Lección 1.2: Las tres identidades clave: diferencia de cuadrados y trinomios — Espinoza Olimpiadas

Las identidades en expresiones con más de una variable

En la lección anterior vimos las identidades con dos letras $a$ y $b$ . Pero en los problemas de olimpiada, $a$ y $b$ pueden ser ellas mismas expresiones complicadas. La clave es reconocer el patrón, no las letras.

Por ejemplo, considera $4x^2 - 9y^2$ . Aquí $a = 2x$ y $b = 3y$ , y la expresión es exactamente $a^2 - b^2$ . Aplicando la diferencia de cuadrados: $4x^2 - 9y^2 = (2x+3y)(2x-3y)$ . El truco es siempre identificar "¿qué es $a$ y qué es $b$ ?" antes de escribir la factorización.

Lo mismo ocurre con el cuadrado del binomio. Si ves $x^2 + 6xy + 9y^2$ , nota que $x^2 = x^2$ , $9y^2 = (3y)^2$ y el término del medio $6xy = 2 \cdot x \cdot 3y$ . Es decir, $a = x$ , $b = 3y$ , y la expresión es $(x+3y)^2$ . Reconocer esta estructura es una habilidad que se entrena.

Problema ONEM nivel 1: factoriza $25a^2 - 10ab + b^2$ . Respuesta: $a = 5a$ , $b = b$ (cuidado con la notación), y la expresión es $(5a - b)^2$ . Verifica: $(5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot b + b^2 = 25a^2 - 10ab + b^2$ . ✓

Trinomios cuadráticos perfectos: el diagnóstico rápido

Un trinomio cuadrático perfecto es toda expresión de la forma $A^2 \pm 2AB + B^2$ , que factoriza como $(A \pm B)^2$ . Para diagnosticarlo rápido, sigue estos tres pasos: (1) verifica que el primer y último término sean cuadrados perfectos; (2) verifica que el término del medio sea exactamente el doble del producto de sus raíces cuadradas; (3) si se cumplen ambas, factoriza.

Considera $9x^2 + 12xy + 4y^2$ . Paso 1: $9x^2 = (3x)^2$ y $4y^2 = (2y)^2$ . ✓ Paso 2: $2 \cdot 3x \cdot 2y = 12xy$ . ✓ Por lo tanto, $9x^2 + 12xy + 4y^2 = (3x+2y)^2$ .

Ahora considera $16m^4 - 24m^2n + 9n^2$ . Aquí $A = 4m^2$ y $B = 3n^{1/2}$ ... espera, eso no funciona. Intentemos: $A = 4m^2$ y $B = 3n$ . Entonces $A^2 = 16m^4$ , $B^2 = 9n^2$ y $2AB = 24m^2n$ . Sí encaja: $16m^4 - 24m^2n + 9n^2 = (4m^2 - 3n)^2$ . La clave es que $A$ y $B$ pueden ser monomios de cualquier grado.

Advertencia: no todo trinomio que parece cuadrático perfecto lo es. Por ejemplo, $x^2 + 5xy + 4y^2$ tiene $x^2$ y $4y^2 = (2y)^2$ , pero el término del medio debería ser $2 \cdot x \cdot 2y = 4xy$ , no $5xy$ . Este trinomio no es cuadrático perfecto; se factoriza como $(x+y)(x+4y)$ por otro método.

(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \quad\text{y}\quad (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2

Diferencia de potencias pares: encadenando diferencias de cuadrados

Una de las situaciones más frecuentes en olimpiadas es ver expresiones como $x^8 - y^8$ o $a^{16} - 1$ . La idea es aplicar diferencia de cuadrados repetidamente, bajando el grado a la mitad en cada paso.

Factoriza completamente $x^8 - y^8$ . Paso 1: $x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4+y^4)(x^4-y^4)$ . Paso 2: $x^4 - y^4 = (x^2+y^2)(x^2-y^2) = (x^2+y^2)(x+y)(x-y)$ . Paso 3: $x^4 + y^4$ no factoriza sobre los reales con diferencia de cuadrados (es una suma, no diferencia), pero sí podemos escribirlo como $(x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = (x^2+y^2-\sqrt{2}xy)(x^2+y^2+\sqrt{2}xy)$ si trabajamos sobre $\mathbb{R}$ . En concursos donde se pide factorización entera, $x^4+y^4$ se deja así.

Resultado final sobre $\mathbb{Z}$ : $x^8 - y^8 = (x^4+y^4)(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$ . Cuatro factores, todos irreducibles sobre los enteros. Esta técnica de "bajar exponentes a la mitad" funciona siempre que el exponente sea una potencia de 2.

Cuando el exponente par no es potencia de 2, como en $x^6 - y^6$ , hay dos caminos: diferencia de cuadrados ( $x^6-y^6 = (x^3)^2-(y^3)^2 = (x^3+y^3)(x^3-y^3)$ ) o diferencia de cubos ( $x^6-y^6 = (x^2)^3-(y^2)^3$ ). Ambos funcionan y en general conviene usar ambos para obtener la factorización completa: $x^6-y^6 = (x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$ .

Sumas de potencias pares: el mito de la irreducibilidad

Una trampa clásica en olimpiadas: "las sumas de potencias pares no factorizan". Esto es falso en general. La suma $a^4 + b^4$ sí factoriza, pero necesita un truco especial que veremos en la siguiente lección (¡Sophie Germain!). Lo que es verdad es que $a^2 + b^2$ no factoriza sobre los enteros.

Sin embargo, hay sumas de potencias pares de grado superior que sí se pueden reducir. Por ejemplo, $a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)$ , usando la suma de cubos con $A = a^2$ y $B = b^2$ . El factor $(a^4-a^2b^2+b^4)$ se puede analizar más, pero sobre los enteros es irreducible.

La moraleja: antes de declarar que algo "no factoriza", prueba todas las identidades disponibles. $a^{10}+b^{10} = (a^2+b^2)(a^8-a^6b^2+a^4b^4-a^2b^6+b^8)$ usando suma de quintas potencias... o bien $(a^2)^5+(b^2)^5$ . En olimpiadas siempre hay un camino.

Ejercicio propuesto: factoriza completamente $x^{12} - 1$ . Respuesta parcial: empieza con $x^{12}-1 = (x^6+1)(x^6-1)$ , luego cada factor se descompone más: $x^6-1 = (x^2-1)(x^4+x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)$ , y $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$ ; para $x^6+1$ : $= (x^2+1)(x^4-x^2+1)$ .

Problemas resueltos con las tres identidades

Problema 1 (ONEM estilo nivel 1): Si $a - b = 4$ y $a^2 - b^2 = 28$ , halla $a + b$ . Solución: factorizamos $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ , entonces $28 = (a+b) \cdot 4$ , así $a+b = 7$ .

Problema 2: Calcula el valor de $(999)^2 - (998)(1000)$ . Solución: nota que $999^2 - 998 \cdot 1000 = 999^2 - (999-1)(999+1) = 999^2 - (999^2 - 1) = 1$ . La clave fue reconocer la diferencia de cuadrados en $998 \cdot 1000 = (999-1)(999+1) = 999^2 - 1$ .

Problema 3: Muestra que $n^4 - 1$ es divisible por 8 para todo entero impar $n$ . Solución: $n^4-1 = (n^2+1)(n^2-1) = (n^2+1)(n+1)(n-1)$ . Como $n$ es impar, escribe $n = 2k+1$ . Entonces $n-1 = 2k$ y $n+1 = 2k+2 = 2(k+1)$ . Estos son enteros consecutivos multiplicados por 2 cada uno, así su producto $4k(k+1)$ contiene un factor 8 (pues $k(k+1)$ es siempre par). Esto prueba que $8 \mid (n+1)(n-1)$ , y como $n^2+1$ es entero, $8 \mid n^4-1$ .

Problema 4: Simplifica $\dfrac{x^4 - y^4}{x^2 + y^2}$ . Solución: $x^4 - y^4 = (x^2+y^2)(x^2-y^2) = (x^2+y^2)(x+y)(x-y)$ . Dividiendo entre $x^2+y^2$ : el resultado es $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$ .

Las tres identidades clave: diferencia de cuadrados y trinomios

Objetivo de la lección

Las identidades en expresiones con más de una variable

Trinomios cuadráticos perfectos: el diagnóstico rápido

Diferencia de potencias pares: encadenando diferencias de cuadrados

Sumas de potencias pares: el mito de la irreducibilidad

Problemas resueltos con las tres identidades

Problemas del Capítulo 1 — con solución