Suma de potencias y fórmulas

Las fórmulas clásicas: suma de cuadrados y cubos

Las tres fórmulas fundamentales de suma de potencias son: $\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$, $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$. La última es notable: la suma de los primeros $n$ cubos es igual al cuadrado de la suma de los primeros $n$ enteros.

La suma de cuadrados $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ se puede derivar por inducción, o usando el telescopaje con $g(k) = k^3/3$: como $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$, se tiene $3k^2 = (k+1)^3 - k^3 - 3k - 1$. Sumando de $k=1$ a $n$: $3\displaystyle\sum k^2 = (n+1)^3 - 1 - 3\dfrac{n(n+1)}{2} - n$. Despejando: $\displaystyle\sum k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

La identidad de Nicomachus afirma que $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = (1+2+\cdots+n)^2$. Prueba visual: los cubos pueden organizarse en una cuadrícula de gnomones, cada L-ésimo "gnomón" contribuyendo $L^3$ unidades al cuadrado de lado $1+2+\cdots+L$. La prueba algebraica por inducción es directa: $\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3 = \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$ ✓.

El método de coeficientes indeterminados para sumas de potencias

Toda suma $\displaystyle S_m(n) = \sum_{k=1}^n k^m$ es un polinomio en $n$ de grado $m+1$ sin término constante (pues $S_m(0) = 0$). El método de coeficientes indeterminados consiste en escribir $S_m(n) = c_{m+1} n^{m+1} + c_m n^m + \cdots + c_1 n$ y usar identidades conocidas para hallar los coeficientes.

Para hallar $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2$, suponemos $S_2(n) = an^3 + bn^2 + cn$. Como $S_2(n) - S_2(n-1) = n^2$, expandiendo: $a(3n^2 - 3n + 1) + b(2n-1) + c = n^2$. Igualando: $3a = 1 \Rightarrow a = 1/3$; $-3a + 2b = 0 \Rightarrow b = 1/2$; $a - b + c = 0 \Rightarrow c = 1/6$. Así $S_2(n) = \dfrac{n^3}{3} + \dfrac{n^2}{2} + \dfrac{n}{6} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ✓.

El coeficiente líder de $S_m(n)$ siempre es $\dfrac{1}{m+1}$ (pues la suma se comporta asintóticamente como $\int_0^n x^m dx = \dfrac{n^{m+1}}{m+1}$). Para hallar los demás coeficientes se pueden usar las fórmulas de Bernoulli, pero en olimpiadas de nivel regional basta con los casos $m = 1, 2, 3$.

Sumas de potencias en problemas olímpicos

Desigualdades con sumas de potencias: una aplicación frecuente en ONEM es probar desigualdades como $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 > \dfrac{n^3}{3}$ o comparar $\displaystyle\sum k^p$ con integrales. Usando la fórmula exacta: $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \dfrac{n^3}{3} + \dfrac{n^2}{2} + \dfrac{n}{6} > \dfrac{n^3}{3}$ para todo $n \geq 1$ ✓.

**Suma de los cuadrados de los $n$ primeros impares:** $1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2$. Los impares son $2k-1$ para $k=1,\ldots,n$. La suma es $\displaystyle\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = 4\sum k^2 - 4\sum k + n = 4 \cdot \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} + n = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$.

Suma de los cubos de los impares: $1^3 + 3^3 + 5^3 + \cdots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2-1)$. Esto se puede verificar para $n=1$: $1 = 1 \cdot 1$ ✓; $n=2$: $1+27 = 28 = 4 \cdot 7$ ✓; $n=3$: $1+27+125=153 = 9 \cdot 17$ ✓. La demostración usa la identidad $\displaystyle\sum_{k=1}^n (2k-1)^3 = 8\sum k^3 - 12\sum k^2 + 6\sum k - n$.

Problema ONEM clásico: halla el valor de $\dfrac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 2025^2}{1 + 2 + 3 + \cdots + 2025}$. Numerador: $\dfrac{2025 \cdot 2026 \cdot 4051}{6}$. Denominador: $\dfrac{2025 \cdot 2026}{2}$. Cociente: $\dfrac{4051}{3} = \dfrac{2 \cdot 2025 + 1}{3} = \dfrac{2n+1}{3}$ con $n = 2025$. Respuesta: $\dfrac{4051}{3}$. En general, $\dfrac{\sum_{k=1}^n k^2}{\sum_{k=1}^n k} = \dfrac{2n+1}{3}$.

Combinando las técnicas: sumas mixtas

En olimpiadas aparecen sumas que combinan potencias, progresiones y factoriales. La clave es reducirlas a formas conocidas mediante álgebra. Por ejemplo: $\displaystyle\sum_{k=1}^n k(k+1) = \sum k^2 + \sum k = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$. Esto también se puede ver como $\displaystyle\sum k(k+1) = 2\sum \binom{k+1}{2} = 2 \binom{n+2}{3}$, que es la base de los números poligonales.

**Suma de la serie $\sum k \cdot r^k$:** con la técnica de diferenciación de una serie geométrica. Sea $S = \displaystyle\sum_{k=1}^n k r^k$. Entonces $rS = \displaystyle\sum_{k=1}^n k r^{k+1} = \sum_{k=2}^{n+1}(k-1)r^k$. Restando: $(1-r)S = \displaystyle\sum_{k=1}^n r^k - n r^{n+1} = r\dfrac{1-r^n}{1-r} - nr^{n+1}$. Luego $S = \dfrac{r(1-r^n)}{(1-r)^2} - \dfrac{nr^{n+1}}{1-r}$ para $r \neq 1$.

Resumen de fórmulas esenciales para ONEM: $\sum k = \dfrac{n(n+1)}{2}$; $\sum k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$; $\sum k^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$; $\sum k(k+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$; $\sum k(k+1)(k+2) = \dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$. El patrón del último es: el numerador es el producto de $r+1$ consecutivos empezando en $n$ subiendo, y el denominador es $r+1$, donde $r$ es el número de factores en cada sumando.