 6a+6b+6c+6d=2706a+6b+6c+6d=270
De donde: a+b+c+d=45a+b+c+d = 45 ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (e)
• Si a=7−11a = \sqrt{7} - \sqrt{11}, b=11−13b = \sqrt{11} - \sqrt{13} y c=13−7c=\sqrt{13} - \sqrt{7}. Hallar el valor numérico de E=a2bc+b2ac+c2ab4E= \dfrac{a^2}{bc} + \dfrac{b^2}{ac} + \dfrac{c^2}{ab}^4 a) 71 b) 81 c) 74 d) 84 e)68
SOLUCIÓN:
Observamos que al sumar a+b+ca+b+c se obtiene: a+b+c=0a+b+c = 0, de donde a+b=−ca+b = -c elevando al cubo:
(a+b)3=(−c)3⟶a3+b3+3a2b+3ab2=−c3⟶a3+b3+3ab(a+b)=−c3⟶a3+b3+3ab(−c)=−c3⟶a3+b3+c3=3abc(1)\begin{aligned} (a+b)^3 = (-c)^3 &\longrightarrow a^3 + b^3 +3a^2b+3ab^2 = -c^3\\ &\longrightarrow a^3 +b^3 +3ab(a+b) = -c^3\\ &\longrightarrow a^3 +b^3 +3ab(-c) = -c^3\\ &\longrightarrow a^3 +b^3 +c^3 = 3abc \quad\text{(1)} \end{aligned}
E=(a2bc+b3ac+c2ab)4=(a3+b3+c3abc)4(2)E = \left(\dfrac{a^2}{bc} + \dfrac{b^3}{ac} + \dfrac{c^2}{ab}\right)^4 = \left(\dfrac{a^3 +b^3 + c^3}{abc}\right)^4 \quad\text{(2)}
Ahora reemplazamos (1) en (2) y se tiene: a2bc+b3ac+c2ab4=3abcabc4=34=81\dfrac{a^2}{bc} + \dfrac{b^3}{ac} + \dfrac{c^2}{ab}^4 = \dfrac{3abc}{abc}^4 = 3^4 = 81 ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (b)
• La suma de dos números es 74 y su diferencia dividida entre el menor de 3 de cociente y 4 de residuo. Calcule el producto de los números. a) 840 b) 820 c) 780 d) 850 e) 800 (Adm. UNFV 2004)
SOLUCIÓN:
Tenemos los números a y b, tal que a>ba>b. Nos piden calcular a.b=?a.b = ? Por condición del problema se tiene que:
a+b=74 ext(1)a+b = 74 \quad\ ext{(1)}
Además, se tiene la división: a−b⏟4÷4⏟3\underbrace{a-b}_{4} \div \underbrace{4}_{3} y por el algoritmo de la división, se plantea que:
D=dq+r entonces a−b=36b+4a=4b+4(2)\begin{aligned} D = dq + r \text{ entonces }a -b &= 36b + 4\\ a& = 4b+4 \quad\text{(2)} \end{aligned}
Ahora reemplazamos (2) y (1) se tiene:
a+b  ⟹  4b+4+b=74  ⟹  5b=70de donde b=14\begin{aligned} a+b & \implies 4b +4+b = 74\\ & \implies 5b = 70 \text{de donde } b = 14 \end{aligned}
Como a=4b+4=4(14)+4=60  ⟹  a=60a = 4b+4 = 4(14) + 4 = 60 \implies a = 60 Por lo tanto: a+b=60(14)=840a+b = 60(14) = 840. Luego, la respuesta es (a)
• Pedro compró 30 lapiceros por 5400 soles, Si en la venta de 12 lapiceros quiere ganar el precio de compra de 6 lapiceros ¿A cómo tendría que vender cada uno? a) S/ 210 b) S/ 220 c) S/ 250 d) S/ 270 e) S/ 280
SOLUCIÓN:
Primero, calculamos el costo de cada lapicero. Costo de cada lapicero: 540030=S/.180\dfrac{5400}{30} = S/. 180 En 12 lapiceros quiere ganar el precio de compra de 6 lapiceros, es decir, quiere ganar: 6(180)=S/.10806 (180) = S/. 1080 Entonces tiene que recibir de la venta de 12 lapiceros más 1080, es decir. 12(180)+1080=S/.324012(180) + 1080 = S/. 3240 Por lo tanto, cada lapicero lo vencerá 324012=S/.270\dfrac{3240}{12} = S/. 270 ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (d)
• Un ropero tiene tres cajones, cada cajón contiene dos cajas rojas y una blanca. Cada caja roja contiene un polo rojo y dos polos blancos, cada caja blanca contiene dos polos rojos y un polo blanco. ¿Cuántos polos rojos hay en total? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 (Olimpiada Nacional de Matemática 2009)
SOLUCIÓN:
Como en cada cajón hay 2 cajones rojos y un cajón blanco, y como son 3 cajones, entonces se tiene 6 cajones rojos y 3 cajones blancos, entonces se tiene:
• 6 cajas rojas se tiene: 6×1=66\times 1 = 6 polos rojos
• 3 cajas blancas se tiene: 3×2=6polosnegros3\times 2 = 6 polos negros total:12polosrojos.total:12 polos rojos.
Luego, el número total de polos rojos es 12 ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (b)
• Al efectuar la operación de la expresión (666...666)2⏟666 cifras\underbrace{(666...666)^2}_{666\text{ cifras}}. Calcular la suma de las cifras. a) 5998 b) 5997 c) 5996 d) 5995 e) 5994
SOLUCIÓN:
Aplicando el método de inducción se tiene: E1=62=36  ⟹  S1=3+6=9=9(1)E_1 = 6^2 = 36 \implies S_1 = 3+6 = 9 = 9(1) E2=662=4356  ⟹  S2=4+3+5+6=18=9(2)E_2 = 66^2 = 4356 \implies S_2 = 4+3+5+6 = 18 = 9(2) E3=6662=443556  ⟹  S3=4+4+3+5+5+6=27=9(3)E_3 = 666^2 = 443556 \implies S_3 = 4+4+3+5+5+6 = 27 = 9(3) ... E666  ⟹  S666=9×(666)=5994E_{666} \implies S_{666} = 9 \times(666) = 5994 Luego, la suma de la cifra es 6994 ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (e)
• Efectuar la operación: E=2+4+6+...+44441+3+5+...+4443E = \dfrac{2+4+6+...+4444}{1+3+5+...+4443} a) 22232222\dfrac{2223}{2222} b) 22212220\dfrac{2221}{2220} c) 44444443\dfrac{4444}{4443} d) 14\dfrac{1}{4} e) 22222221\dfrac{2222}{2221}
SOLUCIÓN:
Aplicando el método de inducción, es decri, de lo particular a lo general: E1=21=21E_1 = \dfrac{2}{1} = \dfrac{2}{1} E2=2+41+3=32E_2 = \dfrac{2+4}{1+3} = \dfrac{3}{2} E3=2+4+61+3+5=43E_3 = \dfrac{2+4+6}{1+3+5} = \dfrac{4}{3} E4=2+4+6+81+3+5+7=54E_4 = \dfrac{2+4+6+8}{1+3+5+7} = \dfrac{5}{4} ... E222=2+4+6+...+44441+3+5+...+4443=22232222E_{222} = \dfrac{2+4+6+ ... + 4444}{1+3+5+ ... + 4443} = \dfrac{2223}{2222} ∴\therefore Por lo tanto, como E222=22232222E_{222} = \dfrac{2223}{2222}, la respuesta es (a)
• Si: 8n−8−n=148^n - 8^{-n} = 14, calcular E=(3n)3nE = (3n)^{3n} a) 265 b) 266 c) 256 d) 248 e) 246
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad de exponente: a−1=1aa^{-1} = \dfrac{1}{a} 8n−8−n=14  ⟹  8n−8n8=148^n - 8^{-n} = 14\implies 8^n - \dfrac{8^n}{8} = 14, de donde 8×8n−8n=1128\times 8^n - 8^{n} = 112, entonces 7×8n=1127 \times 8^{n} = 112 8n=1127=16  ⟹  23n=24=3n=48^n = \dfrac{112}{7} = 16 \implies 2^{3n} = 2^4 = 3n = 4 Luego se tiene: E=(3n)3n=44=256E = (3n)^{3n} = 4^4 = 256 ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (c)
• Hallar la suma de las cifras de EE, si: E=(1077...7)⏟79cifras−(77....778)2⏟77 cifrasE = \underbrace{(1077 ... 7)}_{79 \text{cifras}} - \underbrace{(77....778)^{2}}_{77 \text{ cifras}} a) 720 b) 718 c) 716 d) 702 e) 705
SOLUCIÓN:
Observamos que el sustraendo tiene 2 cifras menos que el minuendo, por lo tanto, estará dos lugares a la derecha de este, es decir:
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--28.png
Por lo tanto E=(999...999)2⏟78cifrasE = \underbrace{(999...999)^2}_{78 \text{cifras}} Ahora aplicamos el método de inducción E1=92⏟1 cifra=81  ⟹  S1=8+1=9=9(1)⏟N° de cifraE_1 = \underbrace{9^2}_{1 \text{ cifra}} = 81 \implies S_1 = 8 +1 = 9 = 9 \underbrace{(1)}_{\text{N° de cifra}} E2=992⏟2 cifra=9801  ⟹  S2=9+8+0+1=18=9E_2 = \underbrace{99^2}_{2 \text{ cifra}} = 9801 \implies S_2 = 9+8+0+1 = 18 = 9 (1)⏟N° de cifra\underbrace{(1)}_{\text{N° de cifra}} E3=9992⏟2 cifra=9801  ⟹  S3=9+9+8+0+0+1=27=9E_3 = \underbrace{999^2}_{2 \text{ cifra}} = 9801 \implies S_3 = 9+9+8+0+0+1 = 27 = 9 (3)⏟N° de cifra\underbrace{(3)}_{\text{N° de cifra}} ... E87=(999...999)2⏟78 cifras=998001  ⟹  S78=9(78)=702E_{87} = \underbrace{(999...999)^2}_{78 \text{ cifras}} = 998001 \implies S_{78} = 9(78) = 702 ∴\therefore Por lo tanto, la suma de las cifras es 702. Luego, la respuesta es (d)
• Si ab+ba=2\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = 2, calcule E=5a+3b2a−b+7a+3b5a−3bE = \dfrac{5a +3b}{2a-b} + \dfrac{7a + 3b}{5a -3b} a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19
SOLUCIÓN:
De la condición dada ab+ba=2\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} = 2, buscaremos una relación entre a y b. Como ab+ba=2  ⟹  a2+b2ab=2  ⟹  a2+b2=2ab\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = 2 \implies \dfrac{a^2 + b^2}{ab} = 2 \implies a^2+ b^2 = 2ab De donde: a2−2ab+b2=0  ⟹  (a−b)2=0a^2 -2ab +b^2 = 0\implies (a-b)^2 = 0 por lo tanto : a−b=0a-b=0, entonces a=ba = b, ahora reemplazamos en E=5a+3b2a−b+7a+3b5a−3b=5a+3a2a−a+7a+3a5a−3aE= \dfrac{5a+3b}{2a-b} + \dfrac{7a +3b}{5a -3b} = \dfrac{5a+ 3a}{2a-a} + \dfrac{7a +3a}{5a -3a} E=8aa+10a2a=8+5=13E= \dfrac{8a}{a} + \dfrac{10a}{2a} = 8 + 5 = 13 ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (b)
• Si: xa2+nx2=2\dfrac{x}{a}^2 + \dfrac{n}{x}^2 = 2, calcular E=xn3−3nx+nx2+nx3+3E=\dfrac{x}{n}^3 - 3\dfrac{n}{x} + \dfrac{n}{x}^2 + \dfrac{n}{x}^3 + 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
SOLUCIÓN:
xa2+nx2=2  ⟹  xn2+nx2=2xn+nx\dfrac{x}{a}^2 + \dfrac{n}{x}^2 = 2 \implies \dfrac{x}{n}^2 + \dfrac{n}{x}^2 = 2 \dfrac{x}{n} + \dfrac{n}{x} de donde, xn2−2xnnx+nx2=0\dfrac{x}{n} ^2 -2 \dfrac{x}{n}\dfrac{n}{x} + \dfrac{n}{x}^2 = 0, lo que es igual a xn−xn=0\dfrac{x}{n} - \dfrac{x}{n} = 0, al extraer la raíz cuadrada tenemos: xn−nx=0\dfrac{x}{n} - \dfrac{n}{x} = 0, entonces x=nx= n, que reemplazado en E se tiene: E=xn3−3nx+nx2+nx2+3E = \dfrac{x}{n}^3 - 3\dfrac{n}{x} + \dfrac{n}{x}^2 + \dfrac{n}{x}^2 + 3 E=nn3−3nn+nn2+nn3+3E= \dfrac{n}{n}^3 - 3\dfrac{n}{n} + \dfrac{n}{n}^2 + \dfrac{n}{n}^3 + 3 E=1−3+1+1+3=3E= 1-3+1+1+3 = 3 ∴E=3\therefore E = 3, la respuesta es (c)
• Desde cierto paradero se transportan 360 pasajeros en 5 microbuses ¿Cuántos microbus se deben aumentar para que cada 3 microbuses se transportes 90 pasajeros? a) 12 b) 10 c) 7 d) 5 e) 8 (Adm. Universidad Nacional Santiago Antúnez de Mayolo)
SOLUCIÓN:
Si en el tranporte de 90 pasajeros se utilizaron 3 microbuses, debemos de calcular cuántos microbuses deben emplearse. Plantemos mediante la regla de 3 simple.
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--31.png
Efectuando: 90x=360(3)90x = 360(3) de donde x=12x = 12 microbuses Como inicialmente los 360 pasajeros se transportaban en 5 microbuses, el número de microbuses que debe agregar es:
12−5=712 -5 = 7
∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (c)
• Dos cajas contienen en total 825 naranjas y una de las cajas tiene 125 naranjas más que la otra ¿Cuál es el valor de la caja que tiene más naranjas si una docena de naranjas cuenta S/ 3.60? a) S/ 142.50 b) S/105.00 c) S/ 171.00 d) S/ 152.40 e) S/ 123.50 (Adm. UNMSM-2011-II)
SOLUCIÓN:
Datos del problema se tiene: C1C_1: Caja 1; C2C_2: Caja 2, en estas dos cajas se tiene 825 naranjas, es decir:
C1+C2=825 ext(1)C_1 + C_2 = 825 \quad\ ext{(1)}
Además, por condición del problema se tiene:
C1=125+C2 ext(2)C_1 = 125 + C_2 \quad\ ext{(2)}
Ahora reemplazamos (2) en (1), obteniendose: 125+C2+C2=825  ⟹  2C2=700  ⟹  C2=350125 +C_2 +C_2 = 825 \implies 2C_2 = 700 \implies C_2 = 350, por lo tanto C1=825−350=475C_1 = 825 - 350 = 475 La caja 1 tiene más naranjas, ahora veremos su valor. Como 12 naranjas cuestan S/ 3.60, entonces el valor de una naranja es 3.6012=0.3\dfrac{3.60}{12} = 0.3. Luego , las 475 naranjas cuestan: 475×0.3=S/142.5475 \times 0.3 = S/ 142.5 ∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (a)
• Tres socios reunen 4800 nuevos soles para realizar una inversión, donde el primero socio obtiene una ganancia de 1600, el segundo 1440 y el tercero 800. ¿Cuanto aporto el tercer socio? a) 1000 b) 1002 c) 1004 d) 1006 e) 1008 (Adm. UNI-2000-II)
SOLUCIÓN:
Las magnitudes capital y ganancia son directamente proporcionales, es decir, que la relación de sus valores correspondientes es constante. Datos del problema: 1er1^{er} socio: A; 2do2^{do} socio: B; 3er3^{er} socio: C; CAC_A: Capital del socio A; CBC_B: Capital del socio B; CCC_C: Capital del socio C. Ubicándolos en un cuadro se tiene.
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--33.png
Además, por dato del problema, se tiene.
CA+CB+CC=4800C_A + C_B + C_C = 4800
Se cumple: CA1600=CB1440=CC800\dfrac{C_A}{1600} = \dfrac{C_B}{1440} = \dfrac{C_C}{800}, luego simplificamos: CA10=CB9=CC5=CA+CB+CC10+9+5=480024=200\dfrac{C_A}{10} = \dfrac{C_B}{9} = \dfrac{C_C}{5} = \dfrac{C_A + C_B +C_C}{10+9+5} = \dfrac{4800}{24} = 200 Nos piden capital del tercer socio: CC5=200  ⟹  CC=1000\dfrac{C_C}{5} = 200 \implies C_C = 1000 nuevos soles. ∴\therefore la respuesta es (a)
• Un reservorio de agua llena hasta sus 34\dfrac{3}{4} partes pesa 3000 g, pero lleno hasta su quinta parte pesa 1900 Kg. ¿Cuál es el peso del recipiente lleno en toda su capacidad? a) 3600 b) 3400 c) 3300 d) 3500 e) 3200 (Adm. UNMSM 2011-I)
SOLUCIÓN:
Consideremos, WW: Peso del reservorio Z:Z: Peso del agua lleno en toda su capacidad. De las condiciones del problema se tiene:
3ZW=3000 ext(1)\dfrac{3Z}{W} = 3000 \quad\ ext{(1)}
Z5+W=1900 ext(2)\dfrac{Z}{5} + W = 1900 \quad\ ext{(2)}
Restando (1) - (2), se tiene: 3Z4−Z5=1100\dfrac{3Z}{4} - \dfrac{Z}{5} = 1100 15Z−4Z20=100  ⟹  11Z=22000  ⟹  Z=2000\dfrac{15Z - 4Z}{20} = 100 \implies 11Z = 22000 \implies Z = 2000 Como Z5+W=1900  ⟹  W=1900−400=1500\dfrac{Z}{5} +W = 1900 \implies W = 1900 - 400 = 1500 Por lo tanto, Z+W=2000+1500=3500Z +W= 2000 + 1500 = 3500. Luego, la respuesta es (d)
• La suma de dos números es 10 y su producto 20. Hallar la suma de sus recíprocos. a) 0.1 b) 0.2 c) 0.4 d) 0.25 e) 0.5 (Adm. UNAC-96-I)
SOLUCIÓN:
Sean los números a y b, donde a y b R−{0}\mathbb{R} - \{0\}. Por condición del problema se tiene:
a+b=10 ext(1)a + b = 10 \quad\ ext{(1)}
ab=20 ext(2)ab = 20 \quad\ ext{(2)}
Como el recíproco de a es 1a\dfrac{1}{a} y el de b 1b\dfrac{1}{b} y nos piden 1a+1b\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}, entonces operando se tiene:
1a+1b=a+bab ext(3)\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a+b}{ab} \quad\ ext{(3)}
Ahora reemplazamos (1) y (2) en (3), se tiene: 1a+1b=1020=12=0.5\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2} = 0.5; por lo tanto, la respuesta es (e)
• ¿A cómo vendo lo que me costó x soles para ganar el y\ a) 100x100−y\dfrac{100x}{100-y} b) 100x99y\dfrac{100x}{99y} c) x−y100\dfrac{x-y}{100} d) 10x100−y\dfrac{10x}{100-y} e) 100xy−100\dfrac{100x}{y-100} (Adm. UNAC-96-I)
SOLUCIÓN:
Notación: PC: Precio de costo PV: Precio de venta g: Ganancia Del precio de costo más la ganancia nos da el precio de venta, es decir: PC + g = PV De las condiciones del problema tenemos: x+PN(yx + PN(y\ x+PV(y)100=PVx + \dfrac{PV(y)}{100} = PV   ⟹  100x+PV(y)=100PV\implies 100x + PV(y) = 100PV   ⟹  100PV−PV(y)=100x\implies 100PV - PV(y) = 100x   ⟹  PV(100−y)=100x\implies PV(100 - y) = 100x   ⟹  PV(100−y)=100x\implies PV(100 - y) = 100x De donde PV=100x100−yPV= \dfrac{100x}{100 - y}; por lo tanto, la respuesta es (a)
• Donato y Luis se reparten S/ 900 de modo que Donato tiene el doble de Luis ¿Cuántos soles deberá dar Donato a Luis para que este tenga e triple de aquel? a) S/ 425 b) S/375 c) S/ 295 d) S/ 405 e) S/ 275 (Adm. Universidad San Antonio de Abad del Cusco)
SOLUCIÓN:
Sean: a: Dinero en soles que recibe Donato b: Dinero en soles que recibe Luis Ahora, por condiciones del problema se tiene: a+b=900a+ b = 900 (1) a=2ba = 2b (2) Entonces, reemplazando (2) en (1) se tiene: 2b+b=900  ⟹  3b=9002b+b = 900 \implies 3b = 900, de donde b=S/300b = S/ 300 y a=S/600a = S/600 Sea x soles que debe darle Donato a Luis para que Luis tenga el triple de Donato,se plantea:
3(600−x)=300+x1800−3x=300+x  ⟹  4x=1500  ⟹  x=S/375\begin{aligned} 3(600- x) = 300+x&\\ 1800 - 3x = 300 + x & \implies 4x = 1500\\ &\implies x = S/ 375 \end{aligned}
∴\therefore Por lo tanto, la respuesta es (b)
• Un niño gasta en golosinas S/ 12, los cuales son el 15\ a) 68 b) 60 c) 45 d) 36 e) 15 (Adm. Universidad Nacional Hermilio Valdizán - 96)
SOLUCIÓN:
Si de sus ahorros (100\ Le ha quedado: 100\ Del enunciado: S/12   ⟹  15\implies 15\ x  ⟹  85x \implies 85, de donde se tiene: Entonces x=12×8515=68x = \dfrac{12 \times 85}{15} = 68\ ∴\therefore le queda S/ 68, la respuesta es (a)
• Carlos debe almorzar pollo o pescado (o ambos) en su almuerzo de cada día del mes de marzo. Si en su almuerzo durante 20 días hubo pollo y durante 26 días hubo pescado, entonces, el número de días que almorzó pollo y pescado es: a) 18 b) 16 c) 15 d) 14 e) 13 (Adm. UNI - 2003 - I)
SOLUCIÓN:
Todos los días de marzo (que tienen 31 días) almorzará pollo o pescado (o ambos). Interpretamos mediante el diagrama de Venn (x = ?)
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--39.png
Del gráfico observamos que: 20+(25−x)=3120 + (25 - x)= 31 x=45−31=14x = 45 -31 = 14 ∴\therefore Almorzó pollo y pescado 14 días, la respuesta es (d)
• Un padre deja una herencia a sus 3 hijos. La reparte en partes inversamente proporcionados a los n\'{u}meros 6; 4 y 3 empezando por el hijo mayor, respectivamente. Si el valor de la herencia asciende a 36000 d\'{o}lares, ¿cu\'{a}nto le corresponde al hijo mayor? a) 4000 b) 8000 c) 9000 d) 12000 e) 16000 (Adm. UNI 2005 - I)
SOLUCIÓN:
La herencia es: $ 36000. Los datos del problema, lo ubicamos así:$
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--40.png
Luego: 6a=4b=3c  ⟹  a2=b3=c46a = 4b = 3c \implies \dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{4} Por dato se tiene: a+b+c=36000a + b+c = 36000 Ahora aplicamos la propiedad de proporciones: a2=b3=c4⏟+⏞+=a+b+c2+3+4=360009=400\overbrace{\underbrace{\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{4}}_{+}}^{+} = \dfrac{a+b+c}{2+3+4} = \dfrac{36000}{9} = 400 Luego: c4=4000  ⟹  C=16000\dfrac{c}{4}= 4000 \implies C = 16000 Al hijo menor le corresponde $ 16000$ ∴\therefore la respuesta es (e)
• Una cruz está formada de 6 regiones cuadrados congruentes como muestra la figura. Si AB = 2652\sqrt{65}cm, halla el área de la cruz.
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--41e.png
SOLUCIÓN:
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--41s.png
Aplicando Pitégoras se tiene: (2b)2+(3L)2=(265)2  ⟹  13L2=4(65)  ⟹  L2=20(2b)^2 +(3L)^2 = (2\sqrt{65})^2 \implies 13L^2 = 4(65) \implies L^2 = 20 La cruz será: 6L2=6(20)=120cm26L^2 = 6(20) = 120 cm^2 ∴\therefore la respuesta es (a).
• Calcular E, si: 3(22+1)(24+1)(28+1)+116\sqrt[16]{3(2^2 +1) (2^4 +1 ) (2^8 +1)+1} a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
SOLUCIÓN:
Aplicaremos la diferecia de cuadrados: a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) Además 3=22−13 = 2^2-1, reemplazando en E: E=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)+116E = \sqrt[16]{(2^2 -1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8 +1)+1}, pero (22−1)(22+1)=24−1(2^2-1)(2^2+1) = 2^4-1 E=(24−1)(24+1)(28+1)+116=(28−1)(28+1)+116E= \sqrt[16]{(2^4-1)(2^4+1)(2^8 +1)+1} = \sqrt[16]{(2^8-1)(2^8+1)+1} E=(216−1)+116=21616=2E= \sqrt[16]{(2^{16} -1)+1} = \sqrt[16]{2^{16}} = 2 ∴\therefore E=2E= 2, la respuesta es (a)
• Calcular EE, si:
E=\ rac21211313+\ rac32322626+\ rac45453939E = \ rac{2121}{1313} + \ rac{3232}{2626} + \ rac{4545}{3939}
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
SOLUCIÓN:
Cada una de las fracciones se puede escribir así:
E=21(101)13(101)+32(101)26(101)+45(101)39(101), simplificando:E=2113+3226+4539, simplificando cada fraccioˊnE=2113+1613+1513=21+16+1513=5213=4\begin{aligned} E &= \frac{21(101)}{13(101)} + \frac{32(101)}{26(101)} + \frac{45(101)}{39(101)} \text{, simplificando:} \\ E &= \frac{21}{13} + \frac{32}{26} + \frac{45}{39} \text{, simplificando cada fracción} \\ E &= \frac{21}{13} + \frac{16}{13} + \frac{15}{13} = \frac{21 + 16 + 15}{13} = \frac{52}{13} = 4 \end{aligned}
∴\therefore Como E=4E = 4, la respuesta es (c)
• Reducir: E=(x2×x2...×22)⏟3n+6 veces−x3×43...×x3⏟2n+4 vecesE = \underbrace{(x^2 \times x^2 ... \times 2^2)}_{3n+6 \text{ veces}} - \underbrace{x^3 \times 4^3 ... \times x^3}_{2n+4 \text{ veces}} a) 7 b) 5 c) 3 d) 1 e) 0
SOLUCIÓN:
Sabemos que (a×a×a...×a)⏟=ax\underbrace{(a \times a \times a ... \times a)} = a^x, entonces: E=(x2×x2...×22)⏟3n+6 veces−x3×43...×x3⏟2n+4 veces=(x2)3n+6−(x3)2n+4E= \underbrace{(x^2 \times x^2 ... \times 2^2)}_{3n+6 \text{ veces}} - \underbrace{x^3 \times 4^3 ... \times x^3}_{2n+4 \text{ veces}} = (x^2)^{3n+6} - (x^3)^{2n+4} E=x6n+12−x6n+12=0E = x^{6n+12} - x^{6n+12} = 0 ∴\therefore E = 0, la respuesta es (e)
• Calcular el valor de E, si E=3100−(−243)20E = 3^{100} - (-243)^{20} a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
SOLUCIÓN:
Se conoce que (−x)par=xpar(-x)^{\text{par}} = x^{\text{par}}. Además, −243=(−3)5-243 = (-3)^5
E=3100−(−243)20=3100−((−3)5)20=3100−(−3)100=3100−3100=0E = 3100 - (-243)^{20} = 3^{100} - ((-3)^5)^{20} = 3^{100} - (-3)^{100} = 3100 - 3100 = 0
Como E=0E = 0, la respuesta es (a)
• Vendí un teléfono celular en 195 soles. Si lo hubiera vendido en 15 soles menos, estaría perdiendo 45 soles, ¿cuánto me costó el teléfono celular? a) S/ 252 b) S/ 225 c) S/ 260 d) S/ 270 e) S/ 250
SOLUCIÓN:
Analizando el problema de la siguiente manera: Perder significa reducir; es decir, si pierdo respecto a una cantidad, entonces dicha cantidad se reduce, la cual se podrá obtener sumando la pérdida. Entonces: Calculando el precio de venta supuesta: 195-15=180 soles Ahora calculamos el precio de costo: 180+45=225180 + 45 = 225 soles ∴\therefore el teléfono celular está S/ 225. Luego la respuesta es (b)
• En Iquitos, la temperatura en verano es en promedio 38° C, mientras que en Juliaca la temperatura promedio es de 8° C bajo cero. ¿Cuál es la diferencia entre ambas temperaturas? a) 30°C b) 40°C c) 46°C d) 36° C e) 32°C
SOLUCIÓN:
Analizando el problema de la siguiente manera: Si hablamos de temperatura bajo cero, esto se refiere a -8°C respecto al cero. Por lo tanto, calculando la diferencia de temperaturas tenemos: 38°C−(−8°C)=46°C38°C - (-8°C) = 46°C ∴\therefore la diferencia es 46°C, la respuesta es (C).
• Un taxi cobra 4 soles por las primeras 20 cuadras de recorrido y un sol por cada 10 cuadras adicionales. ¿Cuál sería el costo de un viaje de 80 cuadras? a) 8 soles b) 10 soles c) 12 soles d) 14 soles e) 16 soles
SOLUCIÓN:
Analizando el problema: Del total de cuadras, las 20 primeras cuesta 4 soles y de los demás, cada 10 costará un sol. Entonces calculamos el costo de las 80 cuadras de recorrido: costo =4+80−2010=4+6=10= 4 + \dfrac{80-20}{10}= 4 +6 = 10 soles ∴\therefore Por lo tanto el viaje cuesta S/ 10. La respuesta es (b)
• Sobre una recta se toman los tres puntos consecutivos A,B,C,D de tal manera que AC = 7, BD = 8 y 4(BC) = AD. Calcular AD. a) 12 b) 10 c) 8 d) 14 e) 16 (Concurso académico Trilce)
SOLUCIÓN:
Las condiciones del problema la representamos en un gráfico.
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--49.png
Por dato tenemos: AD=4(BC)AD = 4(BC)
x=4(15−x)x=60−4x  ⟹  5x=60 de donde x=12\begin{aligned} x &= 4(15 - x) \\ x &= 60 - 4x \implies 5x = 60 \text{ de donde } x = 12 \end{aligned}
Como AD=x=12AD = x = 12, la respuesta es (a) Nota: BC=BD−CD=8−(x−7)=15−xBC = BD - CD = 8 - (x - 7) = 15 - x
• En una recta se ubican los puntos consecutivos A; B; C y D. Si BC = 2 y (AC)2=(AB)(AD)(AC)^2 = (AB)(AD), calcule: 1AC+1CD\dfrac{1}{AC} + \dfrac{1}{CD} a) 1 b) 2 c) 12\dfrac{1}{2} d) 3 e) 13\dfrac{1}{3} (Acemica Pitágoras)
SOLUCIÓN:
Representando los datos en un gráfico:
Cap-1-Razon-Log-Mat-Ej-Desarrll--50.png
Nos piden calcular:
\ rac1AC+\ rac1CD ag1\ rac{1}{AC} + \ rac{1}{CD} \ ag{1}
Por dato tenemos: AB=AC−2AB = AC - 2 ; AD=AC+CDAD = AC + CD (2) Ahora reemplazamos (2) en (1), de donde:
(AC)2=(AC−2)(AC+CD)=(AC)2−2(AC)+(AC)(CD)−2(CD)(AC)^2 = (AC - 2)(AC + CD) = (AC)^2 - 2(AC) + (AC)(CD) - 2(CD)
2(AC)+2(CD)=(AC)(CD)2(AC) + 2(CD) = (AC)(CD)
\ racAC+CDAC imesCD=\ rac12  ⟹  \ racACAC imesCD+\ racCDAC imesCD=\ rac12\ rac{AC + CD}{AC \ imes CD} = \ rac{1}{2} \implies \ rac{AC}{AC \ imes CD} + \ rac{CD}{AC \ imes CD} = \ rac{1}{2}
\ rac1CD+\ rac1AC=\ rac12\ rac{1}{CD} + \ rac{1}{AC} = \ rac{1}{2}
Por lo tanto, la respuesta es (c)

Ejercicios Propuestos

1
Dos colegios, uno nacional y otro particular, tienen en total 1134 alumnos. Si al dividir el número de alumnos del colegio nacional por el número de alumnos del colegio particular se obtiene 4 de cociente y 54 de residuo, ¿cuántos alumnos estudian en el colegio nacional?
2
Las edades de Paola y Luisa están expresados por dos números impares consecutivos. Si actualmente ambas edades suman 76 años, ¿qué edad tiene el mayor?
3
Hallar la suma de cifras del resultado de: E=999…999⏟50 cifras×12E = \underbrace{999 \dots 999}_{50 \text{ cifras}} \times 12
4
Hallar la suma de la cifra del resultado EE: E=(333…333⏟10 cifras)2E = (\underbrace{333 \dots 333}_{10 \text{ cifras}})^2
5
Al comprar 38 lámpara pagué S/ 3000, pero esta suma no cubría el costo, por lo que tuve que devolver una lampara y el vendedor me devolvio tanto como me faltaba para cubrir el valor de las 38 lamparas. Hallar el precio de cada lámpara.
6
Una señora quiso comprar cierto numero de limones con S/ 720, pero al ver que el precio de cada limón había bajado en S/ 2, compró 4 limones más por la misma suma. ¿Cuántos limones compró?
7
Martín trabaja en una compañia en la cual por día de trabajo le pagan S/ 300 y por cada día que falta a sus labores le descuentan S/ 100 de su sueldo. ¿Cuántos días habrá trabajado, si al final de 40 días él adeuda a la empresa la suma de S/ 2000?
8
Entre Manuel y Juan tienen un total de 247 lapiceros. Si Manuel regalara 54 lapiceros le quedarían 87. Sabiendo que a Juan le van a regalar 29 nuevos lapiceros, ¿cuántos lapiceros tendría Juan?
9
¿A cómo debo vender lo que costó S/ 270 para ganar el 10\% del precio de venta más el 40\% del costo?
10
En una reunión se retiraron 30 hombres y 36 mujeres. El 12\% de los hombres que quedaron, equivale al 38\% del número de mujeres que quedaron. ¿Qué porcentaje son hombres?
11
Dos artículos se vendieron al mismo precio. En el primero se ganó el 20\% del costo y en el segundo el 10\% del precio de venta. Si uno de estos artículos costó S/ 60 más que el otro, ¿a qué precio se vendió cada artículo?
12
Resolver: 4×4×4⋯×4⏟(x−4) veces=8+8+8⋯+8⏟128 veces\underbrace{4 \times 4 \times 4 \dots \times 4}_{(x-4) \text{ veces}} = \underbrace{8 + 8 + 8 \dots + 8}_{128 \text{ veces}}
13
Hallar la suma de las cifras de la suma total de: 2+92+992+9992+…⏟92 sumandos\underbrace{2 + 92 + 992 + 9992 + \dots}_{92 \text{ sumandos}}
14
Un grupo de obreros debían entregar una obra en un determinado plazo. Luego de algunos días de trabajo se accidentan 12 obreros y no pudieron ser reemplazados hasta después de 8 días. Para ello, se contaron 28 obreros y se terminó la obra en la fecha prevista. ¿Cuántos obreros trabajaron los últimos obreros?
15
El número "xx" verifica: x+x−1=2+2x + x^{-1} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}. Determinar: x4+x−4x^4 + x^{-4}
16
Si: a2+b2+c2=300a^2 + b^2 + c^2 = 300 ; a+b+c=20a + b + c = 20. Calcular: (a+b)2+(b+c)2+(a+c)(a+b)^2 + (b+c)^2 + (a+c)
17
Si aa y bb son enteros mayores que 100, tales que a+b=300a + b = 300, ¿cuáles de las siguientes alternativas es la razón exacta de ab\frac{a}{b}?
18
En un cajón hay un total de 206 reglas, entre reglas de 20 y 30 cm. Sabiendo que cuando extraen 38 reglas de 20 cm del cajón, quedan igual número de reglas de ambas longitudes. ¿Cuántas reglas de 20 cm había en el cajón?
19
Al comprar 38 camisas pagué S/ 1425, pero esta suma no cubría el importe, por lo que tuve que devolver una camisa y el vendedor me devolvio tanto como faltaba para cubrir el valor de las 38 camisas. Halla el precio de cada camisa.
20
Un curioso escarabajo debe subir 65 bajadas. ¿Cuántos días tardará en subir la escalera?
21
Janett invito a su fiesta de 15 años a 100 personas entre varones y mujeres; de la cantidad de varones, la quinta parte son menores de 15 años y de la cantidad de mujeres, la doceava parte son mayores de 14 años. ¿A cuántos varones invitó a la fiesta?
22
Jaimito compro 20 artículos de tipo A, y los vendió ganando el 10\% con el importe de esta venta compró 60 artículos de tipo B y los vendió ganando el 15\%, con el importe de esta última venta compro 828 artículos del tipo C, al precio de 99 soles la docena. ¿Cuántos le costaron los 20 artículos de tipo A?
23
Trabajando solo, Luis puede realizar la tercera parte de una obra en una hora. Si el rendimiento de Luis es el cuádruple del rendimiento de Carlos, ¿en cuánto tiempo terminará toda la obra trabajando juntos?
24
De 200 profesores de una universidad, 115 tienen el grado de doctor y 60 son investigadores. De los doctores, 33 son investigadores. Halle la suma de la cantidad de doctores que no son investigadores y la cantidad de investigadores que no son doctores.
25
En un concurso de admision, en la prueba de razonamiento matematico que trae 100 preguntas, por cada respuesta correcta se le asigna un punto, y la respuesta incorrecta tiene un puntaje en contra de un cuarto de punto. César ha obtenido en dicha prueba 50 puntos, habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas. El número de preguntas erróneas es:
26
En un salón de postulantes hay 58 alumnos; 36 postulan a ingeniería, 24 postulan a ciencias y 13 postulan solo a letras; el npumero de postulantes a ingeniería y ciencias es:
27
Un jardinero cobra S/ 3 por plantar un arbol. Si planta arboles alrededor de un terreno rectangular de 50 m de largo y 30 m de ancho cada 5 nm de modo que en cada esquina vaya un árbol, ¿cuánto cobra el jardinero?
28
Un comerciante redujo en un 20\% el precio de venta de cada uno de sus artículos. ¿En qué porcentaje aumentaron sus ventas si se sabe que sus ingresos aumentaron en 20\%?
29
Inicialmente en una fiesta el 75\% eran hombres y el resto mujeres, en el transcurso de la fiesta llegaron 60 hombres y 140 mueres, siendo entonces el numero de hombres 65\% de los asistentes, ¿cuántas personas había inicialmente en la fiesta?
30
En un cajón hay 40 paquetes de tuercas; cada paquete pesa 2 kg y la caja vacía pesa 12 kg, ¿cuánto pesa el cajón lleno?
31
Si a,b,c,a, b, c, son números positivos tales que: a2+b6a+b6+3c=b6c2=a2b6=k\frac{a^2 + b^6}{a + b^6 + 3c} = \frac{b^6}{c^2} = \frac{a^2}{b^6} = k, entonces c−kc - k es igual a:
32
Dos obreros trabajan en una fábrica de cartucheras; el primero hace 45 cartucheras en 1 hora y el segundo 150 cartucheras en 1 hora. Sabiendo que cierto día el segundo entra a trabajar 7 horas después que el primero y se paraliza el mismo numero de carteras, ¿cuánto tiempo ha trabajo el primero?
33
Un objeto tenía un precio de S/ 800 y lo he adquirido ahorrando la suma de S/ 296 después de que me hicieron 2 descuentos sucesivos, uno de ellos del 30\% y el otro no lo recuerdo. ¿Cuál fue este segundo descuento sucesivo?
34
En un camal hay aves y conejos. Contando las patas son 80 en total y contando las cabezas son 35, ¿cuántos conejos hay en el camal?
35
Kelly tiene dos veces más de lo que tiene Elvis. Si Kelly le da 15 nuevos soles a Elvis, entonces tendrían la misma cantidad. ¿Cuántos tiene entre los dos?
36
Se dio pase de 5 candados y sus 5 llaves. ¿Cuántas veces tendrá que probarse como mínimo las llaves para determinar con certeza qué llave corresponde a qué candado?
37
La edad en años de una lechuza es mayor en 20 que el cuadrado de un número y menor en 5 que el cuadrado del número siguiente a dicho número. ¿Cuántos años tiene la lechuza?
38
Una persona destina 15\frac{1}{5} de su sueldo para sus padres. Ahora que ha recibido un aumento de "aa" soles, destina a sus padres "bb" soles, ¿cuánto ganaba antes del aumento?
39
Si \ rac3a=\ racab=\ racb24\ rac{3}{a} = \ rac{a}{b} = \ rac{b}{24}. Calcular a+ba+b.
40
En un grupo de 41 alumnos, 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan. Se pide, ¿cuántos trabajan y estudian?
41
Se tiene 100 fichas, de las cuales 40 son rojas y las restantes azules. ¿Cuántas rojas deben agregarse para que por ocho rojas haya 3 azules?
42
Una finca tiene 480 hectáreas. El 35\% de su mitad están sembrados de caña y el resto de la finca con frutas menores. ¿Cuántas hectáreas están sembradas con frutas menores?
43
Para comprar una chompa me falta S/a y para comprar una casaca me falta S/b. ¿Cuánto dinero tengo, sabiendo que 4 chompas cuestan tanto como 3 casacas?
44
Lili gasta cada día la mitad de lo que tiene más de 20 soles. Si gastó todo su dinero en 4 días, ¿cuánto gastó el segundo día?
45
Si te doy un melón, tú me das 4 naranjas, si me das 6 naranjas, yo te daré 3 chirimoyas. ¿Cuántos melones debe darte si tu me das 50 chirimoyas?
46
En un número de conejos y gallinas se sabe que el número de patas excede en 14 al doble del número de cabezas. Los conejos son:
47
Cuando un comerciante compra cuadernos, le regalan 2 por 7 y cuando los vende regala 1 por cada 8. ¿Cuántos cuadernos compró si vendió 700?
48
Sean a,b,ca, b, c y dd números naturales, tales que:I.- ab=a+cd=ck\frac{a}{b} = \frac{a+c}{d} = \frac{c}{k}, k∈Nk \in \mathbb{N}II.- d−c=39d - c = 39Entonces, el valor de d−bd - b es:
49
A un grupo de tres trabajadores se reparten la suma de 2370 soles con base en el número de días que trabajó durante todo el mes de junio. Uno faltó 8 días, otro faltó 3 días y otro nunca faltó. ¿Cuánto le corresponde al que faltó 8 días si el pago diario es el mismo?
50
Una señora deja una herencia de 12500 soles a cada uno de sus hijos. Antes de efectuarse el reparto muere uno de ellos y la suma que le correspondía se distribuye equitativamente entre sus hermanos, quienes reciben entonces 15000 soles cada uno. ¿Cuántos eran los hijos?
51
Todas mis camisas son blancas menos dos, todas son celestes menos dos y todas son cremas menos dos. ¿Cuántas camisas tengo de cada color?
52
Si tuvieras lo que yo tengo, y él tiene dos veces más de lo que tu tienes. Si tú tienes lo que tú, él y yo tenemos, tendría el doble de lo que tú tienes, más S/ 35. ¿Cuánto tienes?
53
Jessica tiene el doble de lo que tiene Juana en dinero, luego Jessica le presta cierta suma a Juana, por lo que ahora Juana tiene el triple de lo que le queda a Jessica. Si el préstamo que pidió Juana excede en S/ 6 a lo que tenía inicialmente, ¿con cuánto se quedó Jessica?
54
En un examen de 50 preguntas se califica cada respuesta correcta con 4 puntos, y cada respuesta incorrecta se califica con un punto en contra. Un alumno contesta todas las preguntas y obtiene 80 puntos, ¿cuántas preguntas contestó de forma incorrecta?
55
El trabajo de 3 hombres equivale el de 12 máquinas eléctricas, el trabajo de 5 máquinas eléctricas equivale el trabajo de 15 máquinas manuales y el trabajo de una máquina manual requiere de una inversión de S/ 150. ¿Cuál es la inversión requerida para el trabajo de 10 hombres?
56
Si se cumple: a1b1=a2b2=a3b3=k\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k, donde kk es un número entero positivo, y que a1b1+a22−a32b22−b32=6\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2^2 - a_3^2}{b_2^2 - b_3^2} = 6, entonces el valor de n es:
57
Resolver: 23×2×23×2…⏟(x+1) veces=4×4×4⋯×4⏟(x−24) veces\underbrace{\sqrt[3]{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt[3]{2} \times \sqrt{2} \dots}_{(x+1) \text{ veces}} = \underbrace{4 \times 4 \times 4 \dots \times 4}_{(x-24) \text{ veces}}
58
Calcular la suma de las cifras del resultado: 222…2⏟100 cifras+4…4⏟99 cifras+6…6⏟98 cifras\underbrace{222 \dots 2}_{100 \text{ cifras}} + \underbrace{4 \dots 4}_{99 \text{ cifras}} + \underbrace{6 \dots 6}_{98 \text{ cifras}}
59
Si a222×b888=8222a^{222} \times b^{888} = 8^{222} a888×b222=8888a^{888} \times b^{222} = 8^{888} Determinar el valor de: E=(ab+ab)baE = (ab + \frac{a}{b})^{\frac{b}{a}}
60
Si M=22222…2222⏟101 cifras×9999…9998⏟101 cifrasM = \underbrace{22222 \dots 2222}_{101 \text{ cifras}} \times \underbrace{9999 \dots 9998}_{101 \text{ cifras}}
61
Sabiendo que se cumple: a+b23=1+2\sqrt[3]{a + b\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}. ¿Cuál es el valor de: a+ba+b?
62
Sabiendo que: a+b+c=0a + b + c = 0, se pide calcular: E=\ rac3(a+b)(b+c)(a+c)+3abca3+b3+c3E = \ rac{3(a+b)(b+c)(a+c) + 3abc}{a^3 + b^3 + c^3}
63
Pepe tiene cierta suma de dinero (en S/). Si dicha cantidad la multiplicamos por 4, el producto le restamos 80, a la diferencia la dividimos por 3, al cociente le aumentamos 9, para finalmente, luego de extraerle la raíz cuadrada a la suma, obtenemos 7. ¿Cuánto dinero tenía Pepe al inicio?
64
De un total de 78 estudiantes, 41 llevan el curso de lenguaje y 22 llevan el curso de matemáticas. Si 9 de ellos llevan ambos cursos, ¿cuántos no llevan ninguno?
65
Si: x=27yx = \sqrt[y]{27} ; y=3y = \sqrt{3}, hallar: E=\ rac(x+y)4−(x−y)4x2+y2E = \ rac{(x+y)^4 - (x-y)^4}{x^2 + y^2}
66
Halla el valor numérico de: P=(n−3+m−3n−3×m−3)−1P = (\frac{n^{-3} + m^{-3}}{n^{-3} \times m^{-3}})^{-1} Si m+n=12m+n = \sqrt{12} ; mn=2183mn = 2\sqrt[3]{18}
67
Efectuar la operación y dar como respuesta la suma de cifras del resultado: 4037+40403737+404040373737+4040404037373737+…\frac{40}{37} + \frac{4040}{3737} + \frac{404040}{373737} + \frac{40404040}{37373737} + \dots si el total hay 222 sumandos.
68
Por motivo de una fiesta infantil se repartieron un total de 1600 juguetes entre 25 niños, dándole a cada uno 2 juguetes más que al anterior. ¿Cuántos juguetes se les dio a los 15 primeros?
69
Si: m=\ rac1a−bm = \ rac{1}{a-b} ; n=\ rac1a+bn = \ rac{1}{a+b}. Calcular el valor de E si: E=(\ racm2+n2m2−n2) imes\ racaba2+b2E = (\ rac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2}) \ imes \ rac{ab}{a^2 + b^2}
70
En una reunión de profesionales hay 131 personas, la mayor parte son varones. Si la octava parte de los varones son ingenieros y la séptima parte de las mujeres son economistas, ¿cuántos varones no son ingenieros?
71
Luchin gastó en primer lugar la cuarta parte del dinero que tenía; luego, gasto la quinta parte de la que le quedaba y enseguida la cuarta parte del resto, quedándole aún S/ 27. ¿Cuánto tenía al principio?
72
En un salón de postulantes hay 58 alumnos; 36 postulan a ingeniería 24 postulan a ciencias y 13 postulan solo a letras; el número de postulantes a Ingeniería y Ciencias es:
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Primero gastó la mitad de lo que no gastó, luego de lo que me queda regaló los 23\frac{2}{3} de lo que no regaló. ¿Qué parte del regaló?
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A un teatro entraron un total de 350 personas entre niños y niñas, recaudando en total S/ 1550 debido a que cada niño pagó S/ 5 y cada niña S/ 4. La diferencia entre el número de niños y niñas es:
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De 90 jóvenes que estudian en un centro de idiomas, se sabe que 48 estudian inglés, 49 no estudian francés y 40 estudian solo inglés. ¿Cuántos alumnos no estudian ni inglés ni francés?
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¿Qué se obtiene al simplicar: E=23x+1+8x+223x+1E = \frac{2^{3x+1} + 8^{x+2}}{2^{3x+1}}?
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Si 24x+2−4x=1192^{4x} + 2^{-4x} = 119 y x<0x < 0 , calcular 2x−2−x+52^x - 2^{-x} + 5
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Sea: 2a+1b=8a+2b\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = \frac{8}{a+2b}, con "aa" y "bb" números no nulos. Calcular: E=a6+17b6a6−52b6E = \sqrt{\frac{a^6 + 17b^6}{a^6 - 52b^6}}
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De la expresión: 2xa+b+px2b−a=5x32x^{a+b} + px^{2b-a} = 5x^3. Calcular: a+b+pa + b + p
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Si: x=2n+1x = 2^{n+1}, calcule: \ rac22n+1+4n2n+1+4(\ rac2n2)\ rac{2^{2n+1} + 4^n}{2^{n+1} + 4(\ rac{2^n}{2})}
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De los 100 soles que me dio mi papá, he gastado 23\frac{2}{3} de lo que no he gastado. ¿Cuánto no he gastado?
82
Una vaca atada a una cuerda de L metros de longitud come "Y" pasto; si la cuerda tuviera el doble de largo, ¿cuánto pasto llegará a comer?
83
Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros demoran 18 días para terminar una obra. ¿En cuántos días terminarán la misma obra, si solo trabajaran 6 horas diarias?
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Un grupo de 18 obreros se comprometen a realizar una obra en 34 días, al cabo de 10 días se le pide que terminen el trabajo 6 días antes de lo pactado, para satisfacer tal demanda se contratan 3 obreros más para que trabajen con las demás 8 horas diarias. Las horas diarias que se trabajan en los 10 primeros días fueron:
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Si ab−6ba=1\sqrt{\frac{a}{b}} - 6\sqrt{\frac{b}{a}} = 1, considerando solamente los valores positivos de los radicales. Calcular el valor de a+bb\sqrt{\frac{a+b}{b}}
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Se fija el precio de venta de un artículo aumentando el precio de costo en un 25\% del mismo. Luego, por razones comerciales, se debe volver al valor original. ¿Qué tanto por ciento del precio fijado se debe disminuir para obtener el precio de costo inicial?
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En los 9 meses que duró la preparacion preuniversitaria en una academia, asistieron 80 alumnos; 8 de ellos asistieron 9 meses, 10 asistieron 8 meses, 35 asistieron 7 meses, 17 asistieron 5 meses y el resto 2 meses. El importe total de las pensiones de enseñanzas fue de S/ 32630. ¿Cuánto ahorró mensualmente cada alumno?
88
Andrés tiene un cupón de 20\% de descuento sobre el precio a pagar por cada artículo de una tienda. Al llegar a la tienda se da con la grata sorpresa de que el producto que desea llevar ya viene con un descuento del 30\%. ¿Cuál es el descuento total que obtendrá Andrés si usa su cupón de descuento?
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Un señor quiso dar una limosna a un grupo de ancianos, si les daba S/ 5 a cada uno, faltaría S/ 30 y se les daba S/ 3 a cada uno, sobraría S/ 70. ¿Cuánto dinero tenía el señor?
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Un recipiente lleno de esencia de perfume cuesta S/ 12000, pero cuando se retiran 6 litros solo cuesta S/ 2000. ¿Cuántos litros tiene el recipiente lleno?
91
Un abuelo tiene 20 nietos, repartio cierta cantidad de caramelos de la siguiente forma: al primero le dio 10, al segundo 12, al tercero 14 y así sucesivamente. ¿Cuántas bolsas de caramelo ha tenido que comprar el abuelo, si cada bolsa trae 20 caramelos?
92
Si a+b+c=0a + b + c = 0, determine: N=\ rac(a2+b2+c2)(a3+b3+c3)(a2+b2−c2)(ab+bc−ac)N = \ rac{(a^2 + b^2 + c^2)(a^3 + b^3 + c^3)}{(a^2 + b^2 - c^2)(ab + bc - ac)}
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Un profesor fue al teatro con sus alumnos y observa que si compra entradas de S/ 24 le faltaría dinero para 5 de ellos, entonces decide comprar a S/ 20 y así ingresan todos y aún le sobran S/ 16. ¿Cuántos alumnos fueron al teatro?
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Una araña sube durante el día 5 m de una torre y resbala durante las noches 3 m. ¿Cuántos días demora en llegar a la cúspide si la torre tiene 145 m de altura?
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En un pueblo, el 75\% de la población le gusta la carne de res y al 50\% el pescado. Si la población solo se alimenta con estos tipos de alimentos. ¿Qué tanto por ciento de la población gusta de la carne de res y el pescado?
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Un lechero ha comprado 48 litros de leche a 2 soles el litro. Si desea ganar S/ 48 vendiendo a S/ 24 el litro. ¿Cuántos litros de agua debe adicionar a la leche?
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El primer día de trabajo gané S/ 3; el segundo día gané S/ 7; el tercer día S/ 13; el cuarto día gané S/ 21 y así sucesivamente. Si trabajé 20, ¿cuánto gané el ultimo día?
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Una empresa siempre ofrecía descuentos sucesivos del 20\% y del 15\% en la venta de sus productos; pero un día decidió efectuar un único descuento equivalente a los que ofrecía. ¿Cuál es el valor de este nuevo descuento?
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Una empresa consume 40\% de su materia prima disponible, lo que le queda excede en 57 kg. a lo gestado. ¿Cuántos kilogramos de materia prima disponible tenía la empresa?

Respuestas

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