Potencia de un punto: la herramienta que unifica las circunferencias

El problema que motiva todo

Este problema apareció en la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas. Dado un triángulo $ABC$ con circuncircunferencia $\omega$, la altura desde $A$ intersecta a $\omega$ en el punto $D$. La ceviana $AD$ intersecta al lado $BC$ en el pie de la altura $H$. Muestra que $H$ es el punto medio del segmento $AD$ si y solo si el triángulo es isósceles con $AB = AC$.

Si intentas resolver esto solo con persecución de ángulos, la demostración se vuelve larga y poco elegante. Pero hay algo más profundo: la igualdad $BH \cdot HC = AH \cdot HD$ siempre se cumple, y esa igualdad es justamente la potencia del punto $H$ respecto de $\omega$.

La potencia de un punto no es solo una fórmula. Es una cantidad que mide, de forma precisa e invariante, la relación entre un punto y una circunferencia. Una vez que la ves, la encuentras en todas partes.

Definición y significado geométrico

Sea $\omega$ una circunferencia con centro $O$ y radio $r$, y sea $P$ un punto del plano. La **potencia de $P$ respecto de $\omega$** se define como:

Esta cantidad tiene un signo que revela la posición de $P$: si $P$ está fuera de $\omega$, entonces $|PO| > r$ y la potencia es positiva. Si $P$ está sobre $\omega$, la potencia es cero. Si $P$ está dentro de $\omega$, la potencia es negativa (pues $|PO| < r$).

Nota que la potencia no depende de ninguna cuerda ni secante: es una propiedad intrínseca del par $(P, \omega)$. Esto la convierte en un invariante extraordinariamente útil.

La belleza del concepto está en que este mismo número $|PO|^2 - r^2$ aparece cada vez que una recta que pasa por $P$ corta a $\omega$. Lo vemos a continuación.

Las cuatro configuraciones y sus fórmulas

Configuración 1 — Punto exterior, dos secantes. Sea $P$ exterior a $\omega$. Una recta por $P$ corta a $\omega$ en $A$ y $B$ (con $A$ entre $P$ y $B$); otra recta por $P$ corta a $\omega$ en $C$ y $D$. Entonces $PA \cdot PB = PC \cdot PD$. Demostración: los triángulos $PAC$ y $PDC$ son semejantes (ángulos inscritos sobre el mismo arco), luego $PA/PC = PD/PB$, es decir $PA \cdot PB = PC \cdot PD$. Este producto común es precisamente $|PO|^2 - r^2 = \operatorname{pow}(P)$.

Configuración 2 — Punto exterior, secante y tangente. Sea $P$ exterior y $T$ el punto de tangencia de una tangente desde $P$. Si una secante desde $P$ corta a $\omega$ en $A$ y $B$, entonces $PT^2 = PA \cdot PB$. La tangente es el caso límite en que los dos puntos de intersección coinciden. Esto también implica $PT^2 = \operatorname{pow}(P)$, por lo que la longitud de la tangente desde $P$ es $PT = \sqrt{\operatorname{pow}(P)}$.

Configuración 3 — Punto interior, dos cuerdas. Sea $P$ interior a $\omega$ y sean $AB$, $CD$ dos cuerdas que se cruzan en $P$. Entonces $PA \cdot PB = PC \cdot PD$. La demostración es análoga: los triángulos $APC$ y $DPB$ son semejantes por ángulos inscritos. Aquí el producto es $r^2 - |PO|^2 = |\operatorname{pow}(P)|$, que es positivo.

Configuración 4 — Tangente-tangente. Si $P$ es exterior y $PT_1$, $PT_2$ son las dos tangentes desde $P$ a $\omega$, entonces $PT_1 = PT_2$. Esto es un corolario de la configuración 2: ambas longitudes son $\sqrt{\operatorname{pow}(P)}$.

El eje radical: locus de potencias iguales

Considera ahora dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ con centros $O_1$, $O_2$ y radios $r_1$, $r_2$. ¿Existe algún punto $P$ para el que $\operatorname{pow}_{\omega_1}(P) = \operatorname{pow}_{\omega_2}(P)$?

Sí, y de hecho hay infinitos. El conjunto de todos esos puntos se llama eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$. Para demostrarlo tomamos coordenadas: pongamos $O_1 = (0,0)$ y $O_2 = (d, 0)$. La condición $\operatorname{pow}_{\omega_1}(P) = \operatorname{pow}_{\omega_2}(P)$ se escribe $x^2 + y^2 - r_1^2 = (x-d)^2 + y^2 - r_2^2$. Expandiendo: $x^2 - r_1^2 = x^2 - 2dx + d^2 - r_2^2$, lo que simplifica a $2dx = d^2 + r_1^2 - r_2^2$, es decir $x = \frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2d}$. Esta es la ecuación de una recta vertical, perpendicular al eje $O_1O_2$.

El eje radical es siempre una recta perpendicular a la línea de centros. Si las circunferencias se intersectan en dos puntos, el eje radical pasa exactamente por esos puntos de intersección (ambos tienen potencia cero respecto de ambas circunferencias).

Centro radical. Si tenemos tres circunferencias $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, sus tres ejes radicales —el de $\omega_1$ y $\omega_2$, el de $\omega_2$ y $\omega_3$, el de $\omega_3$ y $\omega_1$— concurren en un único punto llamado centro radical. La demostración es inmediata: si $P$ está en el eje radical de $\omega_1, \omega_2$ y también en el de $\omega_2, \omega_3$, entonces $\operatorname{pow}_1(P) = \operatorname{pow}_2(P)$ y $\operatorname{pow}_2(P) = \operatorname{pow}_3(P)$, luego $\operatorname{pow}_1(P) = \operatorname{pow}_3(P)$, así $P$ también está en el tercer eje radical.

Aplicaciones olímpicas: cuándo y cómo usar la potencia

Cómo reconocer la herramienta. La potencia de un punto es útil cuando el problema involucra dos cuerdas o secantes que pasan por un mismo punto, cuando hay tangentes a circunferencias, o cuando se pide probar que cuatro puntos son concíclicos (para esto, basta mostrar que la potencia de un candidato a punto de intersección es la misma respecto de dos circunferencias que se cruzan en ese punto).

Conexión con persecución de ángulos. Muchas veces, demostrar que $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ es equivalente a demostrar que los cuatro puntos $A$, $B$, $C$, $D$ son concíclicos (circularidad: $ABDC$ inscrito en una circunferencia). Así la potencia conecta el álgebra de productos con la geometría de ángulos inscritos.

Ejemplo completamente resuelto. En el triángulo $ABC$, las alturas $AD$ y $BE$ se cortan en el ortocentro $H$. Demuestra que $HA \cdot HD = HB \cdot HE$.

Solución: En el cuadrilátero $ADBE$, los ángulos $\angle AEB = \angle ADB = 90°$ (ya que $BE$ y $AD$ son alturas), así $A$, $B$, $D$, $E$ son concíclicos (cuatro puntos con ángulos de $90°$ sobre el segmento $AB$). El punto $H$ está en la intersección de las cuerdas $AD$ y $BE$ de esta nueva circunferencia. Por la configuración del punto interior, $HA \cdot HD = HB \cdot HE$. En otras palabras, ambos productos son la potencia de $H$ respecto de la circunferencia $ABDE$.

Este ejemplo ilustra el patrón general: encontrar la circunferencia adecuada, identificar al punto y las cuerdas, y aplicar la fórmula de potencia.

Cadenas de potencia: conectando varias circunferencias

En problemas con múltiples circunferencias, una técnica poderosa es construir una cadena de potencias: si $P$ es el centro radical de $\omega_1$ y $\omega_2$, y $Q$ es el centro radical de $\omega_2$ y $\omega_3$, podemos usar transitividad para inferir relaciones sobre $\omega_1$ y $\omega_3$.

La técnica se vuelve especialmente útil cuando hay una secante común que pasa por un punto de intersección de dos de las circunferencias. Si la recta $\ell$ corta a $\omega_1$ en $A, B$ y a $\omega_2$ en $C, D$, y las dos circunferencias se intersectan en $X, Y$, entonces la recta $XY$ (el eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$) corta a $\ell$ en un punto $P$ que satisface $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

Otra cadena clásica: si $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ son las circunferencias exinscritas de un triángulo y $\omega$ es la circuncircunferencia, el centro radical de cualquier par de circunferencias exinscritas es uno de los vértices del triángulo. Esta observación, combinada con la potencia de un punto, produce demostraciones elegantes de propiedades del incentro y las exinscriptas.

En la siguiente lección profundizaremos en la aplicación del eje radical para resolver problemas de concurrencia de rectas en el contexto del Cono Sur y la Iberoamericana.