AM-GM avanzado y casos de igualdad

La desigualdad AM-GM: enunciado y demostración

La desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica (AM-GM) establece que para números reales no negativos $a_1, a_2, \ldots, a_n$:

$\dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$,

con igualdad si y solo si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$. El caso $n = 2$ es la identidad $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$, que expande a $a + b \geq 2\sqrt{ab}$. El caso $n = 3$ puede demostrarse a partir del caso $n = 2$: aplicando AM-GM a los pares $(a, b)$, $(b, c)$ y $(a, c)$ y multiplicando las tres desigualdades, se obtiene $(a+b)(b+c)(a+c) \geq 8abc$; la AM-GM de tres variables surge de esto junto con la desigualdad $a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$, que se prueba por el método de Cauchy (duplicación de variables).

La demostración de Cauchy por inducción hacia adelante y hacia atrás es elegante: primero se prueba para $n = 2^k$ por inducción en $k$, y luego se deduce el caso general $n$ a partir de $n+1$ añadiendo una variable igual a la media. En olimpiadas, sin embargo, basta conocer el enunciado y el caso de igualdad con precisión: $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$.

Casos de igualdad y sustituciones estratégicas

Identificar cuándo se alcanza la igualdad en AM-GM es tan importante como la desigualdad en sí. En muchos problemas, el objetivo es hallar el mínimo o máximo de una expresión sujeta a una restricción; la estrategia es:

(1) Escribir la expresión como suma de términos que, sumados, involucren la restricción. (2) Aplicar AM-GM de modo que la igualdad se alcance en un punto factible. (3) Verificar que ese punto satisface efectivamente la restricción.

Ejemplo: halla el mínimo de $f(x, y) = \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$ para $x, y > 0$. Por AM-GM: $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \geq 2\sqrt{\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{x}} = 2$. La igualdad se da cuando $\dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{x}$, es decir $x = y$. El mínimo es $2$.

Sustitución clásica con restricción $a + b + c = 1$: para minimizar $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$ sujeto a $a + b + c = 1$ con $a, b, c > 0$, aplicamos AM-GM: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq 3 \cdot \sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$. Pero es más directo usar AM-HM: $\dfrac{a+b+c}{3} \geq \dfrac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$, que da $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geq \dfrac{9}{a+b+c} = 9$. La igualdad se da en $a = b = c = 1/3$.

AM-GM con pesos y la forma potenciada

La AM-GM ponderada generaliza la desigualdad: si $w_1, w_2, \ldots, w_n > 0$ con $w_1 + w_2 + \cdots + w_n = 1$, entonces $w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n \geq a_1^{w_1} a_2^{w_2} \cdots a_n^{w_n}$, con igualdad si y solo si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$.

La AM-GM ponderada es útil para minimizar expresiones de la forma $pa + qb$ con restricción $a^\alpha b^\beta = C$. Por ejemplo, minimiza $2x + 3y$ sujeto a $x^2 y = 4$ con $x, y > 0$. Escribimos $2x = x + x$ y aplicamos AM-GM a tres términos con el peso adecuado: $\dfrac{x + x + 3y}{3} \geq \sqrt[3]{x \cdot x \cdot 3y} = \sqrt[3]{3x^2 y} = \sqrt[3]{12}$. Luego $2x + 3y \geq 3\sqrt[3]{12}$. Igualdad cuando $x = x = 3y$, es decir $y = 2x/3$; junto con $x^2 y = 4$: $x^2 \cdot \frac{2x}{3} = 4 \Rightarrow x^3 = 6 \Rightarrow x = \sqrt[3]{6}$.

Otro truco: para probar $a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc$ con $a, b, c \geq 0$, basta aplicar AM-GM a $a^3, b^3, c^3$: $\dfrac{a^3 + b^3 + c^3}{3} \geq \sqrt[3]{a^3 b^3 c^3} = abc$. Esto también se sigue de la factorización $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = \dfrac{1}{2}(a+b+c)\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right] \geq 0$.

Aplicaciones olímpicas avanzadas de AM-GM

Problema 1 (ONEM tipo): Sea $a, b, c > 0$ con $abc = 1$. Prueba que $a + b + c \geq 3$. Aplicando AM-GM directamente: $\dfrac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} = 1$, luego $a+b+c \geq 3$. La igualdad se da cuando $a = b = c = 1$.

Problema 2: Halla el mínimo de $\dfrac{x^2+1}{x}$ para $x > 0$. Escribimos $\dfrac{x^2+1}{x} = x + \dfrac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$. Igualdad cuando $x = 1/x$, es decir $x = 1$. Mínimo: $2$.

Problema 3 (clásico olímpico): Si $a, b, c > 0$ y $a + b + c = 3$, prueba que $a^2 b + b^2 c + c^2 a \leq \dfrac{27}{4}$. Esta desigualdad NO es simétrica; la igualdad no se da en $a = b = c$. El punto de igualdad es $(a, b, c) = (3/2, 3/2, 0)$ (en el límite). Para la prueba, se puede usar AM-GM en la forma $a^2 b \leq \left(\dfrac{2a + b}{3}\right)^3 \cdot \dfrac{27}{4}$ (que se verifica por AM-GM ponderada con pesos $2/3$ y $1/3$), luego sumar ciclicamente; sin embargo la estimación resulta no ser lo suficientemente ajustada por la asimetría, y se requiere otro enfoque (SOS o Schur). Este problema ilustra que AM-GM no siempre es suficiente y prepara el terreno para las técnicas del Capítulo 5.

Regla de oro: cuando aplicas AM-GM a una suma con restricción, asegúrate de que el punto de igualdad ($a_1 = \cdots = a_n$) sea compatible con la restricción. Si no lo es, AM-GM da una cota que no se alcanza y el mínimo real puede ser mayor que el obtenido.