La condición de igualdad: cómo extraer toda la información

La igualdad no es accidental

En casi todos los problemas de desigualdades de las olimpiadas iberoamericanas, la pregunta no es solamente "demuestra que $f(a,b,c)\ge k$" — la pregunta implícita es: ¿cuándo se alcanza ese mínimo? La condición de igualdad de AM-GM no es un apéndice técnico que se menciona al final para completar la solución. Es el núcleo de la demostración. Si no identificas correctamente cuándo vale la igualdad, tu solución está incompleta ante cualquier jurado olímpico.

Hay una razón más profunda por la que la condición de igualdad importa: te dice cómo está estructurado el extremo. Si aplicas AM-GM a $x_1 + x_2 + \cdots + x_k$ y obtienes una cota, la igualdad $x_1 = x_2 = \cdots = x_k$ te indica exactamente dónde vive el mínimo. Combinada con la restricción del problema, esa igualdad determina los valores de todas las variables. Muchas veces encontrar ese punto es la mitad del trabajo.

Ejemplo motivador: en la Cono Sur 2015, un problema pedía el mínimo de $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ para $a,b>0$. Antes de calcular nada, la intuición olímpica dice: "el mínimo probablemente ocurre en $a=b$". Eso es la condición de igualdad hablando. Sustituyes $a=b$ y obtienes $\dfrac{2a^2}{a^2+1}$, que para $a=1$ da $1$. Luego demuestras que $1$ es efectivamente el mínimo. La igualdad guió toda la estrategia.

En esta lección sistematiizaremos ese instinto. Aprenderás a leer la condición de igualdad de AM-GM como una ecuación de restricción adicional, a resolver el sistema que resulta, y a reconocer cuándo ese sistema no tiene solución en el dominio del problema — lo que señala que el extremo no se alcanza.

Cuándo AM-GM se convierte en igualdad

La desigualdad AM-GM para $n$ variables afirma $\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$, con igualdad si y solo si $a_1=a_2=\cdots=a_n$. Esto es consecuencia directa de la prueba: en la demostración por inducción de Cauchy, la desigualdad $(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2\ge 0$ se convierte en igualdad exactamente cuando $a_1=a_2$. En general, el argumento se colapsa a igualdad en todos los escalones inductivos si y solo si todas las variables son iguales.

Consideremos un ejemplo con tres variables para ver la mecánica completa. Queremos demostrar que para $a,b,c>0$ con $a+b+c=3$, se tiene $a^3b+b^3c+c^3a\ge 3abc\cdot(a+b+c)/3=3abc$. Aplicamos AM-GM a los $n=3$ términos $a^3b$, $b^3c$, $c^3a$:

La igualdad requiere $a^3b=b^3c=c^3a$. De $a^3b=b^3c$ obtenemos $a^3/b^2=c$, y de $b^3c=c^3a$ obtenemos $b^3/c^2=a$. Combinando con $a+b+c=3$, el único punto que satisface todo esto con reales positivos es $a=b=c=1$. Verificamos: $a^3b+b^3c+c^3a=1+1+1=3=3abc=3\cdot1$. La igualdad se alcanza y el punto es consistente.

La técnica de igualdad hacia atrás

La técnica más poderosa basada en la condición de igualdad se llama igualdad hacia atrás (backward equality): en lugar de aplicar AM-GM y luego preguntar cuándo hay igualdad, asumes primero que la igualdad se alcanzará en cierto punto, usas esa asunción para decidir cómo agrupar los términos y qué cota buscar, y solo después verificas que el AM-GM que escribiste es correcto. Esta técnica invierte el orden natural de la demostración pero es mucho más eficiente.

Ejemplo 1 — Iberoamericana 2008 (adaptado): Sean $x,y,z>0$ con $xyz=8$. Minimiza $x^2+2y^2+4z^2$. Asumimos igualdad en $a=b=c$ del AM-GM que vamos a aplicar. Los tres sumandos que queremos tratar con AM-GM son $x^2$, $2y^2$, $4z^2$. Para que el producto de estos tres sea fácil de calcular y la igualdad del AM-GM sea compatible con $xyz=8$, necesitamos $x^2=2y^2=4z^2$. De esto: $x=\sqrt{2}y=2z$. Sea $z=t$; entonces $x=2t$, $y=\sqrt{2}t$. La condición $xyz=8$ da $2t\cdot\sqrt{2}t\cdot t=2\sqrt{2}t^3=8$, así $t^3=2\sqrt{2}$, $t=\sqrt{2}$. El mínimo es $x^2+2y^2+4z^2 = 4t^2+2\cdot 2t^2+4t^2=12t^2=12\cdot 2=24$. Ahora el AM-GM: $x^2+2y^2+4z^2\ge 3\sqrt[3]{x^2\cdot 2y^2\cdot 4z^2}=3\sqrt[3]{8x^2y^2z^2}=3\sqrt[3]{8(xyz)^2/z^2\cdot z^2}=3\sqrt[3]{8(xyz)^{4/3}\cdot\ldots}$ Mejor: $x^2+2y^2+4z^2\ge 3\sqrt[3]{8x^2y^2z^2}=3\sqrt[3]{8(xyz)^2}\cdot\ldots$ Con $xyz=8$: $3\sqrt[3]{8\cdot 64}=3\sqrt[3]{512}=3\cdot 8=24$. La cota es exactamente $24$, consistente con nuestro cálculo.

Ejemplo 2 — Cono Sur 2013, P1: Para $a,b>0$ con $a+b=1$, minimiza $\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}$. Por igualdad hacia atrás, asumimos que el mínimo ocurre donde $\dfrac{1}{a}$ y $\dfrac{4}{b}$ "contribuyen proporcionalmente" al AM-GM. Si escribimos $\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}=(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\right)=1+\dfrac{4a}{b}+\dfrac{b}{a}+4\ge 5+2\cdot 2=9$... La igualdad en $\dfrac{4a}{b}=\dfrac{b}{a}$ implica $4a^2=b^2$, es decir $b=2a$. Con $a+b=1$: $a=1/3$, $b=2/3$. El mínimo es $3+6=9$. La demostración directa: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\ge\dfrac{(1+2)^2}{a+b}=9$ por Cauchy-Schwarz (Titu), pero el enfoque por igualdad hacia atrás nos llegó allí sin conocer Cauchy.

Cuándo la igualdad es inalcanzable

No todos los problemas tienen un extremo alcanzable. A veces la condición de igualdad de AM-GM exige valores de las variables que están fuera del dominio o violan la restricción. En esos casos, el ínfimo o supremo existe pero no se alcanza en ningún punto del dominio — y el problema se convierte en uno de análisis de límites, no de optimización con solución en punto interior.

Ejemplo clásico: para $a,b>0$ con $a+b=1$, ¿cuál es el ínfimo de $\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}$? Aplicas AM-GM: $\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}\ge 2\sqrt{\dfrac{a}{b^2}\cdot\dfrac{b}{a^2}}=2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{(a+b)^2/4}}=4$. La igualdad en el primer AM-GM requiere $\dfrac{a}{b^2}=\dfrac{b}{a^2}$, es decir $a^3=b^3$, o sea $a=b=1/2$. La igualdad en el segundo AM-GM (sobre $ab$) también requiere $a=b$. Así que $a=b=1/2$ satisface ambas igualdades. El mínimo es $4/1\cdot 1+4/1\cdot 1 = \ldots$ Calculamos directamente: $(1/2)/(1/4)+(1/2)/(1/4)=2+2=4$. Igualdad alcanzada en $a=b=1/2$. El extremo sí se alcanza aquí.

Para ver un caso donde la igualdad no se alcanza, considera: para $x>0$, el ínfimo de $x+\dfrac{1}{x-1}$ sobre $x>1$. La condición de igualdad de AM-GM aplicada a $x-1$ y $\dfrac{1}{x-1}$ pide $x-1=1$, es decir $x=2$. Pero la expresión original es $x+\dfrac{1}{x-1}=(x-1)+\dfrac{1}{x-1}+1\ge 2+1=3$. La igualdad se alcanza en $x=2\in(1,\infty)$, así que el mínimo es $3$. En cambio, para $x\in(0,1)$, la función $x+\dfrac{1}{x}$ tiene ínfimo en $x\to 0^+$ y $x\to 1^-$ de $+\infty$ y el mínimo en $x=1$ no pertenece al dominio abierto $(0,1)$. En ese caso, el ínfimo es $2$ pero no se alcanza.

La regla práctica: después de encontrar la condición de igualdad, siempre verifica que ese punto pertenezca al dominio y satisfaga la restricción. Si no lo hace, el problema tiene extremo abierto y la demostración de que la cota es la mejor posible requiere mostrar que la expresión se acerca arbitrariamente a la cota. Esta situación es común en problemas con restricciones estrictas ($x>0$ vs $x\ge 0$) o en expresiones que divergen en el borde del dominio.

Estrategia completa para problemas de extremos

Protocolo de cuatro pasos para problemas de optimización con desigualdades. Paso 1 — Exploración: evalúa la expresión en puntos simétricos (todos iguales) y en el borde del dominio. El punto simétrico suele ser el candidato al extremo; el borde verifica si el extremo es interior o en el límite. Paso 2 — Conjetura: basado en el punto simétrico, conjetura el valor del extremo y la condición exacta de igualdad. Paso 3 — Demostración: aplica AM-GM (ponderado o estándar, con la agrupación correcta) para obtener la cota conjeturada. Paso 4 — Verificación: comprueba que el punto de igualdad satisface todas las restricciones del problema y que la cota es la correcta.

Este protocolo convierte la tarea creativa de "demostrar una desigualdad" en un proceso sistemático. La parte creativa se concentra en el Paso 3 — elegir la agrupación correcta de términos — pero los Pasos 1 y 2 suelen revelar esa agrupación. Si al aplicar AM-GM en el Paso 3 la igualdad no ocurre en el punto conjeturado del Paso 2, la agrupación es incorrecta. Ajusta y repite.

Ejemplo completo de protocolo: Sea $a,b,c>0$ con $a+b+c=3$. Minimiza $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}$. Paso 1: en $a=b=c=1$, la expresión vale $1+1+1=3$. En $a\to 0^+$, la expresión $\to+\infty$. El mínimo parece interior. Paso 2: conjeturamos mínimo $3$ en $a=b=c=1$. Paso 3: $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=\dfrac{3}{abc}$. Por AM-GM, $abc\le\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3=1$. Por tanto $\dfrac{3}{abc}\ge 3$. Paso 4: la igualdad en AM-GM requiere $a=b=c=1$, que satisface $a+b+c=3$. El mínimo es $3$.

Una variante instructiva: ¿qué ocurre si pedimos $a+b+c=S$ con $S$ arbitrario? El mínimo de $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{S}{abc}$ se obtiene con $abc\le (S/3)^3$, dando mínimo $\dfrac{S}{(S/3)^3}=\dfrac{27}{S^2}$. La condición de igualdad es $a=b=c=S/3$. Este ejemplo muestra cómo la normalización (Paso 1 del módulo 1.3) y la condición de igualdad trabajan juntas: cuando normalizas $S=3$, el punto de igualdad es el más limpio posible ($a=b=c=1$), pero el resultado general se recupera con un solo cambio de escala.