AM-GM ponderado y reconocimiento de patrones

¿Por qué no alcanza el AM-GM clásico?

AM-GM estándar trata todos los términos con el mismo peso $1/n$. Esto funciona perfectamente cuando los términos que queremos acotar son "del mismo tamaño" — mismo grado, misma frecuencia en el producto. Pero en olimpiadas aparecen con frecuencia expresiones donde los términos tienen exponentes distintos o están "desequilibrados". En esos casos, AM-GM estándar da una cota, pero no la óptima.

Ejemplo motivador: para $x,y>0$, minimiza $f(x,y)=4x^3+3y^4$. Si aplicas AM-GM estándar a dos términos: $4x^3+3y^4\ge 2\sqrt{12x^3y^4}$. La igualdad requiere $4x^3=3y^4$, y la cota depende de $x$ e $y$, no es una constante — así que AM-GM de dos términos no da el mínimo absoluto sin restricción adicional. El problema real sería: para $x,y>0$ con $x+y=1$, minimiza $4x^3+3y^4$. Intuitivamente, el mínimo no está en $x=y$ porque los exponentes $3$ y $4$ son distintos. Los pesos óptimos deben reflejar esa asimetría.

La señal más clara de que necesitas AM-GM ponderado es cuando la condición de igualdad del AM-GM estándar contradice la restricción del problema, o cuando los exponentes en la expresión son distintos y el punto $a=b=c$ no es el extremo. En esos casos, busca pesos $w_1, w_2, \ldots$ positivos con $\sum w_i = 1$ tal que la igualdad $w_1 a_1 = w_2 a_2 = \cdots$ sea compatible con la restricción.

AM-GM ponderado: enunciado y caso base

Sean $w_1, w_2, \ldots, w_n > 0$ con $w_1 + w_2 + \cdots + w_n = 1$, y sean $a_1, a_2, \ldots, a_n > 0$. La desigualdad media aritmética ponderada — media geométrica ponderada (weighted AM-GM) afirma:

La igualdad se alcanza si y solo si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$. Cuando todos los pesos son iguales $w_i=1/n$, se recupera AM-GM estándar. La demostración más elegante usa la desigualdad de Jensen aplicada a la función estrictamente convexa $f(x)=-\ln x$ (equivalentemente $f(x)=e^x$ aplicada a los logaritmos): $\sum w_i \ln a_i \le \ln\left(\sum w_i a_i\right)$, que al exponenciar da exactamente la desigualdad. Esta prueba es breve y conceptualmente clara, aunque presupone conocer Jensen.

Una demostración más elemental para el caso $n=2$: queremos probar $w_1 a_1 + w_2 a_2 \ge a_1^{w_1}a_2^{w_2}$ con $w_1+w_2=1$. Sea $t=w_1\in(0,1)$ y $s=w_2=1-t$. La función $g(x)=x^t$ es cóncava para $x>0$ y $t\in(0,1)$, así que $g(w)=w^t\le tw + (1-t)\cdot 1 = t(w-1)+1$ para todo $w>0$ (tangente en $w=1$). Tomando $w=a_1/a_2$ y multiplicando por $a_2$: $a_1^t a_2^{1-t}\le ta_1+(1-t)a_2$, que es exactamente AM-GM ponderado para $n=2$. El caso general sigue por inducción.

Cómo elegir los pesos

La habilidad central en el uso de AM-GM ponderado es elegir los pesos correctos. La técnica sistemática es la siguiente: si quieres acotar una expresión de la forma $\alpha a^p + \beta b^q$ desde abajo por algo de la forma $Ca^r b^s$, los pesos deben satisfacer dos condiciones. Primera: $w_1 + w_2 = 1$. Segunda (compatibilidad de exponentes): el producto $a_1^{w_1}a_2^{w_2}$ debe tener los mismos exponentes en $a$ y $b$ que la cota objetivo. Esto da un sistema de ecuaciones lineal para los pesos.

Ejemplo del IMO Shortlist 2000, A2 (simplificado): Para $a,b,c>0$ con $abc=1$, demuestra que $\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\le 1$. El caso de igualdad es $a=b=c=1$. Aunque esta es una desigualdad de cota superior (al revés de AM-GM), ilustra cómo los pesos emergen del análisis de exponentes. Cada factor tiene grado $-1$ en una variable y grado $1$ en otra, con el vínculo $abc=1$ equilibrando todo. La demostración usa AM-GM sobre cada factor con pesos $1/3$ y $2/3$ cuidadosamente asignados, seguida de multiplicación y uso de $abc=1$.

Ejemplo directo con pesos explícitos: Para $x,y>0$ con $2x+3y=1$, minimiza $\dfrac{1}{x^2y^3}$. Maximizamos $x^2y^3$ con la restricción lineal. Escribimos $x^2y^3=(\frac{2x}{2})^2(\frac{3y}{3})^3=\frac{1}{4}(2x)^2\cdot\frac{1}{27}(3y)^3=\frac{1}{108}(2x)^2(3y)^3$. Por AM-GM ponderado con pesos $w_1=2/5$ y $w_2=3/5$: $\dfrac{2}{5}(2x)+\dfrac{3}{5}(3y)\ge(2x)^{2/5}(3y)^{3/5}$. Pero $\dfrac{2}{5}\cdot 2x+\dfrac{3}{5}\cdot 3y = \dfrac{4x+9y}{5}$. Necesitamos que $4x+9y$ sea constante, pero nuestra restricción es $2x+3y=1$, no $4x+9y=\text{cte}$. Reescalamos: $2x+3y=1$ implica $\dfrac{2x}{2/5}\cdot\dfrac{2}{5}+\dfrac{3y}{3/5}\cdot\dfrac{3}{5}=1$, es decir $\dfrac{5x}{1}\cdot\dfrac{2}{5}+\dfrac{5y}{1}\cdot\dfrac{3}{5}=1$. Por AM-GM ponderado: $\frac{2}{5}\cdot\frac{2x}{2/5}+\frac{3}{5}\cdot\frac{3y}{3/5}\ge\left(\frac{2x}{2/5}\right)^{2/5}\left(\frac{3y}{3/5}\right)^{3/5}$. Simplificando: $1=2x+3y\ge (5x)^{2/5}(5y)^{3/5}\cdot\frac{2^{2/5}\cdot 3^{3/5}}{(2/5)^{2/5}(3/5)^{3/5}}$. De esto se obtiene $x^2y^3\le C$ para cierta constante $C$, y el mínimo de $1/(x^2y^3)$ es $1/C$. La igualdad ocurre cuando $2x/(2/5)=3y/(3/5)$, es decir $5x=5y$, o sea $x=y$. Con $2x+3x=1$: $x=y=1/5$. El mínimo de $1/(x^2y^3)$ es $1/((1/5)^2(1/5)^3)=5^5=3125$.

El patrón de la suma $\frac{1}{x} + x$

Uno de los patrones más frecuentes en las olimpiadas iberoamericanas y Cono Sur es la expresión $x + \dfrac{1}{x}$ (o variantes como $x^k + \dfrac{1}{x^k}$, $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$). Este patrón es reconocible instantáneamente y tiene una aplicación AM-GM inmediata: $x+\dfrac{1}{x}\ge 2$ para $x>0$, con igualdad en $x=1$.

La potencia del patrón viene de sus generalizaciones. Primero, $x^k + \dfrac{1}{x^k}\ge 2$ para todo $k>0$ y $x>0$ (AM-GM sobre $x^k$ y $x^{-k}$). Segundo, $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge 2$ (AM-GM sobre los dos cocientes). Tercero, y más útil en olimpiadas: $x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge 2\sqrt{x+y}+2/\sqrt{x+y}\cdot\ldots$ No, la generalización más directa es: si $f(x)=x+1/x$, entonces $f$ tiene mínimo en $x=1$ y crece para $x>1$ y para $x\in(0,1)$. Así que cualquier expresión de la forma $f(g(a,b,c))$ para alguna función $g$ se acota usando $f\ge 2$.

Ejemplo olímpico: para $a,b,c>0$ con $a+b+c=1$, acota inferiormente $S=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}+\dfrac{c}{1-c}$. Notemos $\dfrac{a}{1-a}=\dfrac{a}{b+c}$. Entonces $S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$. Por el patrón de Nesbitt (que a su vez sigue de AM-GM), $S\ge\dfrac{3}{2}$. La prueba: $S+3=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{a+c}+\dfrac{a+b+c}{a+b}=\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{9}{2(a+b+c)}=\dfrac{9}{2}$, por AM-HM. Por tanto $S\ge\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}$. El "patrón de Nesbitt" aparece frecuentemente en Iberoamericana y Cono Sur como sub-resultado o como motivación para técnicas más avanzadas.

El valor de reconocer patrones es que reduces el problema a una serie de "micro-problemas" conocidos. Cuando ves $\sum \dfrac{a_i}{\sum_j a_j - a_i}$, sabes que la desigualdad de Nesbitt da $\ge n/(n-1)$. Cuando ves $\sum a_i/a_{i+1}$ cíclico, sabes que AM-GM da $\ge n$. Cuando ves $\sum (a_i-a_j)^2$, sabes que es una suma de cuadrados y es $\ge 0$. Estas "fichas" se acumulan con la práctica.

Catálogo de patrones y sus AM-GM

Patrón 1 — Suma de cocientes cíclicos: $\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}+\cdots+\dfrac{a_n}{a_1}\ge n$ para $a_i>0$. Demostración: AM-GM directo sobre los $n$ términos; el producto telescopa a $1$. Igualdad en $a_1=a_2=\cdots=a_n$. Aparece en decenas de problemas Cono Sur e Iberoamericana como primer paso de problemas más complejos.

Patrón 2 — Nesbitt y generalizaciones: $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}$ para $a,b,c>0$. La versión generalizada a $n$ variables: $\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i}{\sum_{j\ne i}a_j}\ge\dfrac{n}{n-1}$. Prueba: suma más $n$, convierte a $\sum \dfrac{S}{S-a_i}$ con $S=\sum a_i$, aplica HM-AM (media armónica $\le$ media aritmética).

Patrón 3 — Producto de factores lineales: $(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc$ para $a,b,c>0$. Prueba: AM-GM sobre cada factor: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$, etc. Producto: $(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8\sqrt{ab}\cdot\sqrt{bc}\cdot\sqrt{ca}=8abc$. Igualdad en $a=b=c$. Este patrón aparece frecuentemente como lema en problemas de nivel 3-4 de Iberoamericana.

**Patrón 4 — Suma $\sum x^2/y$:** $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c$ para $a,b,c>0$. Prueba: por AM-GM (o Cauchy-Schwarz forma Titu), $\dfrac{a^2}{b}+b\ge 2a$, sumando cíclicamente. También: $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c$ por Cauchy-Schwarz. Aparece en Iberoamericana 2003, P2.

Patrón 5 — Denominadores cuadráticos: $\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{1}{2}$ para $a>0$, con igualdad en $a=1$. Más general: $\sum \dfrac{a_i}{a_i^2+k}$ se acota por AM-GM escribiendo $a_i^2+k\ge 2a_i\sqrt{k}$, de donde $\dfrac{a_i}{a_i^2+k}\le\dfrac{1}{2\sqrt{k}}$. Este patrón aparece en problemas de máximos de sumas simétricas.

Patrón 6 — AM-GM ponderado con exponentes fraccionarios: $p \cdot a + q \cdot b \ge a^p b^q$ cuando $p+q=1$, $p,q>0$. Esta es directamente la forma AM-GM ponderada con $n=2$ variables. Los problemas que piden minimizar $\alpha x^r + \beta y^s$ con restricción lineal en $x,y$ son exactamente de este tipo: los pesos son $w_1=r/(r+s)$, $w_2=s/(r+s)$, y la normalización correcta de los coeficientes $\alpha,\beta$ determina la cota.