AM-GM: el arma más versátil

La desigualdad AM-GM: enunciado y caso de igualdad

La desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica (AM-GM) afirma: para cualesquiera reales no negativos $a_1, a_2, \ldots, a_n$,

$$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$$

con igualdad si y solo si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$. Esta es la condición de igualdad, y en optimización es la clave: el mínimo o máximo se alcanza exactamente cuando todas las variables son iguales.

La versión más usada en olimpiadas es la de dos variables: $\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$, o equivalentemente $a + b \geq 2\sqrt{ab}$, para $a, b \geq 0$. Cuadrar ambos lados: esto equivale a $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$, que es siempre verdadero. Esta demostración elemental es la que debes saber de memoria.

Demostración: por inducción con el truco de Cauchy

La demostración estándar de AM-GM para $n$ variables usa el método de inducción hacia adelante y hacia atrás de Cauchy. La idea es probar AM-GM para $n = 2^k$ (potencias de 2) por inducción ordinaria, y luego "bajar" de $2^k$ a cualquier $n$ por inducción hacia atrás.

**Paso base $n = 2$:** $\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ porque $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$. **Paso de inducción $n \to 2n$:** supón AM-GM válido para $n$ variables. Para $2n$ variables $a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n$: sea $A = \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}$ y $B = \sqrt[n]{b_1 \cdots b_n}$. Por hipótesis, $\dfrac{\sum a_i}{n} \geq A$ y $\dfrac{\sum b_i}{n} \geq B$. Sumando y aplicando AM-GM de 2 variables a $A$ y $B$: $\dfrac{\sum a_i + \sum b_i}{2n} \geq \dfrac{A+B}{2} \geq \sqrt{AB} = \sqrt[2n]{a_1 \cdots a_n b_1 \cdots b_n}$. ✓

**Descenso de $n$ a $n-1$:** supón AM-GM válido para $n$ variables; probémoslo para $n-1$. Dados $a_1, \ldots, a_{n-1} \geq 0$, define $a_n = \dfrac{a_1 + \cdots + a_{n-1}}{n-1}$ (la media aritmética de las primeras $n-1$). Aplicando AM-GM para $n$ variables: $\dfrac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdots a_{n-1} \cdot a_n}$. Pero $\dfrac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n$. Luego $a_n^n \geq a_1 \cdots a_{n-1} \cdot a_n$, es decir $a_n^{n-1} \geq a_1 \cdots a_{n-1}$, que es exactamente AM-GM para $n-1$ variables.

Esta demostración revela que el caso de igualdad ocurre precisamente cuando todas las variables son iguales, pues en cada paso del descenso se requiere igualdad en $(\sqrt{A} - \sqrt{B})^2 = 0$.

AM-GM normalizado y la versión de tres variables

El AM-GM normalizado es la forma más flexible: si $a_1, \ldots, a_n \geq 0$ y $\lambda_1, \ldots, \lambda_n > 0$ con $\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = 1$, entonces $\lambda_1 a_1 + \cdots + \lambda_n a_n \geq a_1^{\lambda_1} \cdots a_n^{\lambda_n}$. Esta versión ponderada permite repartir el peso de forma no uniforme, lo que es esencial cuando las variables tienen distintos exponentes en la expresión a minimizar.

La versión de tres variables $\dfrac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$ merece memorización aparte. Su caso de igualdad $a = b = c$ es el punto de partida de muchos argumentos en olimpiadas de nivel regional. Una consecuencia directa: si $a + b + c = k$ es fijo, entonces $abc \leq \left(\dfrac{k}{3}\right)^3$, con igualdad en $a = b = c = \dfrac{k}{3}$.

Técnica clave: para encontrar el mínimo de una suma $f(x) = \dfrac{A}{x} + Bx + C$ (para $x > 0$), aplica AM-GM a los dos términos variables: $\dfrac{A}{x} + Bx \geq 2\sqrt{\dfrac{A}{x} \cdot Bx} = 2\sqrt{AB}$. El mínimo es $2\sqrt{AB} + C$, alcanzado en $\dfrac{A}{x} = Bx$, es decir $x = \sqrt{\dfrac{A}{B}}$. Este patrón aparece constantemente en problemas de optimización.

Problema trabajado: minimizar una suma cíclica

Problema: Sean $a, b, c > 0$ reales positivos. Demuestra que $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \geq 3$.

Aplicamos AM-GM de tres variables a los tres términos positivos $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{b}{c}$, $\dfrac{c}{a}$:

$\dfrac{\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}}{3} \geq \sqrt[3]{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a}} = \sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}} = \sqrt[3]{1} = 1$.

Por lo tanto $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \geq 3$. La igualdad ocurre cuando $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a}$, que implica $a = b = c$. Observa la elegancia: el producto de los tres términos es exactamente 1 porque las variables se cancelan telescópicamente, lo que hizo que la raíz cúbica fuera 1. Busca siempre que el producto de los términos sea una constante conocida.

Más aplicaciones y trucos avanzados

Truco "crear el producto correcto": a veces la expresión no tiene un producto constante de forma inmediata. Entonces se multiplica estratégicamente: para minimizar $x + \dfrac{1}{x(1-x)}$ con $0 < x < 1$, no es obvio qué agrupar. Pero si escribes $x + \dfrac{1}{x(1-x)} = x + \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{1}{1-x}$ y aplicas AM-GM por partes, o well, en este caso conviene calcular la derivada. Sin embargo, AM-GM sugiere $x = \dfrac{1}{x(1-x)}$, es decir $x^2(1-x) = 1$... Cuando AM-GM no da la igualdad directamente, examina si la condición de igualdad es alcanzable.

Desigualdad AM-GM vs. restricciones: si los reales están sujetos a una restricción (por ejemplo, $a + b + c = 1$), el mínimo del producto $abc$ ocurre en los extremos (no en $a = b = c$), pero el máximo del producto sí ocurre en $a = b = c = \dfrac{1}{3}$. Distinguir cuándo se busca mínimo y cuándo máximo es fundamental para aplicar AM-GM correctamente.

Ejercicio para practicar: si $x, y, z > 0$ y $xyz = 1$, demuestra que $x + y + z \geq 3$. Solución: AM-GM directo, $\dfrac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} = 1$. Ahora demuestra que $xy + yz + zx \geq 3$ bajo la misma restricción. Aplicar AM-GM a los tres términos: producto $= (xyz)^2 = 1$, luego $\dfrac{xy+yz+zx}{3} \geq \sqrt[3]{(xyz)^2} = 1$. ✓