Estrategia para desigualdades difíciles

El algoritmo de ataque para desigualdades

Ante una desigualdad olímpica, el primer paso siempre es encontrar el caso de igualdad: sustituye $a = b = c$ (o el punto simétrico natural) y verifica que la desigualdad se convierte en igualdad. Si no, prueba puntos del borde ($c = 0$, $a = b$, etc.). Conocer el punto de igualdad guía la elección de la herramienta.

El segundo paso es normalizar: si la desigualdad es homogénea de grado $k$ (es decir, escalar todas las variables por $\lambda$ multiplica ambos lados por $\lambda^k$), puedes imponer $a + b + c = 1$ o $a + b + c = 3$ o $abc = 1$ sin pérdida de generalidad. Si no es homogénea, verifica si una sustitución la homogeneiza.

El tercer paso es elegir la herramienta: si el punto de igualdad es $a = b = c$, prueba AM-GM o Cauchy-Schwarz. Si el punto de igualdad tiene una variable nula ($c = 0$, $a = b$), considera Schur. Si hay un producto de sumas, prueba Cauchy-Schwarz. Si hay permutaciones o sumas cíclicas con un orden natural, prueba rearrangement o Chebyshev.

El cuarto paso, cuando todo lo anterior falla, es SOS (Sum of Squares): escribir $f(a,b,c) - \text{cota}$ como una suma de cuadrados o una suma de términos claramente no negativos. Esta técnica siempre funciona (por Hilbert, toda desigualdad homogénea no negativa de grado $\leq 4$ es SOS), pero puede ser algebraicamente pesada.

Cauchy-Schwarz: la herramienta de los productos de sumas

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para reales $a_1, \ldots, a_n$ y $b_1, \ldots, b_n$:

$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2$,

con igualdad si y solo si las secuencias son proporcionales: $a_i = \lambda b_i$ para algún $\lambda$. La demostración estándar: el discriminante del polinomio $f(t) = \sum (a_i t + b_i)^2 = t^2 \sum a_i^2 + 2t \sum a_i b_i + \sum b_i^2 \geq 0$ debe ser $\leq 0$.

La forma de Engel (o Titu, o de las fracciones): $\displaystyle\dfrac{a_1^2}{x_1} + \dfrac{a_2^2}{x_2} + \cdots + \dfrac{a_n^2}{x_n} \geq \dfrac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2}{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}$, con $x_i > 0$. Esta forma es especialmente útil para sumas de fracciones en problemas olímpicos.

Ejemplo: prueba que $\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} \geq a + b + c$ para $a, b, c > 0$. Por Cauchy-Schwarz (Engel): $\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{b+c+a} = a + b + c$. ✓ La igualdad se da cuando $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a}$, es decir $a = b = c$.

Técnica SOS y sustituciones normalizadoras

La técnica SOS (Suma de Cuadrados) consiste en escribir la diferencia $L - R$ (donde $L \geq R$ es lo que queremos probar) como una combinación no negativa de cuadrados: $L - R = \sum_{i,j} c_{ij}(a_i - a_j)^2$ con $c_{ij} \geq 0$. Si lo logramos, la desigualdad es evidente.

Ejemplo: prueba que $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$. SOS: $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \dfrac{1}{2}\left[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\right] \geq 0$. ✓

Ejemplo más difícil: prueba que $a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2$ para $a, b, c \in \mathbb{R}$. SOS: $a^4 + b^4 + c^4 - a^2 b^2 - b^2 c^2 - c^2 a^2 = \dfrac{1}{2}\left[(a^2-b^2)^2 + (b^2-c^2)^2 + (c^2-a^2)^2\right] \geq 0$. ✓

La **sustitución $a = y + z$, $b = x + z$, $c = x + y$** (con $x, y, z \geq 0$) es una normalización clásica para desigualdades con lados de triángulo ($a + b > c$, etc.) y convierte las desigualdades simétricas en expresiones en $x, y, z$ sin restricciones de desigualdad entre ellos, lo que facilita el SOS.

Problemas olímpicos con estrategia completa

Problema 1 (ONEM tipo, dificultad 2): Sea $a, b, c > 0$ con $a + b + c = 1$. Prueba que $\dfrac{a}{1-a} + \dfrac{b}{1-b} + \dfrac{c}{1-c} \geq \dfrac{3}{2}$. Estrategia: $1 - a = b + c$, luego el lado izquierdo es $\sum \dfrac{a}{b+c}$. Por Cauchy-Schwarz (Engel): $\sum \dfrac{a^2}{a(b+c)} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)} = \dfrac{1}{2(ab+bc+ca)} \geq \dfrac{1}{2 \cdot 1/3} = \dfrac{3}{2}$. ✓ Igualdad en $a = b = c = 1/3$.

Problema 2 (dificultad 3): Prueba que para $a, b, c \geq 0$: $\sqrt{a(a+b-c)} + \sqrt{b(b+c-a)} + \sqrt{c(c+a-b)} \leq a + b + c$. Estrategia: por Cauchy-Schwarz, $\left(\sum \sqrt{a(a+b-c)}\right)^2 \leq (a+b+c)\left(\sum (a+b-c)\right) = (a+b+c)(a+b+c) = (a+b+c)^2$. Tomando raíz cuadrada: $\sum \sqrt{a(a+b-c)} \leq a+b+c$. ✓ (válido siempre que cada término bajo la raíz sea $\geq 0$).

Problema 3 (síntesis): Sea $a, b, c > 0$. Halla el mínimo de $\dfrac{(a+b+c)^3}{abc}$. Por AM-GM: $a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$, luego $(a+b+c)^3 \geq 27 abc$, así $\dfrac{(a+b+c)^3}{abc} \geq 27$. La igualdad se da en $a = b = c$. Mínimo: $27$.

Consejo final para ONEM: cuando el tiempo apremia, intenta primero Cauchy-Schwarz (Engel) sobre las fracciones. Si no funciona, intenta AM-GM con agrupación adecuada. Si el punto de igualdad no es el simétrico, agrega Schur. La combinación de estas tres herramientas resuelve la gran mayoría de desigualdades de nivel regional.