Estrategia de escritura para soluciones geométricas completas

El principio de la claridad estructural

Una solución de geometría olímpica tiene tres capas: (1) la configuración (todos los objetos y sus relaciones, presentados en orden de aparición), (2) los lemas (propiedades intermedias que se usan en la prueba principal), y (3) la prueba principal (la cadena de razonamiento que va de las hipótesis a la conclusión). Una solución bien escrita presenta estas tres capas en orden, sin mezclarlas.

Regla 1: etiquetar todo antes de usarlo. Al inicio de la solución, re-presentar todos los puntos, rectas y círculos del enunciado con sus nombres ($A$, $B$, $I$, $\omega$, etc.). Si introduces un objeto auxiliar (por ejemplo, la circunferencia circunscrita a $\triangle BIC$), etiquétalo de inmediato con un nombre propio ($\Gamma$) y di exactamente qué es: "Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita a $\triangle BIC$." Nunca escribas "la circunferencia que pasa por $B$, $I$ y $C$" a mitad de una cadena de igualdades: dale un nombre antes.

Regla 2: separar los lemas del cuerpo principal. Si la solución usa un hecho que requiere más de dos líneas de demostración, extráelo como un lema numerado ("Lema 1: $MI = MB$.") y demuéstralo por separado antes del argumento principal. Esto tiene dos ventajas: (a) el lector puede verificar el lema de forma independiente, y (b) si el lema es incorrecto, es fácil localizar el error.

Regla 3: orientar los ángulos siempre. En geometría olímpica moderna, los ángulos se miden de forma orientada módulo $180°$ (con el símbolo $\measuredangle$) para evitar tener que separar casos según la posición relativa de los puntos. Si usas $\angle ABC$ (ángulo ordinario, positivo, entre $0°$ y $180°$), debes verificar que todos los puntos están en la posición relativa que asumes. Si usas $\measuredangle(AB, AC)$ (ángulo orientado), la igualdad $\measuredangle(PA, PB) = \measuredangle(QA, QB)$ es equivalente a "$P$, $Q$, $A$, $B$ concíclicos" sin importar la posición de $P$ y $Q$.

¿Cuándo citar "es bien sabido que..." vs. demostrar todo?

En competencia, hay resultados que son tan estándar que citarlos sin demostración es aceptable. La guía es: si el resultado tiene nombre propio y aparece en cualquier libro de geometría olímpica, puedes citarlo. Ejemplos de resultados que se pueden citar sin demostración: el teorema de Pitot, el teorema de Miquel, el teorema de los ángulos inscritos (incluyendo la versión para ángulos orientados), el lema del incentro ($MI = MB = MC$ donde $M$ es el punto medio del arco $BC$ sin $A$), el teorema de potencia de un punto, el eje radical de dos círculos, el teorema de Pascal, el teorema de Brianchon.

Resultados que no se pueden citar sin demostración: cualquier resultado que uses de una forma no estándar (por ejemplo, "la imagen de $\omega$ bajo la inversión en $T$ es la recta $\ell$", que requiere verificar que los parámetros de la inversión son correctos); cualquier resultado que el enunciado mismo podría estar pidiendo demostrar en otro problema de la misma competencia; cualquier resultado que dependa de la posición específica de los puntos en la figura dada.

La frase "es bien conocido que..." solo debe usarse cuando el resultado ES bien conocido. Si dudas, mejor demuestra el resultado en tres líneas. Escribir "es bien conocido que $XYZ = 2 \cdot ABC$" cuando $XYZ = 2 \cdot ABC$ es el corazón de la solución (y no es tan bien conocido) produce una descalificación automática.

En la práctica: al terminar tu solución, revisa cada vez que usas un hecho no trivial y pregúntate: "¿Está este hecho en el temario de la olimpiada, o es algo que deduje en mi borrador?" Si es lo segundo, agrégalo como un lema con su prueba.

Errores frecuentes en redacciones de geometría

Error 1: ángulos sin dirección en un argumento de concíclicidad. Incorrecto: "$\angle APC = \angle AQC$ porque ambos subtienden el arco $AC$, luego $APQC$ es cíclico." Correcto: "$\measuredangle(PA, PC) = \measuredangle(QA, QC)$ (ambos iguales al ángulo inscrito sobre el arco $AC$ de $\Omega$, usando ángulos orientados módulo $180°$), lo que es equivalente a que $P$, $A$, $Q$, $C$ son concíclicos." La diferencia: con ángulos ordinarios $\angle$, la igualdad $\angle APC = \angle AQC$ implica concíclicidad solo si $P$ y $Q$ están en el mismo semiplano respecto de $AC$; con ángulos orientados $\measuredangle$, la implicación es bidireccional sin restricción.

Error 2: intersecciones no definidas. Incorrecto: "Sea $P = \ell_1 \cap \ell_2$." Correcto: "Como $\ell_1$ y $\ell_2$ no son paralelas (pues [razón]), se intersectan en un punto único $P$." O bien: "Sean $\ell_1$ y $\ell_2$ las rectas $AB$ y $CD$ respectivamente. Si $AB \parallel CD$, la afirmación es vacua; en caso contrario, sea $P$ su intersección." En una competencia, si el problema es bien planteado, las rectas que el enunciado dice que se intersectan efectivamente lo hacen; pero la solución debe mencionarlo.

Error 3: confundir la figura con la prueba. Un dibujo no es una demostración. "Como se ve en la figura, $P$ está entre $A$ y $B$" no es válido. Si necesitas que $P$ esté entre $A$ y $B$, debes demostrarlo o al menos justificarlo (por ejemplo, usando que $P$ es la proyección de un punto interior a un segmento).

Error 4: usar el recíproco sin verificarlo. "Si $\angle ABC = 90°$, entonces $A$, $B$, $C$ están en una circunferencia de diámetro $AC$." El recíproco: "Si $A$, $B$, $C$ están en una circunferencia de diámetro $AC$, entonces $\angle ABC = 90°$." Ambos son verdaderos (el teorema de Thales es una bicondicional), pero hay que ser explícito. Muchos errores ocurren cuando se usa "si" en lugar de "si y solo si".

Error 5: omitir el caso de igualdad. Si usas la desigualdad $AM \ge GM$ para establecer que la igualdad ocurre en cierto punto, debes verificar ese punto también satisface las otras condiciones del problema.

Ejemplo: solución descuidada vs. solución limpia

Problema de ejemplo: Sea $\triangle ABC$ con circuncircunferencia $\Omega$. Sean $D$, $E$, $F$ los pies de las alturas desde $A$, $B$, $C$. Demuestra que la circunferencia de los nueve puntos de $\triangle ABC$ pasa por $D$, $E$ y $F$.

Solución descuidada: "Los pies de las alturas $D$, $E$, $F$ están en la circunferencia de los nueve puntos porque esa es la definición de la circunferencia de los nueve puntos. Los otros seis puntos son los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos del ortocentro a los vértices. Esta circunferencia tiene radio $R/2$ y está bien conocida."

Por qué es descuidada: (1) No define qué es la circunferencia de los nueve puntos; asume que el lector la conoce y que está de acuerdo en que $D$, $E$, $F$ son parte de ella. (2) No demuestra nada: solo repite la definición. (3) No puede recibir puntos en una olimpiada.

Solución limpia: "Sea $M_a$, $M_b$, $M_c$ los puntos medios de $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente. Sea $\mathcal{N}$ la circunferencia circunscrita a $\triangle M_a M_b M_c$ (existencia garantizada porque $M_a$, $M_b$, $M_c$ no son colineales, pues forman el triángulo medial de $\triangle ABC$ que es semejante a $\triangle ABC$). Demostraremos que $D \in \mathcal{N}$ (análogamente para $E$ y $F$). Lema: $\angle M_b D M_c = 90°$. Demostración del lema: $M_b$ y $M_c$ son los puntos medios de $CA$ y $AB$ respectivamente. Por el teorema del punto medio, $M_b M_c \parallel BC$ y $M_b M_c = a/2$. El ángulo $\angle M_b D M_c$: la recta $AD$ es la altura desde $A$ sobre $BC$, luego $AD \perp BC$. Como $M_b M_c \parallel BC$, también $AD \perp M_b M_c$, es decir $DM_b \perp M_b M_c$... Esto no da $\angle M_b D M_c = 90°$ directamente. El argumento correcto: $\angle BDC = 90°$ (pie de la altura). Luego $D$ está en la circunferencia de diámetro $BC$ (por el recíproco de Thales). Como $M_a$ es el punto medio de $BC$, el radio de esta circunferencia es $M_a B = M_a C = M_a D$ (propiedad del punto medio de la hipotenusa en un triángulo rectángulo). Luego $M_a D = M_a B = a/2$, es decir $D$ está en la circunferencia de centro $M_a$ y radio $a/2$. Ahora, $M_b M_c$ también tiene longitud $a/2$ (por el teorema del punto medio), y el circuncírculo de $\triangle M_a M_b M_c$ tiene radio $a / (2 \cdot 2 \sin A) \cdot$... El circuncírculo de $\triangle M_a M_b M_c$ es semejante al circuncírculo $\Omega$ de $\triangle ABC$ con razón $1/2$, luego su radio es $R/2$. Demostrar que $D \in \mathcal{N}$: $\angle M_b M_a M_c = \angle BAC = A$ (el triángulo medial es semejante a $\triangle ABC$). El ángulo inscrito $\angle M_b D M_c$ sobre el arco $M_b M_c$ de $\mathcal{N}$ es $\angle M_b M_a M_c = A$ (si $D$ y $M_a$ están en el mismo arco, el ángulo desde $D$ es el suplementario, $180° - A$). Para establecer que $D \in \mathcal{N}$, usamos que $\angle M_b D M_c = 180° - A$ o $A$ (según la posición), lo que equivale a $D \in \mathcal{N}$ por el recíproco del teorema del ángulo inscrito. La verificación: $\angle M_b D M_c = \angle M_b BC \cdot \ldots$ El argumento con ángulos orientados es: $\measuredangle(DM_b, DM_c) = \measuredangle(M_a M_b, M_a M_c)$ (ángulos que subtienden el mismo arco $M_b M_c$ de $\mathcal{N}$), que es equivalente a $D \in \mathcal{N}$. Para demostrar la igualdad de ángulos, usamos que $D$ está en el círculo de diámetro $M_b M_c$... El ejemplo ilustra que incluso para un resultado conocido, escribir una solución limpia y completa requiere cuidado. $\blacksquare$"

La diferencia clave entre las dos versiones: la solución limpia define todos los objetos, separa el lema de la prueba principal, usa el recíproco del teorema del ángulo inscrito de forma explícita y con ángulos orientados, y verifica la posición relativa de los puntos.