Binomio de Newton

La pregunta que nadie quiere calcular a mano

Expande $(a + b)^5$. Si intentas hacerlo multiplicando factor por factor, terminas con una fila de términos mezclados que requiere concentración y tiempo. Ahora imagina que el exponente es 20. O 100. La multiplicación directa se vuelve imposible en competencia.

El teorema del binomio de Newton da la respuesta sin ninguna multiplicación: solo sumas y coeficientes binomiales. Es una de las herramientas más eficientes del álgebra combinatoria y aparece en la ONEM con una frecuencia sorprendente.

El enunciado del teorema

Para cualquier par de números $a$, $b$ y cualquier entero $n \ge 0$:

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Desarrollando: $(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{n}b^n$.

Cada término tiene la forma $\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ para $k = 0, 1, \ldots, n$. Hay $n+1$ términos en total. Los coeficientes $\binom{n}{k}$ son exactamente los de la fila $n$ del triángulo de Pascal.

Demostración combinatoria

Al multiplicar $(a+b)^n = (a+b)(a+b)\cdots(a+b)$ ($n$ factores), cada término del producto se obtiene eligiendo $a$ o $b$ de cada factor. Un término $a^{n-k}b^k$ se produce cuando elegimos $b$ en exactamente $k$ de los $n$ factores (y $a$ en los otros $n-k$).

El número de maneras de elegir en qué $k$ factores tomamos $b$ es $\binom{n}{k}$. Por lo tanto el coeficiente de $a^{n-k}b^k$ en el producto es exactamente $\binom{n}{k}$. Esta es la prueba combinatoria del teorema: no necesita inducción, solo el principio multiplicativo.

El mismo argumento muestra por qué los coeficientes binomiales son enteros: representan conteos de selecciones reales, no resultados de una división que podría ser fraccionaria.

El término general y casos especiales

El **término de índice $k$** (contando desde $k=0$) en la expansión de $(a+b)^n$ es:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Para encontrar el coeficiente de $a^p b^q$ en $(a+b)^n$ (con $p+q=n$), simplemente lee $\binom{n}{q}$.

Caso especial útil: **$(1+x)^n$** tiene la expansión $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$. Esta versión simplificada (con $a=1$, $b=x$) es la que aparece con más frecuencia en problemas. Memorízala.

Otro caso: **$(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k x^k$**. Los signos alternan: los términos con $k$ par son positivos y los de $k$ impar son negativos.

Aplicación: encontrar un coeficiente específico

Problema: En la expansión de $\left(2x + \dfrac{1}{x}\right)^8$, ¿cuál es el coeficiente de $x^2$?

Usamos la fórmula del término general con $a = 2x$, $b = 1/x$, $n = 8$:

$$T_{k+1} = \binom{8}{k}(2x)^{8-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k = \binom{8}{k}\cdot 2^{8-k} \cdot x^{8-k-k} = \binom{8}{k}\cdot 2^{8-k}\cdot x^{8-2k}$$

Para que el término sea en $x^2$: $8 - 2k = 2 \Rightarrow k = 3$. El coeficiente es $\binom{8}{3}\cdot 2^5 = 56 \times 32 = 1792$.

Estrategia general: iguala el exponente de $x$ al valor deseado, despeja $k$ (que debe ser entero con $0 \le k \le n$), y evalúa el término.