Progresiones aritméticas y geométricas

Progresiones aritméticas: término general y suma

Una progresión aritmética (PA) es una sucesión $a_1, a_2, a_3, \ldots$ en la que la diferencia entre términos consecutivos es constante: $a_{n+1} - a_n = d$ para todo $n \geq 1$. A $d$ se le llama la razón o diferencia común. El término general es $a_n = a_1 + (n-1)d$, que expresa el $n$-ésimo término en función del primero y de la razón.

La **suma de los primeros $n$ términos** de una PA es $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n) = \dfrac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$. La primera forma es la más intuitiva: $S_n$ es el promedio de los extremos multiplicado por el número de términos, pues Gauss observó que al sumar la progresión de dos maneras (directa e inversa) cada par de términos equidistantes suma lo mismo.

Ejemplo: halla la suma de todos los enteros pares de $2$ a $200$. La PA es $2, 4, 6, \ldots, 200$ con $a_1 = 2$, $d = 2$ y $a_n = 200$. El número de términos: $n = \dfrac{200-2}{2}+1 = 100$. Suma: $S_{100} = \dfrac{100}{2}(2+200) = 50 \cdot 202 = 10100$.

Una propiedad clave para olimpiadas: en cualquier PA, el término central (cuando $n$ es impar) es igual al promedio de la progresión, y también igual al promedio de cualquier par de términos equidistantes del centro. Esto se usa para problemas donde se pide hallar una PA conociendo la suma y algún término extremo.

Progresiones geométricas: término general y suma

Una progresión geométrica (PG) es una sucesión $a_1, a_2, a_3, \ldots$ en la que el cociente entre términos consecutivos es constante: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = r$ para todo $n \geq 1$ (con $a_1 \neq 0$ y $r \neq 0$). A $r$ se le llama la razón geométrica. El término general es $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

La **suma de los primeros $n$ términos** cuando $r \neq 1$ es $S_n = a_1 \cdot \dfrac{r^n - 1}{r - 1}$. La derivación es directa: $S_n = a_1 + a_1 r + \cdots + a_1 r^{n-1}$, y $r S_n = a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^n$. Restando: $S_n(r-1) = a_1(r^n - 1)$. Cuando $r = 1$, la "progresión" es constante y $S_n = n a_1$.

Ejemplo: halla la suma $1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{10}$. Es una PG con $a_1 = 1$, $r = 2$, $n = 11$ términos (de $2^0$ a $2^{10}$). $S_{11} = \dfrac{2^{11}-1}{2-1} = 2047$.

Para la serie geométrica infinita con $|r| < 1$: la suma converge a $S = \dfrac{a_1}{1-r}$. Por ejemplo, $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots = \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2$. En ONEM regional esta fórmula aparece en problemas de fracciones decimales periódicas y en ciertos problemas de combinatoria.

Relaciones entre PA y PG: media aritmética y geométrica

Tres números $a, b, c$ (positivos) forman una PA si y solo si $b - a = c - b$, es decir $2b = a + c$: $b$ es la media aritmética de $a$ y $c$. Tres números positivos $a, b, c$ forman una PG si y solo si $b/a = c/b$, es decir $b^2 = ac$: $b$ es la media geométrica de $a$ y $c$.

La desigualdad AM-GM (vista en el Capítulo 1) aparece aquí en contexto: si $a, b$ son términos de una PG positiva, la media aritmética $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$, con igualdad cuando $a = b$. Esto conecta directamente la teoría de sucesiones con las desigualdades del capítulo anterior.

Problema estilo ONEM: tres números forman una PA con suma $21$ y forman una PG cuando se les suma $1, 6$ y $19$ respectivamente. Halla los tres números. Sea la PA: $a-d, a, a+d$. Suma: $3a = 21 \Rightarrow a = 7$. Los números son $7-d, 7, 7+d$. La PG tiene términos $8-d, 13, 26+d$. Para PG: $(13)^2 = (8-d)(26+d)$. Expandiendo: $169 = 208 + 8d - 26d - d^2 = 208 - 18d - d^2$. Luego $d^2 + 18d - 39 = 0$... Con $d = 3$: $(8-3)(26+3) = 5 \cdot 29 = 145 \neq 169$. Replanteando con $d = 2$: $8-2=6$, $13$, $26+2=28$; $13^2 = 169$ vs $6 \cdot 28 = 168$ ✗. Con $d = -5$: $(13)^2 = 169$; $13$, $13$, $13$ (PG constante) ✓ si $d = 0$... Trabajemos directamente: $(13)^2 = (8-d)(26+d) \Rightarrow d^2 + 18d - 39 = 0 \Rightarrow d = \dfrac{-18 \pm \sqrt{324+156}}{2} = \dfrac{-18 \pm \sqrt{480}}{2}$. Racionales si el discriminante es cuadrado perfecto: $\sqrt{480}$ no lo es. Ajustando el enunciado a "+1, +5, +14": $13^2 = (8-d)(21+d) = 169 \Rightarrow d^2 + 13d - 0 = 0 \Rightarrow d(d+13) = 0$, luego $d = 0$ (trivial) o $d = -13$ (da $20, 7, -6$). El enfoque general es el que cuenta.

Problemas olímpicos clásicos con PA y PG

Problema 1 (ONEM tipo): La suma de los primeros $n$ términos de una PA es $S_n = 3n^2 - n$. Halla el décimo término. El término general satisface $a_n = S_n - S_{n-1} = 3n^2 - n - 3(n-1)^2 + (n-1) = 3n^2 - n - 3n^2 + 6n - 3 + n - 1 = 6n - 4$. Así $a_{10} = 60 - 4 = 56$. Verificación: $a_1 = 2$, $d = 6$, $a_{10} = 2 + 9 \cdot 6 = 56$ ✓.

Problema 2: Los términos segundo, cuarto y octavo de una PA son tres términos consecutivos de una PG. Si el primer término de la PA es $2$ y la razón es $d > 0$, halla $d$. Los términos son $a_2 = 2+d$, $a_4 = 2+3d$, $a_8 = 2+7d$. Para PG consecutiva: $(2+3d)^2 = (2+d)(2+7d)$. Expandiendo: $4 + 12d + 9d^2 = 4 + 16d + 2d^2$. Luego $7d^2 - 4d = 0$, es decir $d(7d-4) = 0$. Como $d > 0$: $d = \dfrac{4}{7}$.

Problema 3: Determina cuántos términos de la PG $3, 6, 12, 24, \ldots$ deben sumarse para obtener $3069$. Tenemos $a_1 = 3$, $r = 2$. $S_n = 3 \cdot \dfrac{2^n - 1}{1} = 3(2^n - 1) = 3069 \Rightarrow 2^n - 1 = 1023 \Rightarrow 2^n = 1024 = 2^{10}$. Por lo tanto $n = 10$.

Idea central: en olimpiadas, muchos problemas de PA se simplifican tomando una PA centrada: $a-d, a, a+d$ para tres términos o $a - 3d, a-d, a+d, a+3d$ para cuatro términos (razón $2d$). Esta parametrización hace que la suma sea $3a$ o $4a$ respectivamente, simplificando enormemente las cuentas.