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Sumatorias, Sucesiones y Series — Capítulo 1

Por Eduardo Espinoza Ramos · 11 capítulos · 1,280 ejercicios resueltos

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Capítulo 1

Sumatorias

Notación sigma, propiedades y fórmulas de sumatorias

1.0 · Introducción

En este capítulo expondremos la teoría de las sumatorias, en donde se estudiarán las propiedades, las fórmulas de las sumatorias, el producto de los términos de una sucesión de números reales y el binomio de Newton.

1.1 · Sumatorias

A la sumatoria de los “n” números a1,a2,⋯ ,ana_{1},a_{2}, \cdots, a_{n} es decir: a1+a2+⋯+ana_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}, representaremos por la notación:
\oxed∑i=1nai=a1+a2+⋯+an\oxed{\sum^{n}_{i=1} a_{i} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}}
donde el símbolo ∑\sum se llama signo de sumación y es la letra sigma mayúscula del alfabeto griego.

 • Consideremos los números enteros “m” y “n” de tal manera que, m≤n\text{m} \leq \text{n} y ff una función definida para cada i∈Zi \in \mathbb{Z}, donde m≤i≤n\text{m} \leq i \leq \text{n}, luego la notación ∑i=mnf(i)\displaystyle \sum^{n}_{i=m}f(i) nos representa la suma de los términos: f(m),f(m+1),f(m+2),⋯ ,f(n)f(m), f(m+1), f(m+2), \cdots ,f(n) es decir:
\oxed∑i=mnf(i)=f(m)+f(m+1)+f(m+2)+⋯+f(n)\oxed{\sum^{n}_{i=m}f(i) = f(m) + f(m+1) + f(m+2) + \cdots + f(n)}
donde:
[ ]
  • •i: es el índice de la suma o variable
  • •m: es el límite inferior
  • •n: es el límite superior
  • •
f(i)f(i): término general de la suma
Ejemplo: Si f(i)=ii+1f(i) = \dfrac{i}{i+1}, entonces ∑i=26f(i)=∑i=26ii+1=23+34+45+56+67\displaystyle \sum^{6}_{i=2}f(i) = \displaystyle \sum^{6}_{i=2}\dfrac{i}{i+1} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} +\dfrac{4}{5} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{6}{7} Ejemplo: Si f(i)=cos(ix)f(i) = cos(ix), entonces:
∑i=1nf(i)=∑i=1ncos⁡(ix)=cos⁡(x)+cos⁡(2x)+cos⁡(3x)+⋯cos⁡(nx)\sum^{n}_{i=1}f(i) = \sum^{n}_{i=1}\cos(ix) = \cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) + \cdots \cos(nx)

 • En la sumatoria ∑i=mnf(i)\displaystyle \sum^{n}_{i=m}f(i), existen (n-m+1) términos los cuales son: f(m),f(m+1),f(m+2),⋯ ,f(m+(n−m))f(m), f(m+1), f(m+2),\cdots, f(m+(n-m)), en particular, si m=1m = 1 y n≥1n \geq 1; entonces en ∑i=1nf(i)\displaystyle \sum^{n}_{i=1}f(i) existen “n”, términos, es decir:
\oxed∑i=1nf(i)=f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)\oxed{ \sum^{n}_{i=1}f(i) = f(1) + f(2) + f(3) + \cdots + f(n) }

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