Lección 1.1: AM-GM y sus generalizaciones: la herramienta que decide olimpiadas — Espinoza Olimpiadas

El problema que lo pide todo

En la Olimpiada Iberoamericana de 2005, el problema de álgebra pedía: sean $a, b, c$ números reales positivos con $a + b + c = 1$ . Demuestra que $\left(a + \dfrac{1}{b}\right)\left(b + \dfrac{1}{c}\right)\left(c + \dfrac{1}{a}\right) \ge \dfrac{1000}{27}$ .

Si no conoces AM-GM, puedes pasarte horas sin saber por dónde entrar. Si lo conoces bien — si sabes exactamente cuándo y cómo aplicarlo — ves la solución en tres líneas. La desigualdad media aritmética-media geométrica no es un truco: es la columna vertebral de toda la teoría de desigualdades olímpicas. Dominarla no es opcional.

En este problema, la restricción $a+b+c=1$ fija la suma. El producto del lado izquierdo involucra términos mixtos de la forma $x + 1/y$ . La clave es reescribir cada factor como $a + 1/b = (a + b + c)/b + a/b \cdot (\text{algo})$ — no, esa no es la ruta. La ruta es AM-GM directamente sobre cada factor: $a + 1/b \ge 2\sqrt{a/b}$ . Tres aplicaciones, un producto, y la restricción cierra todo.

Antes de ver esa solución en detalle (en los problemas del capítulo), necesitamos construir el fundamento matemático correcto. Con raíces bien entendidas, los problemas de nivel Iberoamericana se convierten en rutina.

Enunciado formal y demostración por inducción

Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales positivos. La desigualdad media aritmética-media geométrica (AM-GM) afirma:

La demostración por inducción es elegante. El caso base $n=2$ se reduce a $(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2 \ge 0$ , que al expandirse da $a_1 + a_2 \ge 2\sqrt{a_1 a_2}$ . Esto es cierto pues el cuadrado de cualquier real es no negativo.

Para el paso inductivo usamos una técnica de Cauchy llamada inducción hacia adelante y hacia atrás. Primero se demuestra el caso $n=2^k$ (inducción hacia adelante): dado el caso $n$ , el caso $2n$ sigue de aplicar AM-GM dos veces en grupos de $n$ y luego AM-GM de dos términos al resultado. Luego se demuestra que si AM-GM vale para $n+1$ variables, también vale para $n$ (inducción hacia atrás): se fija $a_{n+1} = (a_1+\cdots+a_n)/n = A$ (la media aritmética de las otras $n$ ) y se aplica AM-GM de $n+1$ términos. El álgebra colapsa limpiamente en el resultado buscado.

Otra demostración directa usa la desigualdad de Jensen con la función cóncava $f(x)=\ln x$ : $\frac{1}{n}\sum \ln a_i \le \ln\left(\frac{1}{n}\sum a_i\right)$ , que al exponenciar da AM-GM. Esta vía es más corta pero presupone convexidad, que estudiaremos en el Capítulo 5.

\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}

La condición de igualdad: el corazón de todo

La igualdad en AM-GM se alcanza si y solo si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ . Este resultado no es un detalle técnico: en olimpiadas, la condición de igualdad es tan importante como la desigualdad misma. Si encuentras el punto donde se alcanza la igualdad, puedes verificar que tu cota es la mejor posible — y si la igualdad nunca se alcanza bajo la restricción del problema, algo está mal en tu enfoque.

Procedimiento estándar en olimpiadas: (1) aplica AM-GM y obtén una cota inferior para la expresión; (2) pregunta cuándo se cumple la igualdad; (3) verifica que ese punto satisface la restricción del problema. Si el punto de igualdad no satisface la restricción, tu cota no es alcanzable y debes buscar una ruta diferente.

Ejemplo concreto: demostrar que para $x, y > 0$ con $x+y=2$ , se tiene $x^2+y^2 \ge 2$ . Por AM-GM, $x^2+y^2 \ge 2\sqrt{x^2 y^2} = 2xy$ . La igualdad requiere $x^2=y^2$ , es decir $x=y=1$ , que satisface $x+y=2$ . Pero la ruta más natural aquí es AM-GM sobre $x^2+y^2$ y $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=4$ : de $x^2+y^2 \ge 2xy$ sumamos $2xy$ a ambos lados: $4=x^2+2xy+y^2 \ge 4xy$ , luego $xy \le 1$ y $x^2+y^2 = 4-2xy \ge 2$ . Igualdad en $x=y=1$ . Correcto.

El error más común es obtener una cota válida pero con igualdad fuera del dominio del problema. Si pides $a,b,c>0$ con $abc=1$ y aplicas AM-GM obteniendo igualdad en $a=b=c=1$ , debes verificar que $(1,1,1)$ satisfaga $abc=1$ . Lo hace. Si la restricción fuera $abc=2$ , la igualdad se movería a $a=b=c=\sqrt[3]{2}$ — no olvides escalar.

La técnica de normalización

Muchos problemas olímpicos presentan restricciones del tipo $a+b+c=s$ (suma fija) o $abc=p$ (producto fijo). La normalización consiste en reducir al caso más sencillo mediante una sustitución que fija la restricción a 1 o a $n$ (el número de variables).

Caso más común: la suma es fija. Si $a+b+c=3$ , puedes trabajar directamente con AM-GM ya que la igualdad se alcanza en $a=b=c=1$ . Si $a+b+c=S$ , escribe $a=Sx$ , $b=Sy$ , $c=Sz$ con $x+y+z=1$ , o trabaja sabiendo que la igualdad es en $a=b=c=S/3$ . La normalización elimina el ruido y centra la atención en la estructura del problema.

Caso de producto fijo: si $abc=1$ , la sustitución $a=x/y$ , $b=y/z$ , $c=z/x$ (con $x,y,z>0$ arbitrarios) satisface $abc=1$ automáticamente. Esta sustitución es especialmente útil cuando la expresión a acotar tiene cocientes. Problema tipo: para $a,b,c>0$ con $abc=1$ , demuestra que $a+b+c \ge ab+bc+ca$ . Con la sustitución anterior, el problema se convierte en mostrar $x/y+y/z+z/x \ge x/z+z/y+y/x$ , que es el resultado de AM-GM sobre seis términos.

La normalización más poderosa es la de **suma igual a $n$ **: si tienes $n$ variables con suma $S$ , reemplaza cada $a_i$ por $na_i/S$ . Ahora la suma de las nuevas variables es $n$ , y la igualdad AM-GM se alcanza en todas iguales a 1. Esta estandarización simplifica enormemente la búsqueda del extremo.

AM-GM ponderado: la generalización clave

La versión ponderada de AM-GM generaliza el resultado cuando los términos no tienen el mismo "peso". Sean $w_1, \ldots, w_n > 0$ con $w_1+\cdots+w_n=1$ (pesos que suman 1), y $a_1,\ldots,a_n>0$ . Entonces:

Esta desigualdad incluye AM-GM ordinario como caso especial (todos los pesos iguales a $1/n$ ). La igualdad se alcanza si y solo si todos los $a_i$ son iguales. La demostración sigue de Jensen aplicado a $f(x)=-\ln x$ (función convexa).

En olimpiadas, el AM-GM ponderado aparece cuando la expresión sugiere potencias no enteras o cuando los coeficientes del sumatorio no son todos iguales. Ejemplo clásico: para $x,y>0$ con $x+2y=1$ , minimizar $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$ . El truco es aplicar AM-GM ponderado con pesos $w_1=1/3$ , $w_2=2/3$ sobre los términos $3/x$ y $3/(2y)$ : la restricción $x+2y=1$ aparece naturalmente al escribir la igualdad AM-GM ponderada. La cota óptima es $9$ , alcanzada en $x=1/3$ , $y=1/3$ .

Otro patrón frecuente: igualar exponentes con coeficientes. Si debes demostrar que $2a^3+3b^2 \ge 5a^{6/5}b^{6/5}$ para $a,b>0$ , el AM-GM ponderado con pesos $3/5$ y $2/5$ — que corresponden a los grados — da exactamente la cota. Reconocer este patrón es una habilidad que se desarrolla con práctica, y la Sección 1.4 la trabaja en detalle.

w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n \ge a_1^{w_1} a_2^{w_2} \cdots a_n^{w_n}

El manual de AM-GM para olimpiadas

¿Cuándo usar AM-GM? Úsalo cuando debas demostrar que una expresión es $\ge$ alguna constante o $\ge$ otra expresión, especialmente si hay sumas de términos positivos del mismo "tipo" (todos monomios, todos fracciones, todos del mismo grado). La pista más fuerte es cuando la igualdad parece ocurrir en algún punto simétrico o fácilmente identificable.

Trampas habituales. La trampa número uno es aplicar AM-GM y obtener una cota demasiado débil. Si AM-GM da $f(a,b,c) \ge 3$ pero el mínimo real es $4$ , tu aplicación fue subóptima. La solución: elige mejor qué términos agrupar. A veces hay que dividir un solo término en dos para crear el grupo correcto — por ejemplo, escribir $a = a/2 + a/2$ para poder aplicar AM-GM con otro término. La trampa número dos es ignorar la condición de igualdad: si tu cota no es alcanzable en el dominio, el problema pide algo más fino.

El flujo de trabajo recomendado. Paso 1: identifica la igualdad esperada (usualmente un punto simétrico o el que satisface la restricción con todos iguales). Paso 2: elige la partición de términos que hace la igualdad en ese punto. Paso 3: aplica AM-GM y verifica que los dos lados coincidan en el punto de igualdad. Paso 4: concluye. Si el Paso 3 falla, regresa al Paso 2 con una partición diferente.

Ejemplo de flujo completo — Demostrar que para $a,b,c>0$ con $a+b+c=3$ , se tiene $a^2b+b^2c+c^2a \le 4$ . (Este es un resultado con cota superior, así que usamos AM-GM "al revés" buscando acotar superiormente o usamos AM-GM en otra expresión.) La igualdad es en $(a,b,c)=(2,1,0)$ ... pero el dominio pide positivos, así que el supremo no se alcanza. Para problemas con cotas superiores, AM-GM es menos directo — se combina con Schur o SOS. Este contraste muestra que AM-GM es una herramienta para cotas inferiores de expresiones con términos positivos; para superiores necesitamos más.

AM-GM y sus generalizaciones: la herramienta que decide olimpiadas