La desigualdad de Cauchy-Schwarz: enunciados y formas equivalentes

El problema que exige algo más que AM-GM

En la Olimpiada Iberoamericana de 2007, problema 2 de álgebra, se pedía: sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos con $a_1+a_2+\cdots+a_n=1$. Demuestra que $\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i}{1-a_i} \ge \dfrac{n}{n-1}$. Un concursante que solo conoce AM-GM intentará distintas agrupaciones sin éxito. El problema pide una herramienta diferente.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz es esa herramienta. A diferencia de AM-GM, que compara medias de un solo conjunto de variables, Cauchy-Schwarz opera sobre dos secuencias simultáneamente. Esa capacidad de "mezclar" dos conjuntos de datos la hace indispensable cuando la expresión involucra cocientes, fracciones con denominadores variables, o productos de sumas.

Esta lección construye la desigualdad desde su forma más elemental, la demuestra de tres maneras diferentes, y la presenta en sus tres formas equivalentes. Cada forma tiene su dominio natural de aplicación. Al final, el problema iberoamericano de arriba se resuelve en dos líneas.

Enunciado y demostración: la forma algebraica

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ y $b_1,b_2,\ldots,b_n$ números reales. La desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma:

Demostración por expansión directa. Consideremos la expresión $\sum_{i<j}(a_i b_j - a_j b_i)^2 \ge 0$, que es una suma de cuadrados y por tanto no negativa. Expandimos: $\sum_{i<j}(a_i^2 b_j^2 - 2a_i b_i a_j b_j + a_j^2 b_i^2) \ge 0$. Reorganizando: $(n-1)\sum_i a_i^2 b_i^2$ proviene de los términos cruzados, mientras que $\sum_{i<j}(a_i^2 b_j^2+a_j^2 b_i^2)=\sum_i a_i^2 \cdot \sum_j b_j^2 - \sum_i a_i^2 b_i^2$. La desigualdad se convierte exactamente en $(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)-(\sum a_i b_i)^2\ge 0$.

Demostración por AM-GM para dos variables. El caso $n=2$: $(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\ge(a_1 b_1+a_2 b_2)^2$ equivale a $a_1^2 b_2^2+a_2^2 b_1^2 \ge 2a_1 b_1 a_2 b_2$, que es exactamente $(a_1 b_2-a_2 b_1)^2\ge 0$. El caso general sigue por un argumento inductivo o por la identidad de Lagrange: $(\sum a_i^2)(\sum b_j^2)-(\sum a_i b_i)^2 = \sum_{i<j}(a_i b_j-a_j b_i)^2$.

La identidad de Lagrange es más precisa que la desigualdad: establece la igualdad exacta $(\sum_{i=1}^n a_i^2)(\sum_{i=1}^n b_i^2) - \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 = \sum_{1\le i<j\le n}(a_i b_j - a_j b_i)^2$. De aquí la condición de igualdad: la igualdad en Cauchy-Schwarz se alcanza si y solo si todos los términos $(a_i b_j - a_j b_i)^2$ son cero, lo que equivale a que las secuencias $(a_1,\ldots,a_n)$ y $(b_1,\ldots,b_n)$ sean proporcionales: existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $a_i = \lambda b_i$ para todo $i$.

Forma 1: la versión para sumas (la más usada en olimpiadas)

La forma más directa de Cauchy-Schwarz para olimpiadas se escribe con dos secuencias de reales positivos $a_i$ y $b_i$:

Esta es la forma que aparece en la mayoría de los problemas de desigualdades iberoamericanas. El lado izquierdo es el producto de dos sumas de cuadrados; el lado derecho es el cuadrado de la suma de productos. La condición de igualdad es $a_i/b_i = \text{const}$ para todo $i$ (las razones $a_i/b_i$ son todas iguales).

Ejemplo motivador — Iberoamericana 2007, P2 (mencionado arriba). Queremos demostrar $\sum \dfrac{a_i}{1-a_i}\ge\dfrac{n}{n-1}$. Escribimos $\dfrac{a_i}{1-a_i} = \dfrac{a_i^2}{a_i(1-a_i)}$. Por Cauchy-Schwarz (forma de Engel, que veremos en la lección 2.2): $\sum\dfrac{a_i^2}{a_i(1-a_i)} \ge \dfrac{(\sum a_i)^2}{\sum a_i(1-a_i)} = \dfrac{1}{\sum a_i - \sum a_i^2}$. Ahora, $\sum a_i = 1$ y por AM-QM $\sum a_i^2 \le (\sum a_i)^2/n = 1/n$ — pero esto da la desigualdad en sentido contrario. La ruta correcta: $\sum a_i(1-a_i) = \sum a_i - \sum a_i^2 = 1-\sum a_i^2 \le 1 - 1/n = (n-1)/n$. Por tanto $\sum\dfrac{a_i}{1-a_i}\ge\dfrac{1}{(n-1)/n}=\dfrac{n}{n-1}$. Igualdad en $a_1=a_2=\cdots=a_n=1/n$.

Forma 2: producto escalar y el coseno (interpretación vectorial)

Si $\mathbf{u}=(a_1,\ldots,a_n)$ y $\mathbf{v}=(b_1,\ldots,b_n)$ son vectores en $\mathbb{R}^n$, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se escribe:

Aquí $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|$ es el valor absoluto del producto escalar y $\|\mathbf{u}\|,\|\mathbf{v}\|$ son las normas euclídeas. Esta forma es equivalente a la algebraica identificando $a_i = u_i$ y $b_i = v_i$. La igualdad se alcanza cuando $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son proporcionales (uno es múltiplo escalar del otro), es decir, cuando apuntan en la misma dirección.

La interpretación geométrica es inmediata: el producto escalar de dos vectores satisface $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre ellos. Como $|\cos\theta|\le 1$, se tiene $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$, que es exactamente Cauchy-Schwarz. La igualdad ocurre cuando $\cos^2\theta=1$, es decir $\theta=0$ o $\theta=\pi$ — cuando los vectores son paralelos. Esta conexión con ángulos es fundamental para la lección 2.3.

Ejemplo olímpico con vectores. Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo con vértices $A$, $B$, $C$. Sean $d_A$, $d_B$, $d_C$ las distancias de $P$ a los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente, y sean $a=|BC|$, $b=|CA|$, $c=|AB|$ las longitudes de los lados. Por la fórmula del área: $ad_A+bd_B+cd_C=2S$ (área del triángulo). Por Cauchy-Schwarz: $(a^2+b^2+c^2)(d_A^2+d_B^2+d_C^2)\ge(ad_A+bd_B+cd_C)^2=4S^2$. Luego $d_A^2+d_B^2+d_C^2\ge\dfrac{4S^2}{a^2+b^2+c^2}$.

Forma 3: versión matricial e integral

Para funciones continuas $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$, la versión integral de Cauchy-Schwarz es:

Esta forma es la más general y se demuestra discretizando la integral y tomando límite. En olimpiadas de nivel iberoamericano rara vez aparece directamente, pero comprenderla consolida la intuición: cualquier suma $\sum a_i b_i$ es un "producto escalar discreto", y Cauchy-Schwarz dice que ese producto escalar no puede superar el producto de las "normas".

La versión matricial: si $A$ es una matriz $n\times n$ definida positiva, entonces para vectores $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$: $(\mathbf{x}^T A \mathbf{x})(\mathbf{y}^T A \mathbf{y})\ge(\mathbf{x}^T A \mathbf{y})^2$. El caso $A=I$ (identidad) recupera la forma estándar. Esta generalización es la base de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para espacios de Hilbert y aparece en álgebra lineal avanzada, aunque en olimpiadas de secundaria el caso $A=I$ es suficiente.

Las tres formas, en una tabla mental: (1) Algebraica: $(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\ge(\sum a_i b_i)^2$ — para expresiones algebraicas con cuadrados; (2) Vectorial: $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$ — para problemas geométricos o de ángulos; (3) Integral: $\left(\int fg\right)^2\le\left(\int f^2\right)\left(\int g^2\right)$ — para análisis y física. En el 90% de los problemas olímpicos iberoamericanos, la forma que usarás es la algebraica, con la variante de Engel (lección 2.2) como especialización más potente.

Cómo reconocer cuándo usar Cauchy-Schwarz

Señales de que el problema pide Cauchy-Schwarz. La señal más fuerte: la expresión tiene un producto de dos sumas heterogéneas o un cociente con suma en el denominador. Si ves $\sum x_i^2$ en un lado y $\sum x_i y_i$ en el otro, Cauchy-Schwarz está hecho para ese problema. La segunda señal: el enunciado involucra variables con restricción de suma y pide una cota inferior para una expresión con fracciones. En ese caso la forma de Engel (lección 2.2) es casi siempre el camino.

Comparación con AM-GM. AM-GM opera sobre un solo conjunto de variables y da cotas en términos del producto. Cauchy-Schwarz opera sobre dos conjuntos y da cotas en términos de sus normas. Cuando la expresión es un cociente $a^2/b$ o una fracción con numerador cuadrado y denominador lineal, Cauchy-Schwarz (en forma de Engel) es típicamente más directo que AM-GM. Cuando la expresión es un producto de monomios o tiene exponentes enteros grandes, AM-GM suele ser preferible.

Trampas habituales. Error 1: aplicar Cauchy-Schwarz con la asignación incorrecta de $a_i$ y $b_i$. La asignación correcta es aquella que hace aparecer exactamente la expresión que se quiere acotar en el lado derecho. Error 2: olvidar verificar la condición de igualdad. En Cauchy-Schwarz, la igualdad requiere proporcionalidad: $a_1/b_1=a_2/b_2=\cdots=a_n/b_n$. Esa condición, combinada con la restricción del problema, determina el punto de igualdad. Error 3: aplicar Cauchy-Schwarz cuando AM-GM habría dado una cota más fuerte — esto ocurre en expresiones donde no hay cocientes y los términos son monomios simples.