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Sumas telescópicas

Lección 4.2·Capítulo 4 — Sucesiones y series·11 min·Piloto
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Disclosure de IA: al publicarse, este contenido reproducirá digitalmente, con autorización expresa del autor, la voz y fisonomía de Eduardo Espinoza Ramos. Curaduría revisada por matemáticos profesionales. Política completa →

Objetivo de la lección

Reconocer cuándo una suma admite telescopaje; aplicar la técnica de descomposición en fracciones parciales para telescopar sumas de fracciones racionales; y calcular sumas de la forma $\sum \frac{1}{k(k+1)}$, $\sum \frac{1}{k(k+r)}$ y sus generalizaciones con productos de más factores.

La idea del telescopaje

Una suma telescópica es una suma ∑k=1nf(k)\sum_{k=1}^n f(k) donde cada sumando f(k)f(k) puede escribirse como una diferencia f(k)=g(k+1)−g(k)f(k) = g(k+1) - g(k) para alguna función gg. Al expandir y cancelar términos intermedios, la suma colapsa: ∑k=1n(g(k+1)−g(k))=g(n+1)−g(1)\sum_{k=1}^n (g(k+1) - g(k)) = g(n+1) - g(1). Esta cancelación "en cascada" es la esencia del telescopaje.

Ejemplo fundamental: ∑k=1nk=∑k=1n(k+1)2−k2−12=(n+1)2−12−n2=n2+2n−n2=n(n+1)2\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \sum_{k=1}^n \frac{(k+1)^2 - k^2 - 1}{2} = \frac{(n+1)^2 - 1}{2} - \frac{n}{2} = \frac{n^2 + 2n - n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}. Aquí g(k)=k2/2g(k) = k^2/2 y la suma de kk se obtiene telescopando la diferencia de cuadrados. La fórmula 1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2} también se deduce de la PA, pero el telescopaje es el mecanismo subyacente.

El reconocimiento es la habilidad clave: cuando ves una suma y no identificas inmediatamente la forma telescópica, busca una función gg tal que g(k+1)−g(k)g(k+1) - g(k) coincida con el sumando. Para fracciones del tipo 1k(k+1)\dfrac{1}{k(k+1)}, la descomposición en fracciones parciales revela la estructura telescópica.

∑k=1n(g(k+1)−g(k))=g(n+1)−g(1)\sum_{k=1}^{n} \bigl(g(k+1) - g(k)\bigr) = g(n+1) - g(1)

Fracciones parciales y sumas telescópicas clásicas

La descomposición 1k(k+1)=1k−1k+1\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1} convierte la suma ∑k=1n1k(k+1)\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)} en una telescópica:

∑k=1n1k(k+1)=∑k=1n(1k−1k+1)=1−1n+1=nn+1\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.

Más general: 1k(k+r)=1r(1k−1k+r)\dfrac{1}{k(k+r)} = \dfrac{1}{r}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+r}\right), luego ∑k=1n1k(k+r)=1r(1+12+⋯+1r−1n+1−⋯−1n+r)\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+r)} = \dfrac{1}{r}\left(1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{n+1} - \cdots - \dfrac{1}{n+r}\right). Para r=2r = 2: ∑k=1n1k(k+2)=12(32−1n+1−1n+2)\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}\right).

Para productos de tres factores consecutivos: 1k(k+1)(k+2)=12(1k(k+1)−1(k+1)(k+2))\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k(k+1)} - \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right). Esto se telescopa a ∑k=1n1k(k+1)(k+2)=12(11⋅2−1(n+1)(n+2))=14−12(n+1)(n+2)\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1\cdot 2} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2(n+1)(n+2)}. El patrón generaliza: el denominador del telescopio siempre tiene un factor menos que el del sumando.

∑k=1n1k(k+1)=1−1n+1=nn+1\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}

Telescopaje con otras funciones: raíces y logaritmos

El telescopaje no se limita a fracciones racionales. Ejemplo con raíces: halla ∑k=1n1k+k+1\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}. Racionalizando: 1k+k+1=k+1−k(k+1)−k=k+1−k\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}. La suma telescopa: ∑k=1n(k+1−k)=n+1−1\displaystyle\sum_{k=1}^n (\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = \sqrt{n+1} - 1.

La racionalización del tipo 1a+b=a−ba−b\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b} convierte diferencias de raíces en la diferencia que telescopa. Esta técnica aparece en olimpiadas para sumas como 11+2+12+3+⋯+1n+n+1=n+1−1\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1} - 1.

Ejemplo con productos: ∑k=1nk⋅k!=∑k=1n((k+1)!−k!)=(n+1)!−1\displaystyle\sum_{k=1}^n k \cdot k! = \sum_{k=1}^n ((k+1)! - k!) = (n+1)! - 1. Aquí g(k)=k!g(k) = k! y k⋅k!=(k+1)k!−k!=(k+1)!−k!k \cdot k! = (k+1)k! - k! = (k+1)! - k!. La suma de k⋅k!k \cdot k! de k=1k=1 a nn es (n+1)!−1(n+1)! - 1.

Problema ONEM: calcula ∑k=220251k2−1\displaystyle\sum_{k=2}^{2025} \dfrac{1}{k^2-1}. Descomponemos: 1k2−1=1(k−1)(k+1)=12(1k−1−1k+1)\dfrac{1}{k^2-1} = \dfrac{1}{(k-1)(k+1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k+1}\right). Esta es una telescópica con salto 2: 12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(12024−12026)]=12(1+12−12025−12026)\displaystyle\dfrac{1}{2}\left[(1 - \dfrac{1}{3}) + (\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}) + (\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}) + \cdots + (\dfrac{1}{2024} - \dfrac{1}{2026})\right] = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2025} - \dfrac{1}{2026}\right).

∑k=1n1k+k+1=n+1−1\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{n+1} - 1

Estrategia general y problemas olímpicos de telescopaje

Estrategia para reconocer telescopajes: (1) Si el sumando es una fracción racional con denominador factorizable, usar fracciones parciales. (2) Si hay raíces en el denominador, racionalizar. (3) Si el sumando involucra factoriales o exponenciales, buscar g(k+1)/g(k)g(k+1)/g(k) constante. (4) Si el sumando es un producto, buscar la diferencia de antidiferencias.

Problema 1 (ONEM tipo): Simplifica 11⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯+1n(n+1)\displaystyle\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}. Por telescopaje: =1−1n+1=nn+1= 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}. Para n=99n = 99: 99100\dfrac{99}{100}.

Problema 2: Calcula ∑k=1nk(k+1)!\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{(k+1)!}. Observamos: k(k+1)!=(k+1)−1(k+1)!=1k!−1(k+1)!\dfrac{k}{(k+1)!} = \dfrac{(k+1) - 1}{(k+1)!} = \dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!}. Telescopando: ∑k=1n(1k!−1(k+1)!)=1−1(n+1)!\displaystyle\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!}\right) = 1 - \dfrac{1}{(n+1)!}.

Problema 3 (concurso): Prueba que ∑k=1n1k>2(n+1−1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}} > 2(\sqrt{n+1}-1) para n≥1n \geq 1. Usamos la desigualdad 1k>2k+k+1=2(k+1−k)\dfrac{1}{\sqrt{k}} > \dfrac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = 2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) (pues k<k+1\sqrt{k} < \sqrt{k+1} implica k<k+k+12\sqrt{k} < \dfrac{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}{2}, es decir k+k<k+k+1\sqrt{k}+\sqrt{k} < \sqrt{k}+\sqrt{k+1}). Sumando la desigualdad telescópica: ∑k=1n1k>2∑k=1n(k+1−k)=2(n+1−1)\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}} > 2\sum_{k=1}^n (\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = 2(\sqrt{n+1}-1). ✓

Problemas del Capítulo 4 — con solución

8 problemas verificados. Intenta cada uno antes de abrir la solución.

A1-4.1★

Los primeros tres términos de una progresión aritmética son 2,5,82, 5, 8. Halla la suma de los primeros 2020 términos.

A1-4.2★

Calcula la suma 11⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯+199⋅100\displaystyle\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{99 \cdot 100}.

A1-4.3★

La suma de los primeros nn términos de una sucesión es Sn=n2+3nS_n = n^2 + 3n. Halla el quinto término y la razón de la progresión aritmética.

A1-4.4★★

Sean a,b,ca, b, c tres números positivos distintos que forman una progresión geométrica y también satisfacen a+b+c=21a + b + c = 21 y a2+b2+c2=189a^2 + b^2 + c^2 = 189. Halla aa, bb y cc.

A1-4.5★★

Calcula ∑k=1n1k+k+1\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} y usa el resultado para demostrar que ∑k=120241k+k+1=2025−1=44\displaystyle\sum_{k=1}^{2024} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{2025} - 1 = 44.

A1-4.6★★

La sucesión {an}\{a_n\} satisface a1=1a_1 = 1, a2=5a_2 = 5 y an=5an−1−6an−2a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} para n≥3n \geq 3. Halla una fórmula cerrada para ana_n.

A1-4.7★★★

Prueba que para todo entero n≥1n \geq 1: 13+23+33+⋯+n3=(n(n+1)2)2\displaystyle 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.

A1-4.8★★★Problema estilo ONEM regional

Sea FnF_n el nn-ésimo número de Fibonacci (F1=F2=1F_1 = F_2 = 1, Fn=Fn−1+Fn−2F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}). Demuestra que F1+F2+⋯+Fn=Fn+2−1F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1 para todo n≥1n \geq 1, y calcula ∑k=110Fk\displaystyle\sum_{k=1}^{10} F_k.

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