Recursión no lineal y el método de la tangente

Recurrencias no lineales y el obstáculo de la no linealidad

Una recurrencia es no lineal cuando $a_{n+1}$ depende de $a_n$ mediante una función no lineal, por ejemplo $a_{n+1} = \dfrac{2a_n}{1-a_n^2}$, $a_{n+1} = \sqrt{\dfrac{1+a_n}{2}}$, o $a_{n+1} = \dfrac{a_n + c}{1 + c \, a_n}$. Estas recurrencias no tienen solución inmediata por ecuación característica.

La estrategia central es encontrar una sustitución que transforme la recurrencia no lineal en una recurrencia lineal (o incluso en una progresión aritmética). Las sustituciones más frecuentes en olimpiadas son:

(1) Sustitución trigonométrica: $a_n = \tan(\theta_n)$ o $a_n = \cos(\theta_n)$. Útil cuando la recurrencia involucra $\dfrac{2a_n}{1-a_n^2}$ (que es $\tan(2\theta_n)$) o $\dfrac{a_n+b}{1-ab}$ (adición de tangentes).

(2) Sustitución hiperbólica: $a_n = \tanh(t_n)$ o $a_n = \cosh(t_n)$. Útil cuando la recurrencia tiene la estructura de suma hiperbólica.

(3) Sustitución logarítmica: $b_n = \ln a_n$. Útil cuando la recurrencia es del tipo $a_{n+1} = a_n^{\alpha} \cdot a_{n-1}^{\beta}$, que se vuelve lineal en $b_n$.

Técnica principal: sustitución $a_n = \tan(\theta_n)$

Consideremos la recurrencia $a_{n+1} = \dfrac{2a_n}{1-a_n^2}$ con $|a_n| < 1$. La fórmula de la tangente doble dice $\tan(2\alpha) = \dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$. Con la sustitución $a_n = \tan(\theta_n)$:

$a_{n+1} = \dfrac{2\tan(\theta_n)}{1-\tan^2(\theta_n)} = \tan(2\theta_n)$.

Luego $\theta_{n+1} = 2\theta_n$, que es una progresión geométrica: $\theta_n = 2^{n-1}\theta_1$. La solución es $a_n = \tan(2^{n-1}\theta_1)$ donde $\theta_1 = \arctan(a_1)$.

Otro ejemplo: $a_{n+1} = \dfrac{a_n + c}{1 + c\,a_n}$ con $0 < c < 1$ fijo y $a_1 \in (-1,1)$. Por la fórmula de adición de tangentes: si $c = \tan(\phi)$ y $a_n = \tan(\theta_n)$, entonces $a_{n+1} = \tan(\theta_n + \phi)$. Luego $\theta_{n+1} = \theta_n + \phi$, progresión aritmética: $\theta_n = \theta_1 + (n-1)\phi$. Solución: $a_n = \tan(\theta_1 + (n-1)\arctan c)$. La sucesión es periódica si $\arctan c$ es un múltiplo racional de $\pi$.

Sustitución $a_n = \cot(\theta_n)$ y otras variantes

La sustitución $a_n = \cot(\theta_n)$ es útil en recurrencias del tipo $a_{n+1} = a_n^2 - 2$. Si $a_n = 2\cos(\theta_n)$, entonces $a_{n+1} = 4\cos^2(\theta_n) - 2 = 2\cos(2\theta_n)$, luego $\theta_{n+1} = 2\theta_n$. Con $\theta_1 = \arccos(a_1/2)$ (válido si $|a_1| \le 2$): $a_n = 2\cos(2^{n-1}\theta_1)$.

Si $|a_1| > 2$, se usa la sustitución hiperbólica $a_n = 2\cosh(t_n)$: $a_{n+1} = 4\cosh^2(t_n)-2 = 2\cosh(2t_n)$, luego $t_{n+1} = 2t_n$, y $a_n = 2\cosh(2^{n-1}t_1)$.

Aplicación en olimpiadas: estas sustituciones permiten calcular $\lim_{n\to\infty} a_n$ o el comportamiento asintótico, demostrar periodicidad, o encontrar todos los valores iniciales $a_1$ para los que $a_n$ permanece acotado.

Sustitución logarítmica. Para $a_{n+1} = \sqrt{a_n \cdot a_{n-1}}$ (media geométrica), sea $b_n = \ln a_n$: $b_{n+1} = \dfrac{b_n + b_{n-1}}{2}$. Esta es una recurrencia lineal de orden 2 con ecuación característica $r^2 = \dfrac{r+1}{2}$, es decir $2r^2 - r - 1 = 0$, raíces $r = 1$ y $r = -1/2$. Solución: $b_n = A + B(-1/2)^n$, que converge a $A$ cuando $n \to \infty$. La condición inicial determina $A = \frac{2b_1+b_2}{3}$ y la sucesión $a_n = e^{b_n}$ converge a $a_1^{2/3} a_2^{1/3}$.

El método de la recta tangente para desigualdades inductivas

El método de la recta tangente (o «truco de Jensen puntual») es una técnica para demostrar desigualdades por inducción cuando la función involucrada es convexa o cóncava. La idea: si $f$ es convexa, la recta tangente en cualquier punto $x_0$ queda por debajo de $f$, es decir $f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.

Esquema general. Para demostrar $\sum_{k=1}^n f(a_k) \ge n \cdot f\!\left(\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right)$ (desigualdad de Jensen), el método de la tangente en el punto $\mu = (a_1+\cdots+a_n)/n$ da: $f(a_k) \ge f(\mu) + f'(\mu)(a_k - \mu)$. Sumando: $\sum f(a_k) \ge n f(\mu) + f'(\mu)\sum(a_k-\mu) = nf(\mu)$.

Para desigualdades más específicas, se fija la tangente en un punto $x_0$ conveniente (no necesariamente la media) y se busca una constante $\lambda$ tal que $f(x) \ge f(x_0) + \lambda(x-x_0) + g(x)$ donde $g(x) \ge 0$ es manejable. Esta es la idea detrás del «método SOS» (suma de cuadrados) y de las técnicas de Schur.

Ejemplo de aplicación. Para $x > 0$, demostrar que $e^x \ge ex$ (tangente a $e^x$ en $x=1$). Inmediato: $f(x) = e^x$ es convexa, $f(1) = e$, $f'(1) = e$. Tangente: $e^x \ge e + e(x-1) = ex$. Sumando sobre $n$ variables $x_k = a_k$ con restricción $\sum a_k = n$: $\sum e^{a_k} \ge e \sum a_k = en$. En el paso inductivo, se añade la variable $a_{n+1}$ y se aplica la tangente en $a_{n+1} = 1$ para controlar el error.