Técnicas de sustitución

Extraer inyectividad y sobreyectividad de la ecuación

Muchas ecuaciones funcionales revelan que $f$ es inyectiva (uno a uno) o sobreyectiva (sobre) incluso sin afirmarlo explícitamente. Reconocer esto permite simplificar la ecuación cancelandovalores de $f$.

Inyectividad por cancelación: si de la ecuación se puede deducir que $f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$, entonces $f$ es inyectiva. Por ejemplo, si $f(f(x)) = x$ (involutiva), entonces $f$ es inyectiva: $f(a) = f(b) \Rightarrow f(f(a)) = f(f(b)) \Rightarrow a = b$.

Sobreyectividad: si para cada $z$ en el codominio existe $x$ tal que $f(x) = z$, entonces $f$ es sobre. Para demostrarlo a partir de la ecuación, a menudo se fija $z$ y se resuelve la ecuación para $x$ en términos de $z$.

Ejemplo: sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x + f(y)) = f(x) + y$ para todo $x, y$. Con $x = 0$: $f(f(y)) = f(0) + y$. Esto muestra que $f$ es inyectiva (cancelar $f$: $f(y_1) = f(y_2) \Rightarrow f(f(y_1)) = f(f(y_2)) \Rightarrow y_1 = y_2$) y sobreyectiva (dado $z$, la ecuación $f(0) + y = z$ tiene solución $y = z - f(0)$, y entonces $f(f(y)) = z$). Además, $f(f(y)) = y + c$ con $c = f(0)$. Sustituyendo de vuelta: la solución es $f(x) = x + c$ con $c = 0$ o $c =$ valor determinado por consistencia.

La técnica de "fijar una variable y variar la otra"

Una de las técnicas más sistemáticas es **fijar $y$ y ver la ecuación como condición sobre $x$**, o viceversa. Esto convierte la ecuación funcional en una familia de ecuaciones donde uno de los argumentos es un parámetro.

Ejemplo: sea $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tal que $f(xf(y)) = yf(x)$ para todo $x, y > 0$. Fijamos $x = 1$: $f(f(y)) = yf(1)$. Sea $c = f(1)$; entonces $f(f(y)) = cy$. Ahora aplicamos $f$ a ambos lados: $f(f(f(y))) = f(cy)$. Pero también $f(f(f(y))) = c \cdot f(y)$ (aplicando la relación $f(f(t)) = ct$ con $t = f(y)$). Luego $f(cy) = cf(y)$. Esto junto con $f(xf(y)) = yf(x)$ y $f(f(y)) = cy$ determina la solución $f(x) = c/x$ (función recíproca escalada). Verificación: $f(xf(y)) = f(x \cdot c/y) = \frac{c}{xc/y} = \frac{y}{x}$ y $yf(x) = y \cdot c/x = yc/x$. Coinciden solo si $c = 1$, es decir $f(x) = 1/x$.

La clave es acumular relaciones entre $f$ en distintos puntos hasta poder determinarla completamente o reducirla a una ecuación más simple.

Introducción de funciones auxiliares

A veces conviene **sustituir $f$ por una función auxiliar** $g$ para simplificar la ecuación. Las transformaciones más comunes:

(a) Traslación del argumento: si la ecuación tiene $f(x + a)$, define $g(x) = f(x + a)$ para centrar la ecuación en $0$.

(b) Cambio multiplicativo: si la ecuación involucra $f(cx)$, define $g(x) = f(e^x)$ para convertir multiplicaciones en sumas (útil cuando el dominio es $\mathbb{R}^+$).

(c) Cociente: si se sospecha que $f$ es lineal, define $g(x) = f(x) - f(0) - xf'(0)$ (si los derivados existen) para reducir al caso homogéneo.

Ejemplo con función auxiliar: $f(x+1) - f(x) = 2x + 1$ para todo $x \in \mathbb{Z}$. Esto es una ecuación en diferencias. Define $g(x) = f(x) - x^2$; entonces $g(x+1) = f(x+1) - (x+1)^2 = f(x) + 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = f(x) - x^2 = g(x)$. Luego $g$ es periódica de período $1$, es decir constante en los enteros: $g(x) = c$. Por tanto $f(x) = x^2 + c$ para todo $x \in \mathbb{Z}$.

Sistemas con dos funciones desconocidas

Algunos problemas piden hallar dos funciones $f$ y $g$ relacionadas por una ecuación (o sistema). La estrategia es eliminar una de las funciones mediante sustituciones inteligentes.

Ejemplo: sean $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $f(x+y) = f(x)g(y) + g(x)f(y)$ y $g(x+y) = g(x)g(y) - f(x)f(y)$ para todo $x, y$. Reconocemos las fórmulas de adición del seno y coseno: $f = \sin$ y $g = \cos$ satisfacen estas ecuaciones (con la escala apropiada). Con $x = y = 0$: $f(0) = 2f(0)g(0)$ y $g(0) = g(0)^2 - f(0)^2$. Si $f(0) = 0$ y $g(0) = 1$ (caso trigonométrico), la ecuación es consistente. Calculando $f(x)^2 + g(x)^2$: $[f(x)^2 + g(x)^2][f(y)^2 + g(y)^2] = [f(x)g(y)+g(x)f(y)]^2 + [g(x)g(y)-f(x)f(y)]^2 = f(x+y)^2 + g(x+y)^2$. Luego $h(x) = f(x)^2 + g(x)^2$ satisface $h(x+y) = h(x)h(y)$ y (si es continua) $h(x) = e^{cx}$. Si además $h(0) = 1$, entonces $c = 0$ y $f(x)^2 + g(x)^2 = 1$ para todo $x$.

Principio general: cuando la ecuación recuerda a una identidad trigonométrica, algebraica o logarítmica conocida, prueba la función sugerida y verifica.