Combinaciones de cifras

El lenguaje de la notación de cifras

La notación $\overline{d_k d_{k-1} \cdots d_0}$ (con barra superior) representa un número cuyos dígitos son $d_k, d_{k-1}, \ldots, d_0$ en base 10. No es multiplicación: $\overline{ab}$ significa $10a + b$, no $a \cdot b$.

Esta notación permite formular condiciones de cifras como ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, si se pide que "el número formado por las dos últimas cifras de $n$ sea el doble del número formado por las dos primeras", y $n = \overline{abcd}$, la condición es $10c + d = 2(10a + b)$.

La dificultad típica es que las variables $a, b, c, d$ representan dígitos, por lo que están acotadas entre 0 y 9 (con $a \ge 1$ si $a$ es la cifra más significativa). Este sistema de ecuaciones en enteros acotados a menudo tiene pocas soluciones, que se encuentran por caso o por divisibilidad.

Números con cifras que satisfacen relaciones lineales

Muchos problemas de olimpiada imponen relaciones lineales entre las cifras. Ejemplo: "Halla todos los números de tres cifras $\overline{abc}$ tales que $\overline{abc} = a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca$."

Desarrollamos: $100a + 10b + c = a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca$. Esta ecuación puede reorganizarse como $a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca - 100a - 10b - c = 0$.

La estrategia habitual es: fijar $a$ (que va de 1 a 9), y para cada $a$ resolver para $b$ y $c$ como enteros entre 0 y 9. Con $a$ fijo la ecuación en $b$ y $c$ es cuadrática o lineal según el caso; hay pocos valores posibles.

Este tipo de problema combina álgebra con búsqueda acotada. No es fuerza bruta pura: se usa la ecuación para reducir el espacio de búsqueda antes de verificar.

Números que dividen a sus permutaciones de cifras

Un tipo de problema más sofisticado: "¿Existen números de dos cifras $\overline{ab}$ tales que $\overline{ab} \mid \overline{ba}$?" Tenemos $\overline{ab} = 10a + b$ y $\overline{ba} = 10b + a$. Queremos $(10a + b) \mid (10b + a)$.

Si $(10a+b) \mid (10b+a)$, como $10(10b+a) - (10a+b) = 100b + 10a - 10a - b = 99b$, se tiene $(10a+b) \mid 99b$. Similarmente, $(10a+b) \mid 99a$. Entonces $(10a+b) \mid 99\gcd(a,b)$.

Casos: si $\gcd(a,b) = 1$, entonces $(10a+b) \mid 99$. Los divisores de $99$ menores que $100$ son $1, 3, 9, 11, 33, 99$. Los que son números de dos cifras (con $a \ne 0$) y satisfacen la divisibilidad son $11, 33, 99$, dando $\overline{ab} = 11, 33, 99$ (palíndromos), que trivialmente dividen a $\overline{ba} = \overline{ab}$.

Si $\gcd(a,b) = d > 1$, escribimos $a = da'$, $b = db'$ con $\gcd(a',b') = 1$ y se reduce al caso anterior con $a'$ y $b'$ en lugar de $a$ y $b$ (posiblemente con cifra inicial $0$). La búsqueda completa da: los únicos $\overline{ab}$ con $\overline{ab} \mid \overline{ba}$ y $a \ne b$ son aquellos donde $\overline{ba}/\overline{ab}$ es entero.

Concatenación y operaciones con cifras

La concatenación de $n$ y $m$ (donde $m$ tiene $k$ cifras) es el número $n \cdot 10^k + m$. Por ejemplo, concatenar $15$ y $36$ da $1536 = 15 \cdot 100 + 36$.

Problemas de concatenación preguntan cosas como: "El número obtenido al escribir $n$ seguido de $n+1$ es divisible por 7. Halla todos los posibles $n$ de dos cifras."

Si $n$ tiene dos cifras, el número concatenado es $100n + (n+1) = 101n + 1$. Queremos $7 \mid 101n + 1$. Como $101 \equiv 3 \pmod 7$ (pues $101 = 14 \cdot 7 + 3$), necesitamos $3n + 1 \equiv 0 \pmod 7$, es decir $3n \equiv -1 \equiv 6 \pmod 7$, lo que da $n \equiv 2 \pmod 7$. Los valores de dos cifras con $n \equiv 2 \pmod 7$ son $n \in \{16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65, 72, 79, 86, 93\}$.

Este ejemplo ilustra el flujo general: traducir la condición de concatenación a una congruencia, resolverla, y listar soluciones en el rango pedido.

Problemas de suma y producto de cifras

Otro tipo clásico involucra simultáneamente la suma de cifras $S(n)$ y el número $n$ mismo. Por ejemplo: "Halla todos los enteros positivos tales que $n = 8 \cdot S(n)$."

Si $n$ tiene $k$ cifras, entonces $S(n) \le 9k$ y $n \ge 10^{k-1}$. De $n = 8S(n) \le 72k$ y $n \ge 10^{k-1}$, obtenemos $10^{k-1} \le 72k$. Para $k = 1$: $1 \le 72$, posible. Para $k = 2$: $10 \le 144$, posible. Para $k = 3$: $100 \le 216$, posible. Para $k = 4$: $1000 \le 288$, imposible. Así $n$ tiene a lo sumo 3 cifras.

Con $n = 8S(n)$ vemos que $8 \mid n$. Los múltiplos de 8 con a lo sumo 3 cifras son finitos; para cada uno verificamos $n = 8 S(n)$. El resultado: $n = 8 \cdot S(n)$ tiene las soluciones $n \in \{8 \cdot 1 = 8$ (verificar: $S(8)=8$, $8\cdot 8=64 \ne 8$), ...\}$. Procediendo sistemáticamente, se halla que no hay solución de 1 cifra (pues$n = 8k$con$k = n$daría$n = 8n$, imposible), y para 2 y 3 cifras se busca con la acotación.

La estrategia general de estos problemas es: acotar el número de cifras, reducir a rango finito, verificar.