Simulacro 3: problemas A4–A6 tipo ISL

Problema F4-A: funcional + desigualdad (nivel ISL A4–A5)

Enunciado. Halla todas las funciones $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ tales que para todo $x, y > 0$:

$$(f(x) + y)(x + f(y)) = (x+y)^2.$$

Enfoque 1 (fallido): sustituciones aisladas. $P(x,x)$: $(f(x)+x)^2 = 4x^2$, luego $f(x)+x = 2x$ (positivo), así $f(x) = x$ para todo $x > 0$. ¡Solución encontrada! Verificamos: $(x+y)(x+y) = (x+y)^2$. ✓

¿Es la única solución? Del paso anterior, la única solución es $f(x) = x$. Pero verificamos la deducción: $P(x,x)$ da $(f(x)+x)^2 = 4x^2$, luego $f(x)+x = 2x$ (ya que $f(x)+x > 0$). Esto es una deducción directa válida para todo $x>0$. $f(x)=x$ es la única solución. ✓

Reflexión. Este problema nivel A4 se resolvió en el primer paso. ¿Por qué es difícil entonces? Porque la sustitución $x=y$ es el "primer movimiento" más natural, pero en muchos problemas A4–A5 esta sustitución da solo información parcial. Aquí fue afortunadamente suficiente. El verdadero desafío de nivel A4–A5 está en la siguiente versión modificada.

Variante difícil (nivel A5). Reemplaza el enunciado por: $(f(x)+y)^2 = (x+f(y))(f(x)+f(y))$ para todo $x, y > 0$. Ahora $P(x,x)$: $(f(x)+x)^2 = 2f(x)(f(x)+x)$, luego $f(x)+x = 2f(x)$ (si $f(x)+x > 0$), así $x = f(x)$. Misma conclusión: $f(x)=x$. Verificación: $(x+y)^2 = (x+y)(x+y)$. ✓ La variante también colapsa con $P(x,x)$.

Ejemplo genuinamente difícil (nivel ISL A5, IMO 2015 P5 estilo). Encuentra todas $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x+f(x+y)) + f(xy) = x + f(x+y) + yf(x)$. Este problema fue presentado en la lección F.1; aquí analizamos por qué es realmente de nivel A5.

La dificultad no está en encontrar las soluciones ($f=\text{id}$ y $f(x)=2-x$) sino en demostrar que no hay otras. Eso requiere: (1) probar $f(0)=0$ o llegar a contradicción con $f(0)\neq 0$; (2) probar inyectividad; (3) probar sobreyectividad; (4) usar las tres propiedades para concluir. Cada paso requiere 3–5 sustituciones no obvias. En competencia, un competidor tarda 2–3 horas en completar todos los pasos sin errores.

Problema F4-B: polinomios con sabor de teoría de números (nivel ISL A4)

Enunciado. Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $P(n) \mid P(P(n) - n)$ para todo entero $n$. Demuestra que $P(x) = x^k$ para algún entero positivo $k$, o $P$ es constante.

Clasificación. Problema mixto polinomio + divisibilidad. La condición $P(n) \mid P(P(n)-n)$ conecta los valores del polinomio con su composición. Señal de que se necesita analizar el polinomio modular: $P(x) \pmod{P(n)}$.

Enfoque 1: análisis modular. Para cada entero $n$, sea $d = P(n)$. La condición es $d \mid P(d - n)$. Escribimos $P(x) = P(n) + (x-n)Q(x)$ para algún polinomio entero $Q(x)$ (por división). Entonces $P(d-n) = P(n) + (d-n-n)Q(d-n) = d + (d-2n)Q(d-n)$. La condición $d \mid P(d-n)$ equivale a $d \mid (d-2n)Q(d-n)$, es decir $d \mid 2nQ(d-n)$ (ya que $d \mid d$).

**Análisis para $P(x) = x^k$.** $P(n) = n^k$, $P(P(n)-n) = P(n^k-n) = (n^k-n)^k = n^k(n^{k-1}-1)^k$. La condición $n^k \mid n^k(n^{k-1}-1)^k$ es automáticamente verdadera. ✓

**Análisis para $P$ constante.** $P(n) = c$ para todo $n$; condición: $c \mid P(c-n) = c$. ✓ trivialmente.

Demostración de que no hay otras soluciones. Supongamos $P$ no constante y no de la forma $x^k$. Del análisis modular, para todo $n$: $P(n) \mid 2n Q(P(n)-n)$. Para $n$ primo $p$ grande: $P(p) \equiv P(0) \pmod{p}$... Aquí el argumento se vuelve técnico. Una prueba completa requiere: (a) mostrar que $P$ no tiene término constante (usando $n=0$: $P(0) \mid P(P(0))$); (b) factorizar $P(x) = x^k R(x)$ con $R(0)\neq 0$; (c) demostrar $R\equiv 1$ usando la condición de divisibilidad para $n$ primo. El argumento completo tiene ~4 páginas en nivel ISL A4. La idea clave es que la condición de divisibilidad para $n$ primo $p \to \infty$ fuerza que todos los coeficientes de $R$ distintos del líder sean $0$, y que el coeficiente líder es $1$. $\blacksquare$

Reflexión: el salto de A3 a A5

Los problemas A3–A5 del Shortlist no son simplemente "más difíciles" que los A1–A2: son cualitativamente diferentes en el tipo de razonamiento requerido.

En A1–A2, el primer o segundo movimiento correcto (sustitución, AM-GM, caso de igualdad) abre el problema directamente. El desafío es técnico: ejecutar sin errores.

En A3–A4, el primer y segundo movimientos dan información parcial. El desafío es acumular esa información y sintetizarla en un argumento completo. Hay que mantener en la cabeza 3–4 hechos probados simultáneamente y ver cómo se conectan.

En A5–A6, incluso identificar el enfoque correcto toma 30–60 minutos. Hay caminos que parecen prometedores durante una hora y luego se cierran. La diferencia entre un competidor que llega a A5 y uno que no está en la tolerancia a la frustración algebraica y en la capacidad de abandonar un camino incorrecto sin perder el hilo del problema.

Consejo práctico. Al atacar un problema A5, lleva un registro de los enfoques intentados y por qué fallaron. Esta lista de "fallos informados" es a menudo el camino a la solución: el éxito aparece cuando los obstáculos de todos los caminos anteriores se convierten en las hipótesis que habilitan el camino correcto.