Raíces y coeficientes — Vieta

Las fórmulas de Vieta: raíces y coeficientes

Las fórmulas de Vieta (también llamadas relaciones de Vieta) conectan los coeficientes de un polinomio con las sumas y productos de sus raíces. Para un polinomio cuadrático $p(x) = ax^2 + bx + c$ con raíces $r_1, r_2$, se tiene $r_1 + r_2 = -\dfrac{b}{a}$ y $r_1 r_2 = \dfrac{c}{a}$. Estas relaciones son exactas y no requieren conocer las raíces explícitamente.

La demostración es directa: si $r_1$ y $r_2$ son raíces de $p(x)$, entonces $p(x) = a(x - r_1)(x - r_2) = a(x^2 - (r_1+r_2)x + r_1 r_2)$. Comparando con $ax^2 + bx + c$: el coeficiente de $x$ da $b = -a(r_1+r_2)$, y el término constante da $c = a r_1 r_2$. Dividiendo por $a$, se obtienen las fórmulas de Vieta.

Para el polinomio cúbico $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ con raíces $r_1, r_2, r_3$: $r_1 + r_2 + r_3 = -\dfrac{b}{a}$, $\; r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \dfrac{c}{a}$, $\; r_1 r_2 r_3 = -\dfrac{d}{a}$. El patrón es que los signos alternan y los denominadores son siempre el coeficiente líder $a$.

Estas relaciones son reversibles: si conocemos $e_1 = r_1 + r_2 + r_3$, $e_2 = r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3$ y $e_3 = r_1 r_2 r_3$, podemos reconstruir el polinomio mónico $p(x) = x^3 - e_1 x^2 + e_2 x - e_3$. Este es el principio de la construcción del polinomio a partir de sus raíces.

Fórmulas de Vieta para grado $n$

Para el polinomio general de grado $n$, $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ con raíces $r_1, r_2, \ldots, r_n$ (contadas con multiplicidad), las fórmulas de Vieta generales son:

$e_k = \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} r_{i_1} r_{i_2} \cdots r_{i_k} = (-1)^k \dfrac{a_{n-k}}{a_n}$, para $k = 1, 2, \ldots, n$.

En particular: $r_1 + r_2 + \cdots + r_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$ y $r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}$. En olimpiadas se usan más los casos $n = 2$ y $n = 3$, pero el patrón de signos alternados se aplica siempre.

Ejemplo de nivel ONEM: el polinomio $2x^3 - 7x^2 + kx - 3$ tiene tres raíces cuyo producto es $\dfrac{3}{2}$. Halla $k$ si adicionalmente la suma de las raíces es $\dfrac{7}{2}$. Por Vieta: producto $= \dfrac{3}{2}$ ✓ (siempre, pues $(-1)^3 \cdot (-3/2) = 3/2$), suma $= 7/2$ ✓. No hay restricción adicional sobre $k$ por las condiciones dadas; $k = e_2 \cdot a_n$ con $e_2$ libre. Sin embargo, si además $r_1 + r_2 + r_3 = r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3$, entonces $7/2 = k/2$, luego $k = 7$.

Problema trabajado: usar Vieta sin hallar raíces

Problema clásico: Sean $r_1, r_2$ las raíces de $x^2 - 5x + 3 = 0$. Calcula $r_1^2 + r_2^2$, $r_1^3 + r_2^3$ y $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}$ sin encontrar $r_1$ y $r_2$ explícitamente.

Por Vieta: $r_1 + r_2 = 5$ y $r_1 r_2 = 3$. Para las potencias: $r_1^2 + r_2^2 = (r_1+r_2)^2 - 2r_1 r_2 = 25 - 6 = 19$. Para los cubos: $r_1^3 + r_2^3 = (r_1+r_2)(r_1^2 - r_1 r_2 + r_2^2) = 5 \cdot (19 - 3) = 5 \cdot 16 = 80$.

Para los recíprocos: $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} = \dfrac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} = \dfrac{5}{3}$. Esta identidad es fundamental en olimpiadas: la suma de recíprocos es siempre la suma dividida por el producto.

Observa que en ningún momento usamos la fórmula cuadrática ni calculamos $\sqrt{13}$. Vieta nos permite trabajar directamente con las cantidades simétricas de las raíces, que se expresan limpiamente en términos de los coeficientes del polinomio.

Construcción del polinomio con raíces dadas

Problema inverso: construye el polinomio mónico cuadrático cuyas raíces satisfacen $r_1 + r_2 = 4$ y $r_1^2 + r_2^2 = 10$. De la primera relación, $e_1 = 4$. De la segunda: $e_2 = r_1 r_2 = \dfrac{(r_1+r_2)^2 - (r_1^2+r_2^2)}{2} = \dfrac{16-10}{2} = 3$. El polinomio es $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Este método inverso es muy útil cuando el problema da información sobre las raíces (su suma, su producto, sumas de potencias) y pide construir el polinomio o hallar sus coeficientes. El flujo es: (1) determinar $e_1, e_2$ (o $e_1, e_2, e_3$ para grado 3); (2) escribir $x^2 - e_1 x + e_2$ (o $x^3 - e_1 x^2 + e_2 x - e_3$).

Problema de olimpiada estilo ONEM: las raíces de $x^3 + px + q = 0$ satisfacen $r_1 + r_2 + r_3 = 0$ (¡esto ya lo da el término $x^2$ ausente, pues $-p/1 = 0$!), $r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = p$ y $r_1 r_2 r_3 = -q$. Si las raíces son $-3, 1, 2$: $e_1 = 0$ ✓ (sin $x^2$); $e_2 = (-3)(1)+(-3)(2)+(1)(2) = -3-6+2 = -7 = p$; $e_3 = (-3)(1)(2) = -6 = -q$, luego $q = 6$. El polinomio es $x^3 - 7x + 6$.

La técnica de "verificar con Vieta" es una forma rápida de comprobar una factorización: si $p(x) = (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$, verifica que la suma, suma de productos por pares y el producto triple coincidan con los coeficientes.

Problemas olímpicos con Vieta en grado 3

Problema 1: Las raíces del polinomio $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ son tres enteros positivos consecutivos. Hállalos. Por Vieta: suma $= 6$, suma de productos por pares $= 11$, producto $= 6$. Tres enteros positivos con suma 6 y producto 6: son $1, 2, 3$. Verificación: $1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 2+3+6 = 11$ ✓.

Problema 2 (ONEM tipo): Si $\alpha, \beta$ son raíces de $x^2 - 3x + 1 = 0$, calcula $\alpha^4 + \beta^4$. Tenemos $e_1 = 3$, $e_2 = 1$. Calculamos escalonadamente: $\alpha^2+\beta^2 = 9 - 2 = 7$; $\alpha^4+\beta^4 = (\alpha^2+\beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2 = 49 - 2 \cdot 1 = 47$.

Problema 3: Determina $k$ tal que las raíces de $x^2 - kx + (k+2) = 0$ son ambas positivas. Por Vieta: suma $= k > 0$ y producto $= k + 2 > 0$, luego $k > 0$. Además el discriminante debe ser $\geq 0$: $k^2 - 4(k+2) \geq 0$, es decir $k^2 - 4k - 8 \geq 0$. Las raíces de $k^2 - 4k - 8 = 0$ son $k = 2 \pm 2\sqrt{3}$. Para $k > 0$, se necesita $k \geq 2 + 2\sqrt{3} \approx 5.46$.