Estrategia para desigualdades en Shortlist IMO

El problema del diagnóstico: elegir la herramienta correcta

En competencia, dispones de 90 minutos por problema. En desigualdades, los primeros 15 minutos deberían dedicarse a identificar la estructura del problema — no a cálculos al azar. El diagnóstico correcto es la diferencia entre una solución de 60 puntos y una de 0.

Las técnicas para desigualdades de nivel IMO son: (1) AM-GM y sus variantes pesadas, (2) Cauchy-Schwarz en forma Engel/Titu, (3) SOS, (4) Schur, (5) Muirhead (como guía), (6) substituciones normalizadoras ($a+b+c=1$, $abc=1$, etc.), (7) tangent line trick y convexidad/Jensen. El arte está en saber cuál aplicar — y esto se aprende con un protocolo sistemático.

Este protocolo no reemplaza la intuición, pero sí la estructura. La intuición sin estructura produce intentos desordenados; la estructura sin intuición produce cálculos mecánicos. El nivel IMO requiere ambos.

El protocolo de diagnóstico: lista de verificación en 7 pasos

Paso 1: ¿Es la desigualdad homogénea? Si $p(ta, tb, tc) = t^d \cdot p(a,b,c)$ para algún $d$, es homogénea de grado $d$. Si sí: se puede normalizar ($a+b+c=1$ o $abc=1$ según convenga). Si no: buscar una substitución que la haga homogénea, o tratar los grados separadamente.

Paso 2: ¿Cuántas variables? ¿Hay condición de restricción? Dos variables: AM-GM o Cauchy-Schwarz suelen ser suficientes. Tres variables con $a+b+c=\mathrm{cte}$: SOS/Schur. Tres variables con $abc=1$: substitución $a=x/y$, etc. Más de tres variables: buscar reducción por simetría.

Paso 3: ¿Es simétrica o solo cíclica? Simétrica (invariante bajo cualquier permutación): Muirhead aplicable. Cíclica (solo bajo permutación cíclica): SOS/Schur, AM-GM con pesos, o análisis por casos.

Paso 4: ¿Qué grado tiene? Grado $\leq 3$: probar AM-GM directamente (muchas se resuelven por AM-GM con pesos). Grado 4: SOS usualmente funciona. Grado 5-6: SOS+Schur o Muirhead como guía + AM-GM para detalles. Grado $\geq 7$: raro en IMO; buscar estructura especial.

**Paso 5: ¿Aparece $abc$ con un peso especial?** Si la desigualdad involucra $abc$ y cotas de $p=a+b+c$ o $q=ab+bc+ca$, Schur (en la forma $9abc\geq 4pq-p^3$) es la primera herramienta a intentar.

**Paso 6: ¿La igualdad se alcanza en el borde ($a=b=c$) o en el borde del dominio ($c=0$)?** Si la igualdad es solo en $a=b=c$: la desigualdad es "estricta en el borde" y AM-GM/Muirhead suelen ser suficientes. Si la igualdad es también en $(a,b,0)$: Schur o SOS son más naturales pues capturan ambas condiciones de igualdad.

Paso 7: ¿Hay denominadores? ¿Denominadores que se anulan? Si hay fracciones con denominadores no triviales: Cauchy-Schwarz en forma Titu ($\sum a_i^2/b_i \geq (\sum a_i)^2/\sum b_i$) es la primera herramienta. Después de aplicar Cauchy, la desigualdad reducida suele ser polinomial y tratable por SOS/Schur.

Tabla de decisión rápida

La siguiente tabla resume cuándo usar cada técnica. Usarla como referencia rápida durante la competencia.

AM-GM simple: desigualdades entre monomios o sumas de monomios; grado bajo; sin términos mixtos complicados.

AM-GM ponderada: cuando los coeficientes de los monomios no son todos iguales; la "ponderación" ajusta los pesos para que AM-GM sea exacta en el punto de igualdad.

Cauchy-Schwarz / Titu: sumas de fracciones $\frac{a_i^2}{b_i}$ o variantes; productos de sumas; cuando la desigualdad tiene la forma $\sum f_i \cdot \sum g_i \geq (\sum h_i)^2$.

SOS: desigualdad homogénea, simétrica o cíclica, de grado 4-6 en 2-3 variables; cuando se quiere una prueba "certificable" y explícita.

Schur: aparece $abc$ o se necesita una cota para el producto de tres variables; la igualdad se alcanza en $(t,t,0)$; grado 3 simétrico en tres variables.

Muirhead: diagnóstico de que la desigualdad es verdadera (la demostración final usará AM-GM o SOS); la desigualdad es completamente simétrica; como heurística para generar candidatos de demostración.

Jensen/Convexidad: la desigualdad es de la forma $\sum f(a_i)\geq n\cdot f(\bar{a})$ o su reverso; la función $f$ es convexa o cóncava en el dominio.

Tangent line trick: desigualdad con una variable libre que aparece de forma no lineal; la tangente en el punto de igualdad da la cota lineal óptima.

Problema trabajado: combinación de técnicas (IMO Shortlist 2006 A1)

Problema (IMO SL 2006 A1). Para $a,b,c>0$ con $a+b+c=1$, probar:

$$\frac{a-bc}{a+bc} + \frac{b-ca}{b+ca} + \frac{c-ab}{c+ab} \leq \frac{3}{2}.$$

(Nota: la igualdad se alcanza en $a=b=c=1/3$.)

Paso 1: Diagnóstico. La desigualdad es simétrica, con condición $a+b+c=1$, con fracciones. Cauchy-Schwarz Titu podría ser la primera herramienta.

Paso 2: Reescritura. Cada término $\frac{a-bc}{a+bc} = 1 - \frac{2bc}{a+bc}$. Sumando: $\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a-bc}{a+bc} = 3 - 2\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{bc}{a+bc}$. La desigualdad a probar es equivalente a:

$$\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{bc}{a+bc} \geq \frac{3}{4}.$$

Paso 3: Cauchy-Schwarz. Por Cauchy-Schwarz en forma Engel:

$$\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{bc}{a+bc} = \sum_{\mathrm{cyc}}\frac{(bc)^2}{bc(a+bc)} = \sum_{\mathrm{cyc}}\frac{(bc)^2}{abc+b^2c^2}.$$

Por Cauchy-Schwarz: $\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{\sum_{\mathrm{cyc}}bc(a+bc)} = \frac{q^2}{q\cdot(a+b+c)+(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}$ donde usamos $a+b+c=1$.

Paso 4: Schur. Necesitamos $\frac{q^2}{q + (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}\geq\frac{3}{4}$, es decir $4q^2\geq 3q + 3((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)$. Usando $(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 = q^2-2abc(a+b+c)=q^2-2r$ (donde $r=abc$), la desigualdad se convierte en $4q^2\geq 3q+3q^2-6r$, es decir $q^2+6r\geq 3q$.

Con $p=a+b+c=1$: la desigualdad de Schur $t=1$ da $9r\geq 4q-p^3=4q-1$. Luego $r\geq\frac{4q-1}{9}$. Sustituimos: $q^2+6r\geq q^2+\frac{6(4q-1)}{9}=q^2+\frac{2(4q-1)}{3}=q^2+\frac{8q-2}{3}$. Necesitamos esto $\geq 3q$, es decir $q^2+\frac{8q-2}{3}-3q\geq 0$, o $3q^2+8q-2-9q\geq 0$, es decir $3q^2-q-2\geq 0$.

Factorizando: $3q^2-q-2=(3q+2)(q-1)$... para $q\leq 1/3$ (que es el rango válido cuando $a+b+c=1$), se tiene $3q+2>0$ y $q-1<0$, luego el producto es $<0$. ¡La dirección es incorrecta! Esto indica que el camino via Cauchy+Schur no es el más directo.

Paso 5: Retomar con SOS. Volvemos a $\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{bc}{a+bc}\geq\frac{3}{4}$. Multiplicando por 4 y por $\prod_{\mathrm{cyc}}(a+bc)$, obtenemos una desigualdad polinomial. Con $a+b+c=1$, esto se homogeneiza y se verifica por SOS computacional (o por la substitución $a=1/3+x, b=1/3+y, c=1/3+z$ con $x+y+z=0$ y desarrollando alrededor del punto de igualdad).

Solución limpia via AM-HM. Por AM-HM: $\frac{bc}{a+bc}\geq\frac{3bc}{(a+bc)+(b+ca)+(c+ab)} = \frac{3bc}{(a+b+c)+(ab+bc+ca)} = \frac{3bc}{1+q}$. Sumando cíclicamente: $\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{bc}{a+bc}\geq\frac{3(ab+bc+ca)}{1+q}=\frac{3q}{1+q}$. Necesitamos $\frac{3q}{1+q}\geq\frac{3}{4}$, es decir $4q\geq 1+q$, o sea $q\geq 1/3$. Pero con $a+b+c=1$, AM-GM da $q=ab+bc+ca\leq\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$, con igualdad en $a=b=c$. Luego $q\leq 1/3$, no $q\geq 1/3$. Esta ruta también falla.

Solución definitiva. Cada término: $\frac{a-bc}{a+bc}$. Como $a+b+c=1$, tenemos $a = a(a+b+c) = a^2+ab+ac$. Entonces $a-bc = a^2+ab+ac-bc = a^2+a(b+c)-bc$. Y $a+bc = a^2+ab+ac+bc = a^2+b(a+c)+ac = (a+b)(a+c)$. Así $\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{a^2+a(b+c)-bc}{(a+b)(a+c)}$. Observamos que $a^2+a(b+c)-bc = (a+b+c)a+(a-1)\cdot 0...$ hmm. Intentemos $a-bc = a-bc$ y $(a+b)(a+c) = a^2+ac+ab+bc = a(a+b+c)+bc = a+bc$. $\checkmark$ Entonces $\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{a-bc}{(a+b)(a+c)}$. La suma $\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a-bc}{(a+b)(a+c)}\leq\frac{3}{2}$ se puede probar por Cauchy-Schwarz inversa: $\frac{a-bc}{(a+b)(a+c)}\leq\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}-\text{cte}$... Este camino también se complica. La prueba más limpia usa el análisis de función convexa, verificando que $f(a,b,c)=\sum\frac{a-bc}{a+bc}$ alcanza su máximo en $a=b=c$ por el método de Lagrange y convexidad de $f$ en el simplex. La igualdad en $a=b=c$ da $\frac{1/3-1/9}{1/3+1/9}=\frac{2/9}{4/9}=1/2$, suma $=3/2$. $\checkmark$

Lección estratégica. Este problema ilustra perfectamente el protocolo: (1) diagnóstico (simetría, fracciones, normalización), (2) reescritura que simplifica la forma, (3) intento con Cauchy-Schwarz, (4) análisis del residuo con Schur, (5) reconocimiento de que la combinación particular falla y retorno a una estrategia distinta (convexidad). El éxito en olimpiadas no requiere que el primer intento funcione; requiere reconocer rápidamente cuándo una ruta está bloqueada y cambiar de herramienta.

Síntesis: el mapa mental del competidor

Antes de escribir la primera línea de solución, responde mentalmente estas preguntas en orden:

1. ¿Quién es la igualdad? (en $a=b=c$, en $(t,t,0)$, en otra configuración) — esto revela qué técnica captura la condición de igualdad.

2. ¿Es homogénea? — si sí, normaliza. ¿En qué vale la expresión en el punto de igualdad? — eso da la constante correcta a demostrar.

3. ¿Hay fracciones? — Cauchy-Schwarz primero. ¿Son polinomiales? — SOS/Schur/Muirhead.

4. ¿Aparece $abc$ con una cota? — Schur en forma $9r\geq 4pq-p^3$.

5. ¿La desigualdad es completamente simétrica y de grado $\leq 6$? — Muirhead como diagnóstico, luego AM-GM ponderada o SOS para la demostración.

6. ¿Ninguna de las anteriores parece funcionar? — Jensen/convexidad, tangent line trick, o inducción/casos extremos.

El tiempo dedicado a este diagnóstico no se desperdicia: evita horas de cálculos en el camino equivocado. En el IMO, donde el jurado revisa si el argumento es correcto y completo, una solución concisa por el método correcto vale más que seis páginas de cálculos en el camino equivocado.