Polinomios simétricos

Los polinomios simétricos elementales

Los polinomios simétricos elementales en las variables $x_1, x_2, \ldots, x_n$ son: $e_1 = \sum_i x_i$, $e_2 = \sum_{i < j} x_i x_j$, $e_3 = \sum_{i < j < k} x_i x_j x_k$, $\ldots$, $e_n = x_1 x_2 \cdots x_n$. Estos $n$ polinomios son la "base" del anillo de polinomios simétricos, en el sentido de que todo polinomio simétrico en $x_1, \ldots, x_n$ es un polinomio en $e_1, \ldots, e_n$.

La conexión con Vieta es directa: para el polinomio $p(t) = a_n t^n + a_{n-1}t^{n-1} + \cdots + a_0$ con raíces $x_1, \ldots, x_n$, los polinomios simétricos elementales de las raíces son exactamente los coeficientes (con signo): $e_k = (-1)^k \dfrac{a_{n-k}}{a_n}$. Así, conocer los coeficientes equivale a conocer $e_1, \ldots, e_n$.

Las sumas de potencias $p_k = x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k$ son también polinomios simétricos, y se expresan en términos de $e_1, \ldots, e_n$ mediante las identidades de Newton. Esta es la herramienta central cuando el problema da información sobre sumas de potencias de raíces.

Identidades de Newton y recurrencia de sumas de potencias

Las identidades de Newton (también llamadas identidades de Newton-Girard) relacionan las sumas de potencias $p_k = \sum x_i^k$ con los polinomios simétricos elementales. Para dos variables $x_1, x_2$ con $e_1 = x_1+x_2$ y $e_2 = x_1 x_2$, la recurrencia es $p_k = e_1 \, p_{k-1} - e_2 \, p_{k-2}$ con condiciones iniciales $p_0 = 2$, $p_1 = e_1$. Para tres variables, se añade un término más: $p_k = e_1 p_{k-1} - e_2 p_{k-2} + e_3 p_{k-3}$.

La fórmula general de Newton para $n$ variables, con $k \leq n$, es: $p_k - e_1 p_{k-1} + e_2 p_{k-2} - \cdots + (-1)^{k-1} e_{k-1} p_1 + (-1)^k k e_k = 0$. Para $k > n$: $p_k - e_1 p_{k-1} + e_2 p_{k-2} - \cdots + (-1)^n e_n p_{k-n} = 0$. Esta última es la recurrencia lineal que permite calcular $p_k$ para $k$ arbitrariamente grande.

Ejemplo concreto: si $x_1 + x_2 = 5$ y $x_1 x_2 = 6$ (las raíces de $t^2 - 5t + 6 = 0$, es decir $t = 2$ y $t = 3$), entonces $p_0 = 2$, $p_1 = 5$, $p_2 = 5 \cdot 5 - 6 \cdot 2 = 25 - 12 = 13$, $p_3 = 5 \cdot 13 - 6 \cdot 5 = 65 - 30 = 35$, $p_4 = 5 \cdot 35 - 6 \cdot 13 = 175 - 78 = 97$. Verificación directa: $2^4 + 3^4 = 16 + 81 = 97$ ✓.

La recurrencia de sumas de potencias tiene la misma estructura que la recurrencia de sucesiones lineales en combinatoria. De hecho, si $x_1, x_2$ son las raíces de $t^2 - et + f = 0$, la sucesión $p_k = x_1^k + x_2^k$ satisface $p_k = e p_{k-1} - f p_{k-2}$, que es exactamente la recurrencia de la sucesión de Lucas con parámetros $e, f$.

El teorema fundamental de los polinomios simétricos

El Teorema Fundamental de los Polinomios Simétricos establece: todo polinomio simétrico en $n$ variables con coeficientes racionales (o enteros) puede escribirse de manera única como polinomio con coeficientes racionales (o enteros) en los polinomios simétricos elementales $e_1, e_2, \ldots, e_n$.

La prueba es constructiva: dado un polinomio simétrico $f(x_1, \ldots, x_n)$, se toma el monomio dominante (según el orden lexicográfico) $c \cdot x_1^{a_1} x_2^{a_2} \cdots x_n^{a_n}$ con $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \geq 0$, y se resta el término $c \cdot e_1^{a_1 - a_2} e_2^{a_2 - a_3} \cdots e_{n-1}^{a_{n-1}-a_n} e_n^{a_n}$, que tiene el mismo monomio dominante. Este proceso termina en un número finito de pasos.

En la práctica olímpica, esto significa que cualquier expresión simétrica en las raíces de un polinomio se puede calcular a partir de los coeficientes del polinomio, sin necesidad de conocer las raíces individualmente. Por ejemplo, $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2(x_1 + x_2) = e_2 e_1$, y $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = e_1^2 - e_2$.

Tabla de expresiones simétricas frecuentes (dos variables): $x_1^2 + x_2^2 = e_1^2 - 2e_2$; $x_1^3 + x_2^3 = e_1^3 - 3e_1 e_2$; $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = e_1 e_2$; $(x_1 - x_2)^2 = e_1^2 - 4e_2$. Memoriza estas cuatro, que aparecen constantemente en olimpiadas de nivel ONEM.

Problemas olímpicos con polinomios simétricos

Problema 1 (ONEM tipo): El polinomio $p(x) = x^2 - sx + q$ tiene raíces $r_1, r_2$ con $r_1^3 + r_2^3 = 35$ y $r_1 r_2 = 6$. Halla $s$. Usando Newton: $r_1^3+r_2^3 = (r_1+r_2)^3 - 3r_1 r_2(r_1+r_2) = s^3 - 18s = 35$. Probamos $s = 5$: $125 - 90 = 35$ ✓. Así $s = 5$ (y $p(x) = x^2 - 5x + 6$, raíces $2$ y $3$, verificación: $8 + 27 = 35$ ✓).

Problema 2: Si $\alpha, \beta, \gamma$ son raíces de $x^3 - 7x + 6 = 0$, calcula $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ y $\alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \gamma^2\alpha^2$. Por Vieta: $e_1 = 0$ (no hay término $x^2$), $e_2 = -7$, $e_3 = -6$. Entonces $p_2 = e_1^2 - 2e_2 = 0 + 14 = 14$. Para la suma de productos cuadráticos: $e_2^2 - 2e_1 e_3 = 49 - 0 = 49$ (usando la identidad $(\alpha\beta)^2+(\beta\gamma)^2+(\gamma\alpha)^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) = e_2^2 - 2e_3 e_1$).

Problema 3: Demuestra que si $a + b + c = 1$, $a^2+b^2+c^2 = 2$ y $a^3+b^3+c^3 = 3$, entonces $a^4+b^4+c^4 = \dfrac{25}{6}$. Con $e_1 = 1$: $e_2 = \dfrac{e_1^2-p_2}{2} = \dfrac{1-2}{2} = -\dfrac{1}{2}$. Por Newton $p_3 = e_1 p_2 - e_2 p_1 + 3e_3$: $3 = 1 \cdot 2 - (-\tfrac{1}{2}) \cdot 1 + 3e_3 = 2 + \tfrac{1}{2} + 3e_3$, luego $3e_3 = \tfrac{1}{2}$, $e_3 = \tfrac{1}{6}$. Para $p_4 = e_1 p_3 - e_2 p_2 + e_3 p_1 = 3 - (-\tfrac{1}{2}) \cdot 2 + \tfrac{1}{6} \cdot 1 = 3 + 1 + \tfrac{1}{6} = \dfrac{25}{6}$ ✓.