Normalización y sustituciones estratégicas

El truco de la escala

Una desigualdad es **homogénea de grado $d$** si al reemplazar $(a,b,c)$ por $(ta,tb,tc)$ ambos lados se multiplican por $t^d$. Si $d=0$, la desigualdad es invariante bajo reescalado — ambos lados son iguales después de multiplicar. Si $d\ne 0$ y la restricción también escala de forma compatible, podemos elegir el valor de $t$ para simplificar la restricción a nuestra conveniencia. A este proceso se le llama normalización.

La normalización no es "asumir algo extra" — es elegir libremente la escala de las variables, que siempre tenemos derecho a hacer cuando la desigualdad es homogénea. La prueba de que no hay pérdida de generalidad es la equivalencia: la desigualdad vale para todos los $(a,b,c)>0$ si y solo si vale para todos los $(a,b,c)>0$ con la restricción adicional de normalización. Esto porque dado cualquier $(a,b,c)$, existe un $t>0$ tal que $(ta,tb,tc)$ satisface la normalización, y la desigualdad para $(ta,tb,tc)$ equivale a la desigualdad para $(a,b,c)$.

La consecuencia práctica es enorme: en lugar de trabajar con variables libres, fijamos una restricción que simplifica las expresiones dramáticamente. Sumar $a+b+c=1$ convierte la media aritmética en $1/3$. Fijar $abc=1$ convierte el producto en $1$. Fijar $a^2+b^2+c^2=1$ convierte la norma euclídea en $1$. Cada una de estas normalizaciones tiene su nicho de aplicación.

Normalización a suma fija: $a+b+c=1$

La normalización a suma fija $a+b+c=1$ (o $a+b+c=n$ para $n$ variables) es apropiada cuando la desigualdad involucra sumas de las variables junto con sus cuadrados, productos de pares, o funciones simétricas elementales. Es la normalización "por defecto" para problemas con restricción de suma.

Ejemplo 1 — Simplificación radical: Demuestra que para $a,b,c>0$ con $a+b+c=1$, se tiene $ab+bc+ca\le\dfrac{1}{3}$. Sin normalización, diríamos: "con suma $S$, debemos probar $ab+bc+ca\le S^2/3$". Con normalización ya hecha ($S=1$), la identidad $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1$ da $ab+bc+ca=\dfrac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}$. Y como $a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$, obtenemos $ab+bc+ca\le\dfrac{1-1/3}{2}=\dfrac{1}{3}$. La normalización convirtió la restricción en una identidad que completó la prueba.

Ejemplo 2 — Iberoamericana 2009 (P2 adaptado): Sean $a,b,c>0$ con $a+b+c=1$. Demuestra que $a^2+b^2+c^2+2abc\ge \dfrac{1}{3}$. Notemos que $a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}$ (ya demostrado). Basta mostrar $a^2+b^2+c^2+2abc\ge a^2+b^2+c^2$, es decir $2abc\ge 0$, que es trivial para $a,b,c>0$. El resultado sigue inmediatamente. Pero la versión más fina pide la cota exacta: la igualdad ocurre cuando $abc=0$ y $a^2+b^2+c^2=1/3$ — pero $abc=0$ implica alguna variable es $0$, lo cual contradice $a,b,c>0$. Así que la igualdad se alcanza en el límite $a=b=c=1/3$ cuando la suma $abc=1/27>0$. El mínimo es estrictamente mayor que $1/3$ para variables positivas; el ínfimo es $1/3$, alcanzado en el límite. La normalización nos dejó ver esto claramente.

El criterio para usar suma fija: cuando la desigualdad es homogénea de grado $0$ respecto a la suma (es decir, si multiplicamos todas las variables por $t$, la suma escala como $nt$ y la desigualdad permanece válida) o cuando el lado derecho es una constante que depende naturalmente de la suma. Cuando el lado derecho involucra el producto $abc$, considera la normalización de producto fijo.

Normalización a producto fijo: $abc=1$

Cuando una desigualdad involucra cocientes, productos, o potencias negativas de las variables, la normalización $abc=1$ (o más generalmente $a_1a_2\cdots a_n=1$) suele simplificar más que la normalización de suma. Esto es porque $abc=1$ elimina el factor de escala multiplicativo, convirtiendo cualquier monomio simétrico en una expresión sin "constante de normalización".

Ejemplo 1: Para $a,b,c>0$ con $abc=1$, demuestra que $a+b+c\ge ab+bc+ca$. Esta desigualdad es de grado $1$ a la izquierda y grado $2$ a la derecha, pero no es homogénea. Sin embargo, con $abc=1$, los grados se relacionan de forma específica. Estrategia: dividimos ambos lados por $abc=1$ (no cambia nada) y multiplicamos por un factor conveniente. De hecho $ab+bc+ca = abc(1/c+1/a+1/b)=1/a+1/b+1/c$. Entonces el problema es probar $a+b+c\ge 1/a+1/b+1/c$. Por AM-GM, $a+1/a+1/a\ge 3\sqrt[3]{a/a^2}=3/a^{1/3}$... eso es más complicado. La ruta directa: $a-1/a=(a^2-1)/a\ge 0$ iff $a\ge 1$, pero eso no vale para todos $a,b,c>0$ con $abc=1$. La ruta correcta es notar que $a+b+c-(1/a+1/b+1/c)=\sum (a-1/a)=\sum (a^3bc-1)/(a^2bc)\cdot abc$... Con la sustitución $a=x/y$, $b=y/z$, $c=z/x$ (automáticamente $abc=1$): LHS $=x/y+y/z+z/x$, RHS $=y/x+z/y+x/z$. La diferencia LHS$-$RHS $=(x/y-y/x)+(y/z-z/y)+(z/x-x/z)=(x^2-y^2)/(xy)+(y^2-z^2)/(yz)+(z^2-x^2)/(zx)$. Con denominador común $xyz$: $=(x^2-y^2)z+(y^2-z^2)x+(z^2-x^2)y = xz^2-x^2z+x^2y-xy^2+y^2z-yz^2$... la suma es $0$ o puede ser positiva o negativa. El resultado requiere demostración adicional (Schur o rearrangement) — este ejemplo ilustra que $abc=1$ simplifica el enunciado pero la demostración puede necesitar más herramientas.

Ejemplo 2 — Cono Sur 2016 (P3): Para $a,b,c>0$ con $abc=1$, demuestra que $\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}=1$. Esta es una identidad, no una desigualdad, y la condición $abc=1$ es esencial. Sumamos las tres fracciones con denominador común $(1+a+ab)(1+b+bc)(1+c+ca)$ y verificamos que el numerador iguala al denominador. Usando $abc=1$, el denominador de la primera fracción $1+a+ab$ puede reescribirse: multiplicando numerador y denominador por $c$, $\dfrac{c}{c+ac+abc}=\dfrac{c}{c+ac+1}=\dfrac{c}{1+c+ac}$. Las tres fracciones se permutan cíclicamente y su suma telescopa a $1$. La normalización $abc=1$ fue la clave para ver esa cancelación.

El criterio para usar producto fijo: cuando la desigualdad tiene la forma $f(a,b,c)\ge g(a,b,c)$ donde ambos lados son homogéneos del mismo grado, o cuando los términos involucran productos de variables elevados a potencias enteras. Si la desigualdad tiene grado mixto (distintos en LHS y RHS), revisar si la restricción la hace "efectivamente homogénea".

La sustitución de Ravi para triángulos

Cuando las variables $a,b,c$ representan los lados de un triángulo, la restricción no es una igualdad sino tres desigualdades: $a+b>c$, $b+c>a$, $a+c>b$. Esta restricción triangular es incómoda de manejar directamente en AM-GM, porque no es homogénea y no se puede normalizar a un punto simple. La sustitución de Ravi resuelve esto con elegancia.

La sustitución de Ravi dice: si $a,b,c$ son los lados de un triángulo, existen únicos $x,y,z>0$ tales que $a=y+z$, $b=x+z$, $c=x+y$. La interpretación geométrica: si el triángulo tiene semiperímetro $s=(a+b+c)/2$, entonces $x=s-a$, $y=s-b$, $z=s-c$ son las longitudes de los segmentos en los que el incírculo corta los lados. Las desigualdades triangulares se convierten en $x,y,z>0$, que es mucho más manejable.

Ejemplo — Cono Sur 2014, P2 (adaptado): Sean $a,b,c$ los lados de un triángulo. Demuestra que $\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge 3$. Con la sustitución $a=y+z$, $b=x+z$, $c=x+y$ (y $x,y,z>0$), los denominadores se convierten en $b+c-a=(x+z)+(x+y)-(y+z)=2x$, y análogamente $c+a-b=2y$, $a+b-c=2z$. La suma se convierte en $\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{x+z}{2y}+\dfrac{x+y}{2z}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z}\right)\ge\dfrac{1}{2}\cdot 6=3$, donde usamos AM-GM: $\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\ge 2$, y lo mismo para los otros dos pares. La sustitución convirtió un problema triangular en un AM-GM puro.

Más allá de los triángulos, la sustitución de Ravi es un caso especial de una técnica general: parametrizar el dominio de restricción con variables libres positivas. Cuando la restricción es una convexidad (como las desigualdades triangulares) o un conjunto poliedral, siempre existe una parametrización con variables libres en $(0,\infty)^k$. Encontrar esa parametrización es, en sí mismo, el trabajo creativo del problema.

Problemas que resisten la normalización

No toda desigualdad se beneficia de la normalización. Un obstáculo frecuente es la inhomogeneidad: si LHS tiene grado $d_1$ y RHS tiene grado $d_2$ con $d_1\ne d_2$ bajo la restricción, normalizar la suma o el producto cambia la relación entre los dos lados y puede hacer la desigualdad falsa o trivial después de normalizar.

Ejemplo de falla: La desigualdad $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$ para $a,b\ge 0$ es equivalente a $(a-b)^2(a+b)\ge 0$, siempre verdadera. Si intentamos normalizar a $a+b=1$, obtenemos $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2=ab(a+b)=ab$. Con $a+b=1$: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab=1-3ab\ge 1-3/4=1/4$ (por AM-GM, $ab\le 1/4$). Y $ab\le 1/4$. Entonces $a^3+b^3\ge ab$ iff $1-3ab\ge ab$ iff $1\ge 4ab$ iff $ab\le 1/4$. Verdadero. La normalización funcionó aquí, pero fue un camino más largo que la factorización directa.

La normalización falla en dos escenarios típicos. Escenario 1: desigualdad estrictamente inhomogénea con restricción no multiplicativa. Por ejemplo, $e^a+e^b\ge 2e^{(a+b)/2}$ para $a,b\in\mathbb{R}$ (convexidad de $e^x$). Normalizar $a+b=0$ da $e^a+e^{-a}\ge 2$, que es cierto ($\cosh a\ge 1$), pero la demostración para $a+b=C$ arbitrario no se reduce a esto por simple reescalado porque $e^x$ no es homogénea. Aquí Jensen o la definición de convexidad son las herramientas correctas. Escenario 2: restricción de enteros o condiciones de paridad. En problemas de Álgebra con variables enteras, la normalización continua no aplica. Reconocer cuándo normalizar y cuándo no es parte central del juicio olímpico.

Regla práctica: antes de normalizar, verifica que la desigualdad sea homogénea (o que la restricción la haga efectivamente homogénea). Para verificar: reemplaza $a\to ta$, $b\to tb$, $c\to tc$ con $t>0$ y verifica que ambos lados escalen con el mismo factor $t^d$. Si escalan diferente, normalizar distorsiona el problema y probablemente lo hace más difícil, no más fácil.