Ecuaciones funcionales básicas

¿Qué es una ecuación funcional?

Una ecuación funcional es una ecuación en la que la incógnita es una función $f$, en lugar de un número. La condición debe cumplirse para todos los valores de las variables en un dominio especificado.

Ejemplo simple: halla todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos $x, y \in \mathbb{R}$. Aquí $f$ es lo que buscamos; la ecuación impone una relación que $f$ debe respetar para todo par $(x, y)$.

En olimpiadas de nivel ONEM regional, las ecuaciones funcionales aparecen con dominio $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}^+$ o $\mathbb{N}$. Los problemas piden: (a) hallar todas las funciones que satisfacen la ecuación, (b) demostrar que no existe ninguna, o (c) determinar el valor de $f$ en un punto específico.

La estrategia central siempre comienza con sustituciones especiales: elige valores concretos de $x$ e $y$ que simplifiquen la ecuación y revelen propiedades de $f$ (valor en $0$, comportamiento en negativos, periodicidad, inyectividad, etc.).

La ecuación de Cauchy: $f(x+y) = f(x) + f(y)$

La ecuación de Cauchy es la ecuación funcional más clásica. Para $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, si $f(x+y) = f(x) + f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$, entonces:

Paso 1 — Valor en cero: sustituye $x = y = 0$: $f(0) = f(0) + f(0) = 2f(0)$, luego $f(0) = 0$.

Paso 2 — Números enteros: sustituye $y = x$: $f(2x) = 2f(x)$. Por inducción, $f(nx) = nf(x)$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Con $x = y = -x$: $0 = f(0) = f(x) + f(-x)$, luego $f(-x) = -f(x)$ (función impar). Extendemos a $\mathbb{Z}$: $f(nx) = nf(x)$ para $n \in \mathbb{Z}$.

Paso 3 — Racionales: sea $x = p/q$ con $p, q \in \mathbb{Z}$, $q > 0$. Entonces $qf(p/q) = f(q \cdot p/q) = f(p) = pf(1)$, luego $f(p/q) = \frac{p}{q} f(1)$. Es decir, $f(x) = cx$ para todo $x \in \mathbb{Q}$, con $c = f(1)$.

**Sobre $\mathbb{R}$:** sin hipótesis adicionales, existen soluciones "patológicas" de Cauchy que no son lineales (no medibles, no acotadas en ningún intervalo). En olimpiadas, el problema siempre añade una hipótesis extra: $f$ es monótona, continua, o acotada en algún intervalo. Bajo cualquiera de estas condiciones, la única solución es $f(x) = cx$ con $c \in \mathbb{R}$.

Ecuaciones funcionales multiplicativas y exponenciales

La ecuación $f(xy) = f(x) + f(y)$ (para $x, y > 0$) caracteriza a los logaritmos: la única solución continua y no trivial es $f(x) = c \log x$ para algún $c \neq 0$. La sustitución $x = y = 1$ da $f(1) = 0$; con $y = x$: $f(x^2) = 2f(x)$.

La ecuación $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$ caracteriza a las exponenciales: si $f$ no es idénticamente cero, entonces $f(0) = 1$ (pon $x = y = 0$: $f(0) = f(0)^2$, luego $f(0) = 0$ o $f(0) = 1$; si $f(0) = 0$, entonces $f(x) = f(x+0) = f(x)f(0) = 0$ para todo $x$, caso trivial). La única solución continua no trivial es $f(x) = a^x$ con $a > 0$, $a \neq 1$.

La ecuación $f(xy) = f(x) \cdot f(y)$ (para $x, y > 0$) caracteriza a las funciones potencia: la solución continua es $f(x) = x^c$ para algún $c \in \mathbb{R}$. Sustituyendo $x = y = 1$: $f(1) = f(1)^2$, luego $f(1) = 0$ o $f(1) = 1$; la solución no trivial tiene $f(1) = 1$.

Estas tres familias (lineal, logarítmica, exponencial, potencia) aparecen reiteradamente en ONEM. Memorizarlas permite "adivinar" la solución y luego verificarla.

Sustituciones estratégicas: técnica de extracción de información

El primer movimiento ante cualquier ecuación funcional es hacer sustituciones especiales para revelar propiedades de $f$. Las más útiles:

(1) $x = y = 0$: revela $f(0)$. (2) $y = 0$ (o $x = 0$): relaciona $f(x)$ con $f(0)$. (3) $y = -x$: revela $f(-x)$ en términos de $f(x)$ y $f(0)$. (4) $y = x$: relaciona $f(2x)$ con $f(x)$. (5) Intercambiar $x$ e $y$: revela simetría o antisimetría.

Ejemplo: Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)$ para todo $x, y$. Esto es la ecuación funcional del coseno. Con $x = y = 0$: $2f(0) = 2f(0)^2$, luego $f(0) = 0$ o $f(0) = 1$. Con $x = 0$: $f(y) + f(-y) = 2f(0)f(y)$; si $f(0) = 1$, entonces $f(y) + f(-y) = 2f(y)$, es decir $f(-y) = f(y)$ ($f$ es par). La solución trigonométrica es $f(x) = \cos(cx)$; la solución hiperbólica es $f(x) = \cosh(cx)$; y también $f \equiv 0$ (con $f(0) = 0$).

Regla práctica: **nunca declares "la única solución es $f(x) = \ldots$" sin verificar** que esa función efectivamente satisface la ecuación original. Y nunca olvides el caso de la función identicamente nula.