Desigualdades con restricciones geométricas

Cómo detectar una restricción geométrica

Un problema algebraico tiene restricción geométrica cuando las variables representan lados, ángulos o áreas de una figura, y esa representación impone condiciones adicionales sobre los valores posibles.

Las restricciones más frecuentes en olimpiadas son:

(1) Desigualdad triangular: si $a, b, c$ son lados de un triángulo, entonces $a + b > c$, $b + c > a$ y $c + a > b$. Esta condición restringe el dominio: no todo punto $(a, b, c)$ con $a, b, c > 0$ es válido, sino solo aquellos que satisfacen las tres desigualdades.

(2) Condición de área: si $S$ es el área de un triángulo con lados $a, b, c$, la fórmula de Herón impone $S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) \ge 0$ donde $s = (a+b+c)/2$. Esto es equivalente a la desigualdad triangular.

(3) Condición de ángulo: si $\alpha, \beta, \gamma$ son los ángulos de un triángulo, entonces $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ y $\alpha, \beta, \gamma > 0$. Los problemas con ángulos se resuelven con sustituciones trigonométricas.

Señal de alerta en el enunciado: frases como "sean $a, b, c$ los lados de un triángulo", "para $a, b, c > 0$ tales que exista un triángulo con esos lados", o "con $a + b > c$, $b + c > a$, $c + a > b$", indican que la desigualdad triangular es la restricción de trabajo.

La sustitución de Ravi

La herramienta central para las desigualdades con lados de triángulo es la sustitución de Ravi (también llamada sustitución de Ravi Vakil):

Si $a, b, c > 0$ son los lados de un triángulo, entonces existen únicos $x, y, z > 0$ tales que

$a = y + z, \quad b = z + x, \quad c = x + y.$

Explícitamente: $x = s - a$, $y = s - b$, $z = s - c$, donde $s = (a+b+c)/2$ es el semiperímetro.

Por qué funciona: la desigualdad triangular $a + b > c$ equivale a $(y+z)+(z+x) > x+y$, es decir $2z > 0$, que es automáticamente verdad para $z > 0$. Las otras dos desigualdades triangulares dan $2x > 0$ y $2y > 0$, igualmente automáticas. Luego la sustitución de Ravi *elimina por completo* la restricción triangular: cualquier $(x, y, z)$ con $x, y, z > 0$ corresponde a un triángulo válido.

Relaciones útiles después de Ravi:

$s = x + y + z,\quad s - a = x,\quad s - b = y,\quad s - c = z.$

$a + b + c = 2(x+y+z),\quad ab + bc + ca = (x+y)(y+z) + (y+z)(z+x) + (z+x)(x+y).$

El área por Herón: $S = \sqrt{s \cdot x \cdot y \cdot z} = \sqrt{(x+y+z)xyz}$.

Desigualdades clásicas con Ravi

Con la sustitución de Ravi, varias desigualdades clásicas sobre lados de triángulo se convierten en desigualdades estándar sin restricciones:

Desigualdad de Hadwiger-Finsler: $a^2 + b^2 + c^2 \ge 4\sqrt{3}S$, donde $S$ es el área. Con Ravi: $a^2+b^2+c^2 = (y+z)^2+(z+x)^2+(x+y)^2 = 2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)$. Y $4\sqrt{3}S = 4\sqrt{3(x+y+z)xyz}$. La desigualdad se reduce a una en $x, y, z > 0$.

Desigualdad de Nesbitt para triángulos: $\dfrac{a}{b+c-a} + \dfrac{b}{c+a-b} + \dfrac{c}{a+b-c} \ge 3$. Con Ravi: los denominadores son $b+c-a = 2x$, $c+a-b = 2y$, $a+b-c = 2z$. La desigualdad se convierte en $\dfrac{y+z}{2x} + \dfrac{z+x}{2y} + \dfrac{x+y}{2z} \ge 3$, que es $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z}\right) \ge 3$. Por AM-GM, cada par $\dfrac{u}{v}+\dfrac{v}{u} \ge 2$, así la suma de los seis términos es $\ge 6$, y dividiendo por $2$: $\ge 3$. $\square$

Desigualdad de Erdős-Mordell (versión algebraica): para un punto $P$ interior a un triángulo con distancias $d_a, d_b, d_c$ a los lados, se tiene $PA + PB + PC \ge 2(d_a + d_b + d_c)$. Esta desigualdad mixta (geométrica y algebraica) ilustra cómo las restricciones de posición generan cotas no triviales.

Ejemplo trabajado: IbAm con lados de triángulo

Problema. Sean $a, b, c$ los lados de un triángulo. Probar que

$\sqrt{a+b-c} + \sqrt{b+c-a} + \sqrt{c+a-b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}.$

Solución con sustitución de Ravi. Sea $a = y+z$, $b = z+x$, $c = x+y$ con $x, y, z > 0$. Entonces:

$a+b-c = (y+z)+(z+x)-(x+y) = 2z,\quad b+c-a = 2x,\quad c+a-b = 2y.$

La desigualdad pedida se convierte en:

$\sqrt{2z}+\sqrt{2x}+\sqrt{2y} \le \sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}+\sqrt{x+y}.$

Dividiendo por $\sqrt{2}$: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \le \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}+\sqrt{x+y}).$

Por la desigualdad $\sqrt{u+v} \ge \dfrac{\sqrt{u}+\sqrt{v}}{\sqrt{2}}$ (que se verifica elevando al cuadrado: $u+v \ge \dfrac{(\sqrt{u}+\sqrt{v})^2}{2} = \dfrac{u+2\sqrt{uv}+v}{2}$, es decir $u+v \ge \sqrt{uv}$, que es AM-GM):

$\sqrt{y+z} \ge \dfrac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{2}},\quad \sqrt{z+x} \ge \dfrac{\sqrt{z}+\sqrt{x}}{\sqrt{2}},\quad \sqrt{x+y} \ge \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2}}.$

Sumando: $\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}+\sqrt{x+y} \ge \dfrac{2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}).$

Luego $\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}+\sqrt{x+y}) \ge \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$, que es exactamente la desigualdad que buscábamos. La igualdad se da cuando $x = y = z$, es decir $a = b = c$ (triángulo equilátero). $\square$