Suma de cifras y divisibilidad

¿Por qué importan las cifras?

En los capítulos anteriores estudiamos divisibilidad, primos y congruencias como herramientas teóricas. Ahora nos enfocamos en una pregunta muy concreta: ¿qué nos dicen las cifras decimales de un número sobre sus propiedades de divisibilidad?

Esta pregunta tiene respuestas precisas. La regla del 9 —que un número es divisible por 9 si y solo si la suma de sus cifras es divisible por 9— es uno de los resultados más elegantes de la aritmética elemental. Y su demostración es puramente congruencial.

Dominar estos criterios acelera considerablemente la resolución de problemas regionales, donde los cálculos con números de varias cifras son frecuentes.

Representación decimal y congruencias módulo 9

Todo número entero positivo $n$ con cifras $d_k d_{k-1} \cdots d_1 d_0$ (en decimal) se escribe:

$n = d_k \cdot 10^k + d_{k-1} \cdot 10^{k-1} + \cdots + d_1 \cdot 10 + d_0$.

La clave es que $10 \equiv 1 \pmod 9$. Por lo tanto $10^j \equiv 1^j = 1 \pmod 9$ para todo $j \ge 0$. Sustituyendo:

$n \equiv d_k \cdot 1 + d_{k-1} \cdot 1 + \cdots + d_1 \cdot 1 + d_0 = d_k + d_{k-1} + \cdots + d_0 \pmod 9$.

En otras palabras, $n$ y la suma de sus cifras son congruentes módulo 9. En particular, $9 \mid n$ si y solo si $9 \mid S(n)$, donde $S(n)$ denota la suma de cifras de $n$. El mismo argumento con $9$ reemplazado por $3$ da el criterio de divisibilidad por $3$ (pues $10 \equiv 1 \pmod 3$ también).

Criterio de divisibilidad por 11

Para el 11 el truco es ligeramente distinto. Observamos que $10 \equiv -1 \pmod{11}$, de modo que $10^j \equiv (-1)^j \pmod{11}$. Por lo tanto:

$n \equiv d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \cdots \pmod{11}$.

Es decir, $11 \mid n$ si y solo si la suma alternada de cifras (empezando desde la derecha con signo positivo) es divisible por 11. Por ejemplo, para $n = 8\,415$: suma alternada $= 5 - 1 + 4 - 8 = 0$. Como $11 \mid 0$, se tiene $11 \mid 8415$. Verificación: $8415 = 765 \cdot 11$.

Este criterio se usa directamente en problemas que preguntan por divisibilidad de números con cifras "en términos de parámetros", como $\overline{abcba}$ o similares.

La función suma de cifras $S(n)$: propiedades útiles

La función $S(n)$ (suma de cifras en base 10) satisface varias propiedades que aparecen recurrentemente en olimpiadas:

Propiedad 1: $S(n) \equiv n \pmod 9$. (Demostrada arriba.)

Propiedad 2: $S(n) = 9$ si y solo si $9 \mid n$ y $n$ no es múltiplo de $10$... no necesariamente. Hay que ser preciso: $S(n) \equiv 0 \pmod 9$ si y solo si $9 \mid n$.

Propiedad 3: Para $n \ge 1$, $S(n) \le 9 \lfloor \log_{10} n \rfloor + 9$. En particular, si $n$ tiene $k$ cifras, $S(n) \le 9k$.

Propiedad 4 (iteración): Aplicar $S$ repetidamente a $n$ hasta llegar a un solo dígito da la raíz digital de $n$, que es $1 + (n-1) \bmod 9$ para $n \ge 1$ (con la convención de que la raíz digital de los múltiplos de $9$ es $9$, no $0$).

En problemas de ONEM regional, la propiedad 1 es la más usada: permite trabajar módulo 9 con la suma de cifras en lugar de con el número entero.

Aplicación: problemas con suma de cifras en la ONEM

Problema típico: "El número de cinco cifras $\overline{a3b7c}$ es divisible por 9. Sabiendo que $a + c = 7$, halla $b$." Por el criterio: $a + 3 + b + 7 + c \equiv 0 \pmod 9$, es decir $(a + c) + b + 10 \equiv 0$, o sea $7 + b + 10 \equiv 0 \pmod 9$, lo que da $b + 17 \equiv 0$, y como $17 \equiv 8 \pmod 9$, se necesita $b \equiv 1 \pmod 9$. Como $b$ es una cifra decimal, $b = 1$.

Otro tipo frecuente: "Determina todos los enteros positivos de dos cifras cuya suma de cifras es igual a la mitad del número." Si el número es $\overline{ab} = 10a + b$, la condición es $a + b = \frac{10a+b}{2}$, es decir $2a + 2b = 10a + b$, lo que da $b = 8a$. Como $b \le 9$, la única solución con $a \ge 1$ es $a = 1$, $b = 8$, es decir el número $18$.

La estrategia general: traducir la condición sobre cifras a una ecuación algebraica con las cifras como variables enteras acotadas entre 0 y 9.