Simulacro 1: 4 problemas tipo ONEM Álgebra

Instrucciones del simulacro

Este simulacro replica el formato de la ronda regional de la ONEM (Olimpiada Nacional Escolar de Matemática del Perú): cuatro problemas de álgebra de dificultad creciente, con un tiempo sugerido de 60 minutos (15 min por problema).

El objetivo es practicar el proceso completo: identificar el primer movimiento, explorar casos pequeños, redactar la solución con todos los casos cubiertos y formular la conclusión explícita.

Después de intentar cada problema de forma independiente, analiza qué herramientas usaste (desigualdad AM-GM, sustitución en ecuación funcional, recurrencia lineal, etc.) y cómo los organizarías en la redacción final.

Problema 1 (Nivel 1): Desigualdad básica

Problema A1. Sean $a, b, c > 0$ con $a + b + c = 3$. Demuestra que $a^2 + b^2 + c^2 \ge 3$.

Primer movimiento. Reconocemos la desigualdad cuadrática clásica. Usamos la identidad $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$.

Solución. De la AM-QM o de la desigualdad de Cauchy-Schwarz: $(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)$ (desigualdad de Cauchy con $\vec{u} = (1,1,1)$, $\vec{v} = (a,b,c)$). Luego $9 = (a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)$, así $a^2+b^2+c^2 \ge 3$.

Igualdad cuando $a = b = c = 1$.

Problema 2 (Nivel 1-2): Polinomio con raíces enteras

Problema A2. El polinomio $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ tiene tres raíces enteras. Encuéntralas y verifica que su suma es $6$, su suma de productos de pares es $11$, y su producto es $6$.

Exploración. Por el teorema de la raíz racional, las raíces enteras deben dividir al término independiente $6$: candidatos $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. $P(1) = 1-6+11-6 = 0$. ✓. $P(2) = 8-24+22-6 = 0$. ✓. $P(3) = 27-54+33-6 = 0$. ✓.

Verificación por Vieta. Raíces $r_1 = 1, r_2 = 2, r_3 = 3$. Suma: $1+2+3=6$ ✓. Suma de pares: $1\cdot2+1\cdot3+2\cdot3=2+3+6=11$ ✓. Producto: $1\cdot2\cdot3=6$ ✓.

Problema 3 (Nivel 2): Sucesión con recurrencia

Problema A3. Sea $\{a_n\}$ la sucesión definida por $a_1 = 1$, $a_2 = 3$, y $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ para $n \ge 1$. Calcula $a_6$ y halla la fórmula cerrada de $a_n$.

Cálculo de términos. $a_3 = 3 + 2(1) = 5$, $a_4 = 5+2(3)=11$, $a_5 = 11+2(5)=21$, $a_6 = 21+2(11)=43$.

Ecuación característica. $r^2 = r + 2$, es decir $r^2 - r - 2 = 0 = (r-2)(r+1)$. Raíces: $r_1 = 2$, $r_2 = -1$. Solución general: $a_n = A \cdot 2^n + B(-1)^n$.

Con $a_1 = 1$: $2A - B = 1$. Con $a_2 = 3$: $4A + B = 3$. Sumando: $6A = 4$, luego $A = 2/3$ y $B = 4A - 3 = -1/3$.

$a_n = \dfrac{2^{n+1} - (-1)^n}{3}$. Verificación: $a_6 = (2^7 - 1)/3 = 127/3$... error. $(-1)^6 = 1$, así $a_6 = (2^7 - 1)/3 = 127/3$. Pero $a_6 = 43$, que es $129/3$. Corrección: $a_6 = (2 \cdot 2^6 - (-1)^6)/3 = (128-1)/3 = 127/3$. Revisamos: $a_1 = (4-(-1))/3 = 5/3 \neq 1$. Recalculamos: $2A - B = 1$ y $4A + B = 3$, suma $6A = 4$, $A = 2/3$, $B = 2A - 1 = 4/3 - 1 = 1/3$. Verificar $a_2$: $4(2/3) + (1/3)(-1)^2 = 8/3 + 1/3 = 3$. ✓. $a_1 = 2(2/3) + (1/3)(-1) = 4/3 - 1/3 = 1$. ✓. $a_n = \frac{2}{3} \cdot 2^n + \frac{1}{3}(-1)^n = \frac{2^{n+1}+(-1)^n}{3}$.

$a_6 = (2^7 + 1)/3 = 129/3 = 43$. ✓

Problema 4 (Nivel 2): Desigualdad con tres variables

Problema A4. Sean $x, y, z > 0$. Demuestra que $\dfrac{x}{y+z} + \dfrac{y}{z+x} + \dfrac{z}{x+y} \ge \dfrac{3}{2}$.

Solución (método Nesbitt con AM-HM). Llamemos $S = x + y + z$. Entonces $\dfrac{x}{y+z} = \dfrac{x}{S-x}$. Observamos que $\dfrac{x}{y+z} = \dfrac{x}{S-x} = \dfrac{S}{S-x} - 1$.

Luego la suma es $\left(\dfrac{S}{y+z}+\dfrac{S}{z+x}+\dfrac{S}{x+y}\right) - 3 = S\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{x+y}\right) - 3$.

Por AM-HM: $\dfrac{(y+z)+(z+x)+(x+y)}{3} \ge \dfrac{3}{\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}}$, es decir $\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{x+y} \ge \dfrac{9}{2S}$.

Así la suma $\ge S \cdot \dfrac{9}{2S} - 3 = \dfrac{9}{2} - 3 = \dfrac{3}{2}$. ✓. Igualdad cuando $x = y = z$.