Cauchy-Schwarz en contexto olímpico

Cauchy-Schwarz: enunciado y demostración

La desigualdad de Cauchy-Schwarz (o desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz) afirma: para cualesquiera reales $a_1, \ldots, a_n$ y $b_1, \ldots, b_n$,

$$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2,$$

con igualdad si y solo si las tuplas $(a_1, \ldots, a_n)$ y $(b_1, \ldots, b_n)$ son proporcionales, es decir, existe $\lambda$ tal que $a_i = \lambda b_i$ para todo $i$.

La demostración más elegante es algebraica: considera el polinomio en $t$ dado por $f(t) = \sum_{i=1}^n (a_i t + b_i)^2 \geq 0$. Expandiendo: $f(t) = (\sum a_i^2) t^2 + 2(\sum a_i b_i) t + (\sum b_i^2) \geq 0$ para todo $t \in \mathbb{R}$. Para un cuadrático no negativo, el discriminante debe ser $\leq 0$: $4(\sum a_i b_i)^2 - 4(\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \leq 0$, que es exactamente Cauchy-Schwarz. La igualdad ocurre cuando $f(t) = 0$ tiene solución real, es decir cuando $(a_1, \ldots, a_n) \parallel (b_1, \ldots, b_n)$.

Forma de Engel (Titu Andreescu): fracciones y denominadores

La forma de Engel o lema de Titu es una reformulación de Cauchy-Schwarz especialmente útil cuando aparecen fracciones: para $a_i \in \mathbb{R}$ y $b_i > 0$,

$$\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}.$$

La demostración sigue directamente de Cauchy-Schwarz: aplica la desigualdad con $A_i = \dfrac{a_i}{\sqrt{b_i}}$ y $B_i = \sqrt{b_i}$. Entonces $\sum A_i^2 = \sum \dfrac{a_i^2}{b_i}$, $\sum B_i^2 = \sum b_i$, y $\sum A_i B_i = \sum a_i$. Cauchy-Schwarz da $(\sum \tfrac{a_i^2}{b_i})(\sum b_i) \geq (\sum a_i)^2$, que dividido entre $\sum b_i$ produce la forma de Engel.

La forma de Engel transforma una suma de fracciones en un cociente de cuadrados, lo cual es inmensamente útil en olimpiadas donde aparecen expresiones como $\dfrac{x^2}{a} + \dfrac{y^2}{b} + \dfrac{z^2}{c}$. La igualdad ocurre cuando $\dfrac{a_i}{b_i}$ es la misma constante para todo $i$.

Problema trabajado: $(x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2)$

Problema: Demuestra que $(x + y + z)^2 \leq 3(x^2 + y^2 + z^2)$ para todos los reales $x, y, z$.

Aplicamos Cauchy-Schwarz con $n = 3$, $a_i = x, y, z$ y $b_i = 1, 1, 1$:

$(x^2 + y^2 + z^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (x \cdot 1 + y \cdot 1 + z \cdot 1)^2 = (x+y+z)^2$.

El factor izquierdo del lado izquierdo es $3$, así que $3(x^2+y^2+z^2) \geq (x+y+z)^2$. ✓ La igualdad ocurre cuando $(x, y, z) \parallel (1, 1, 1)$, es decir, cuando $x = y = z$. Verificación: si $x = y = z = t$, entonces $(3t)^2 = 9t^2$ y $3(3t^2) = 9t^2$. ✓

Nota la elegancia: la elección $b_i = 1$ es la más natural cuando queremos relacionar una suma cuadrada con la suma de cuadrados. Este patrón "$a$-vector vs. vector de unos" aparece en decenas de problemas olímpicos.

Más aplicaciones de Cauchy-Schwarz en olimpiadas

Aplicación 1: Si $a, b, c > 0$ y $a + b + c = 1$, demuestra que $\dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b^2}{a+c} + \dfrac{c^2}{a+b} \geq \dfrac{1}{2}$. Usamos la forma de Engel con $a_i = a, b, c$ y $b_i = b+c, a+c, a+b$: $\sum \dfrac{a^2}{b+c} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{(b+c)+(a+c)+(a+b)} = \dfrac{1^2}{2(a+b+c)} = \dfrac{1}{2}$. ✓

Aplicación 2: Demuestra que para $x, y > 0$, $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \geq 2$. Por Cauchy-Schwarz con $a_1 = \sqrt{x/y}$, $a_2 = \sqrt{y/x}$, $b_1 = b_2 = 1$: $(x/y + y/x)(1 + 1) \geq (\sqrt{x/y} + \sqrt{y/x})^2 \geq 4$ (usando AM-GM en el último paso). Pero más directo es AM-GM: $x/y + y/x \geq 2\sqrt{(x/y)(y/x)} = 2$.

Combinando herramientas: Cauchy-Schwarz y AM-GM se complementan. Cuando ves una suma de cocientes, piensa primero en la forma de Engel. Cuando ves un producto bajo una raíz, piensa en AM-GM. Un experto en olimpiadas lleva ambas herramientas y elige según la estructura del problema.

Ejercicio de nivel ONEM: Si $a^2 + b^2 + c^2 = 1$, halla el máximo de $a + 2b + 3c$. Usando Cauchy-Schwarz: $(a+2b+3c)^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(1+4+9) = 1 \cdot 14 = 14$. Así $a+2b+3c \leq \sqrt{14}$, alcanzado cuando $(a,b,c) \parallel (1,2,3)$, es decir $(a,b,c) = \dfrac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3)$.