Funciones monótonas y paridad

Monotonía como hipótesis determinante

En muchas ecuaciones funcionales sobre $\mathbb{R}$, la ecuación por sí sola tiene infinitas soluciones (por ejemplo, la ecuación de Cauchy). Añadir la hipótesis de monotonía elimina las soluciones patológicas y deja una única familia.

Teorema fundamental: si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisface $f(x+y) = f(x) + f(y)$ y $f$ es monótona (creciente o decreciente), entonces $f(x) = cx$ para algún $c \in \mathbb{R}$.

Demostración esquemática: ya sabemos que $f(x) = cx$ para $x \in \mathbb{Q}$. Para $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$: sea $x$ irracional y supongamos $f(x) > cx$ (el caso $f(x) < cx$ es análogo). Elige una secuencia de racionales $r_n \nearrow x$; como $r_n < x$ y $f$ es creciente, $f(r_n) \leq f(x)$. Pero $f(r_n) = cr_n \to cx$. Si $f(x) > cx$, elige $r > x$ racional con $cr < f(x)$; entonces $f(r) = cr < f(x)$, contradiciendo la monotonía ($r > x$ implica $f(r) \geq f(x)$). Luego $f(x) = cx$.

La misma idea funciona reemplazando monotonía por "acotado en algún intervalo", "medible", "continuo en un punto", etc.

Funciones pares e impares en ecuaciones funcionales

Una función $f$ es par si $f(-x) = f(x)$ para todo $x$, e impar si $f(-x) = -f(x)$ para todo $x$. Identificar la paridad a partir de la ecuación funcional es a menudo el primer paso productivo.

Técnica estándar: si la ecuación es $P(x, y)$, escribe también la ecuación $P(x, -y)$, $P(-x, y)$ y $P(-x, -y)$. Suma o resta estas versiones para obtener información sobre $f(x) + f(-x)$ o $f(x) - f(-x)$.

Ejemplo: $f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$. Con $x = 0$: $f(y) + f(-y) = 2f(0)$. Si definimos $c = f(0)$ y $g(x) = f(x) - c$, entonces $g(y) + g(-y) = 0$, es decir $g$ es impar. Reemplazando en la ecuación: $g(x+y) + g(x-y) = 2g(x)$. Con $y = x$: $g(2x) + g(0) = 2g(x)$, luego $g(2x) = 2g(x)$. Esto junto con la imparidad y la ecuación son las condiciones de Cauchy sobre los impares, lo que (bajo monotonía) da $g(x) = cx$, es decir $f(x) = cx + f(0)$ (lineal afín).

Descomposición par-impar: toda función $f$ se escribe como $f = f_e + f_o$ donde $f_e(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ es par y $f_o(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$ es impar. Sustituir en la ecuación y separar las partes par e impar da dos ecuaciones más simples.

Funciones monótonas en dominios discretos

En dominios discretos como $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{N}$, la monotonía tiene un sabor diferente: $f$ es creciente si $n > m \Rightarrow f(n) \geq f(m)$ (o estrictamente). En este contexto, las ecuaciones funcionales suelen tener soluciones más rígidas.

Ejemplo (nivel ONEM): halla todas las funciones $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ estrictamente crecientes con $f(f(n)) = 3n$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Observamos: $f(f(1)) = 3$, luego si $f(1) = k$, entonces $f(k) = 3$. Como $f$ es estrictamente creciente y $f(f(1)) = 3 > f(1) = k$ implicaría $f(k) > k$ (por monotonía aplicada a $f(f(1)) > f(1)$): $f(3) > f(k)$... Razonando por intervalos, se puede demostrar que $f(n) =$ la función que en base 3 "sube" un dígito: si $3^k \leq n < 2 \cdot 3^k$, entonces $f(n) = n + 3^k$; si $2 \cdot 3^k \leq n < 3^{k+1}$, entonces $f(n) = 3(n - 3^k)$. Verificación: $f(1) = 2$, $f(2) = 3$, $f(3) = 6$, $f(6) = 9 = 3 \cdot 3$. ✓

La idea clave en dominios discretos: la monotonía acota fuertemente cuántos valores puede tomar $f$ en un intervalo, lo que combinado con las relaciones funcionales determina $f$ completamente en cada rango.

Incompatibilidad: ecuaciones sin soluciones monótonas

A veces se pide demostrar que no existe función monótona que satisfaga cierta ecuación. La estrategia es asumir monotonía y derivar una contradicción.

Ejemplo: prueba que no existe función monótona $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x^2) = f(x)^2 - 1$ para todo $x$. Con $x = 0$: $f(0) = f(0)^2 - 1$, luego $f(0)^2 - f(0) - 1 = 0$, así $f(0) = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Con $x = 1$: $f(1) = f(1)^2 - 1$, luego $f(1) = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Con $x = -1$: $f(1) = f(-1)^2 - 1$ (pues $(-1)^2 = 1$). Luego $f(-1)^2 = f(1) + 1 = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Para $f$ monótona, $f(-1) \leq f(0) \leq f(1)$ o la cadena inversa. Pero también $f(-1)^2 = f(1) + 1$, y si $f(1) = \frac{1-\sqrt{5}}{2} < 0$, entonces $f(1) + 1 = \frac{3-\sqrt{5}}{2} > 0$, consistente. Sin embargo, con $x \to \infty$ la ecuación $f(x^2) = f(x)^2 - 1$ impone que $f$ crece cuadráticamente en la imagen, lo que contradice la monotonía real acotada. Un análisis más cuidadoso produce la contradicción.

Principio: para demostrar inexistencia, busca dos puntos $a < b$ tales que la ecuación obligue simultáneamente $f(a) > f(b)$ y $f(a) < f(b)$, contradiciendo la monotonía.