Configuraciones con puntos de tangencia y circunferencias inscritas

Los puntos de tangencia de la incircunferencia: coordenadas y propiedades

Sea $\triangle ABC$ con semiperímetro $s = (a+b+c)/2$. La incircunferencia $\omega$ (centro $I$, radio $r$) toca el lado $BC$ en $D$, el lado $CA$ en $E$, y el lado $AB$ en $F$. Las longitudes de tangencia son:

$AF = AE = s - a$, $\quad BF = BD = s - b$, $\quad CD = CE = s - c$.

Estas longitudes de tangencia son fundamentales. Memorizar: el punto de tangencia en el lado opuesto al vértice $A$ está a distancia $s - a$ de los otros dos vértices, y a distancia $s - b$ y $s - c$ de los extremos del lado. En coordenadas baricéntricas, $D = (0 : s-c : s-b)$.

La recta $AD$ (que une el vértice $A$ con el punto de tangencia $D$ en el lado opuesto $BC$) es una ceviana notable: pasa por el punto de Gergonne $Ge$ del triángulo. El punto de Gergonne es el punto de concurrencia de las tres cevianas $AD$, $BE$, $CF$ (donde $D$, $E$, $F$ son los puntos de tangencia), cuya existencia se demuestra con el teorema de Ceva: $(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB) = \frac{s-b}{s-c} \cdot \frac{s-c}{s-a} \cdot \frac{s-a}{s-b} = 1$.

El lema del punto de tangencia y la inversión

Una de las técnicas más poderosas en problemas de tangencias es invertir en el punto de tangencia. Si $\omega$ es tangente a una circunferencia $\Gamma$ en el punto $T$, la inversión de centro $T$ convierte $\omega$ en una recta $\ell$ y convierte $\Gamma$ en otra recta $\ell'$ paralela a $\ell$ (si la tangencia es interna) o en $\ell'$ que no es paralela a $\ell$ (si es externa, en cuyo caso las imágenes son dos rectas que se cortan en la imagen del otro punto de intersección de los círculos).

Caso crucial: la inversión de centro $T$ (donde $\omega$ y $\Gamma$ son tangentes) y radio apropiado convierte la tangencia en paralelismo. Si había una tercera circunferencia $\Omega$ tangente a $\omega$ y a $\Gamma$, su imagen bajo la inversión es una circunferencia tangente a dos rectas paralelas, es decir, una circunferencia inscrita en una franja. Esto simplifica enormemente la configuración.

Lema del punto de tangencia (versión olímpica). Sea $\omega$ inscrita en $\triangle ABC$ tangente a $BC$ en $D$. Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ de la circuncircunferencia $\Omega$ que no contiene a $A$. Entonces $M$, $D$, $I$ son colineales (donde $I$ es el incentro), y $MD = MB = MC$ (es decir, $M$ es equidistante de $B$, $C$ y $D$).

Este lema se usa constantemente: si aparece el punto medio de un arco y el punto de tangencia de la incircunferencia con la cuerda correspondiente, inmediatamente son colineales con el incentro.

La circunferencia de nueve puntos y sus tangencias

La circunferencia de nueve puntos $\mathcal{N}$ (centro $N_9$, radio $R/2$) toca a la incircunferencia $\omega$ en el punto de Feuerbach $Fe$ (teorema de Feuerbach, visto en Capítulo 3). Esta tangencia interna genera una familia de configuraciones olímpicas.

Propiedad del punto de Feuerbach. El punto $Fe$ tiene la propiedad de que la inversión de centro $Fe$ y potencia adecuada intercambia $\omega$ y $\mathcal{N}$. Más concretamente, si $T_A$, $T_B$, $T_C$ son los pies de las alturas (que están en $\mathcal{N}$), la inversión en $Fe$ que lleva $\omega$ a $\mathcal{N}$ lleva los puntos de tangencia $D$, $E$, $F$ (de $\omega$ con los lados) a los pies de las alturas $T_A$, $T_B$, $T_C$... Este resultado exacto requiere una inversión más cuidadosa que involucra la homotecia del Capítulo 4.

La propiedad más directamente útil en olimpiadas: **si $P$ es el punto de tangencia de $\omega$ y $\mathcal{N}$ (el punto de Feuerbach $Fe$), entonces $P$ pertenece al lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes externamente a $\omega$ e internamente a $\mathcal{N}$**, lo que es exactamente la condición que define $\mathcal{N}$ en relación con $\omega$. Esta descripción del punto de Feuerbach como un lugar geométrico es la que aparece en los enunciados más difíciles.

Aplicación directa en problemas: si el problema menciona la circunferencia de nueve puntos y la incircunferencia, siempre considerar el punto de Feuerbach y su papel como punto de tangencia. La técnica de invertir en $Fe$ suele simplificar la configuración.

Configuración de Sawayama-Thébault

La configuración de Sawayama-Thébault es uno de los resultados más bellos de la geometría olímpica clásica y aparece directamente en varios problemas de la Iberoamericana.

Teorema de Thébault (1938). Sea $\triangle ABC$ con incircunferencia $\omega$. Sea $D$ el punto de tangencia de $\omega$ con $BC$. Sea $\ell$ la ceviana $AD$. La circunferencia inscrita en el ángulo $\angle BAD$ y tangente al segmento $BC$ tiene su centro $O_1$ en la recta $OI$ (donde $O$ es el circuncentro e $I$ es el incentro). Lo mismo para la circunferencia inscrita en $\angle CAD$ y tangente a $BC$.

Dicho de otro modo: las dos circunferencias inscritas en los triángulos $ABD$ y $ACD$ tienen sus centros en la recta $OI$ (recta de Euler modificada). Este resultado, conjeturado por Thébault en 1938 y demostrado por Sawayama en 1905 (anterioridad histórica confusa), es difícil de demostrar con métodos elementales pero elegante con inversión.

La demostración moderna usa la inversión en $D$ (punto de tangencia de $\omega$ con $BC$): esta inversión transforma $\omega$ en una recta paralela a $BC$, y las dos circunferencias de Thébault se transforman en circunferencias tangentes a dos rectas paralelas, lo que las ubica en posiciones simétricas. La colinealidad de sus centros con $O$ e $I$ se puede ver en el cuadro transformado.

En problemas olímpicos: si aparecen dos circunferencias inscritas en ángulos determinados por una ceviana y la colinealidad de sus centros con puntos notables del triángulo, el patrón de Thébault es el candidato.

El lema del inscrito mixtilineal

Un círculo mixtilineal (o "mixtilineal incircle") de $\triangle ABC$ en el ángulo $A$ es la circunferencia $\omega_A$ que es tangente internamente a la circuncircunferencia $\Omega$ y tangente a los dos lados $AB$ y $AC$ del ángulo $A$ (tangencias externas a $\omega_A$). Hay tres círculos mixtilineales, uno por cada ángulo.

Teorema del mixtilineal (Sawayama, Sharygin). Sea $\omega_A$ el círculo mixtilineal en el ángulo $A$, tangente a $AB$ en $B'$, a $AC$ en $C'$, y a $\Omega$ internamente en $T_A$. Entonces: (a) $T_A$, $B'$, $C'$ son colineales con el punto de tangencia $D$ de la incircunferencia $\omega$ con $BC$... (b) La recta $T_A I$ (donde $I$ es el incentro) pasa por el punto medio del arco $BC$ de $\Omega$ que no contiene a $A$.

La propiedad (b) es la más usada en olimpiadas: el punto de tangencia del círculo mixtilineal con la circuncircunferencia, el incentro, y el punto medio del arco opuesto son colineales. Este es el "lema del mixtilineal" que aparece frecuentemente en problemas de la Iberoamericana y el Cono Sur de los últimos diez años.

Demostración del lema: sea $M$ el punto medio del arco $BC$ sin $A$. Queremos demostrar que $T_A$, $I$, $M$ son colineales. La técnica: invertir en $T_A$ (con potencia igual al cuadrado de la tangente desde $T_A$ a $\Omega$). Bajo esta inversión, $\Omega$ se convierte en una recta $\ell$, y $\omega_A$ se convierte en una recta paralela a $\ell$. Los lados $AB$ y $AC$ se convierten en círculos tangentes a las dos rectas paralelas. La incircunferencia $\omega$ se convierte en un círculo tangente a los otros tres objetos... El argumento completo es largo pero cada paso es elemental. El resultado final es que $T_A$, $I$, $M$ son colineales.

Uso en competencia: el lema del mixtilineal permite convertir la tangencia de una circunferencia con la circuncircunferencia en una relación angular, que luego se combina con la persecución de ángulos estándar.

Síntesis del Capítulo 5: el mapa de configuraciones

Las configuraciones de este capítulo forman un ecosistema interconectado:

Arco capaz + persecución de ángulos: herramienta básica para concíclicidad. Se usa en todos los demás resultados como sub-lema.

Círculo de Apolonio: aparece cuando hay razones de distancias o condiciones armónicas. Se conecta con la inversión (Capítulo 2) y la homotecia (Capítulo 4).

Punto de Miquel: unifica arco capaz y espiral de semejanza. Clave para problemas con cuatro o más círculos que se pide demostrar que concurren.

**Puntos de tangencia de $\omega$**: las longitudes $s-a$, $s-b$, $s-c$ y el punto de Gergonne. Base de los problemas de tangencias con el triángulo.

Punto de Feuerbach: tangencia entre $\omega$ y $\mathcal{N}$. Aparece en problemas que conectan los dos círculos más importantes del triángulo.

Lema del mixtilineal: $T_A$, $I$, $M_{BC}$ colineales. Uno de los lemas más usados en los problemas difíciles de IbAm/Cono Sur de los últimos años.

La destreza que se adquiere con este capítulo es la identificación rápida: dado un problema, en menos de dos minutos reconocer cuál configuración está en juego y trazar el camino de la solución. Los 8 problemas resueltos ejercitan esta identificación en situaciones variadas.