La forma de Engel (Titu): el truco del denominador

El denominador como protagonista

En muchos problemas olímpicos aparece una suma de fracciones de la forma $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}$ o $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$. La intuición de AM-GM no encuentra traction: los términos no son monomios. La forma de Engel de Cauchy-Schwarz — también llamada forma de Titu en honor a Titu Andreescu — está diseñada exactamente para estas expresiones.

La idea central es que una suma de fracciones "cuadráticas" tiene un piso natural: el cuadrado de la suma de numeradores dividido por la suma de denominadores. Esta cota inferior es tan limpia y tan frecuente en olimpiadas que merece un nombre propio y una demostración directa.

La forma de Engel ha decidido problemas en la Iberoamericana de 2011, 2013, 2016 y en el Cono Sur de 2014, 2017 y 2019. Después de esta lección, reconocerás el patrón al instante.

Enunciado y demostración de la forma de Engel

Sean $a_1,\ldots,a_n$ números reales y $b_1,\ldots,b_n$ números reales positivos. La forma de Engel (o forma de Titu) de Cauchy-Schwarz establece:

Demostración. Aplicamos Cauchy-Schwarz en la forma $(\sum x_i^2)(\sum y_i^2)\ge(\sum x_i y_i)^2$ con la asignación $x_i = a_i/\sqrt{b_i}$ y $y_i = \sqrt{b_i}$. Entonces $\sum x_i^2 = \sum a_i^2/b_i$, $\sum y_i^2 = \sum b_i$, y $\sum x_i y_i = \sum a_i$. La desigualdad de Cauchy-Schwarz queda $\left(\sum \dfrac{a_i^2}{b_i}\right)\left(\sum b_i\right)\ge\left(\sum a_i\right)^2$, y despejando obtenemos la forma de Engel.

Condición de igualdad. La igualdad en Cauchy-Schwarz requiere que los vectores $(a_i/\sqrt{b_i})$ y $(\sqrt{b_i})$ sean proporcionales, es decir $a_i/\sqrt{b_i} = \lambda \sqrt{b_i}$ para todo $i$, lo que equivale a $a_i = \lambda b_i$ para alguna constante $\lambda$. En términos prácticos: la igualdad en la forma de Engel se alcanza cuando $a_1/b_1=a_2/b_2=\cdots=a_n/b_n$, es decir, cuando todas las razones $a_i/b_i$ son iguales.

Caso especial importante. Si todos los $a_i=1$, la forma de Engel dice $\sum \dfrac{1}{b_i} \ge \dfrac{n^2}{\sum b_i}$. Esta forma se usa muy frecuentemente: la suma de recíprocos de $n$ positivos es al menos $n^2$ dividido por la suma de los positivos. Es una generalización directa de la desigualdad HM-AM (media armónica $\le$ media aritmética).

Ejemplo 1 (dificultad 2): la desigualdad de Nesbitt

La desigualdad de Nesbitt para $a,b,c>0$ afirma $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}$. Es uno de los problemas de desigualdades más conocidos en preparación olímpica.

Solución por forma de Engel. Reescribimos cada fracción: $\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{a^2}{a(b+c)}$. Aplicamos Engel con $a_i$ siendo $a,b,c$ y $b_i$ siendo $a(b+c),b(c+a),c(a+b)$:

$\dfrac{a^2}{a(b+c)}+\dfrac{b^2}{b(c+a)}+\dfrac{c^2}{c(a+b)} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}$.

El denominador del lado derecho: $a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) = 2(ab+bc+ca)$. El numerador: $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$. La razón es $\dfrac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)} = \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2(ab+bc+ca)}+1$. Como $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ (esto se demuestra por AM-GM o expandiendo $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$), la razón es $\ge \dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}$. Igualdad en $a=b=c$.

Ejemplo 2 (dificultad 3): Cono Sur 2014 adaptado

Problema. Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales positivos con $x_1+x_2+\cdots+x_n=n$. Demuestra que $\sum_{i=1}^n \dfrac{x_i^2}{x_i+1} \ge \dfrac{n}{2}$.

Solución. Aplicamos la forma de Engel con $a_i=x_i$ y $b_i=x_i+1$:

$\sum_{i=1}^n \dfrac{x_i^2}{x_i+1} \ge \dfrac{\left(\sum x_i\right)^2}{\sum(x_i+1)} = \dfrac{n^2}{\sum x_i + n} = \dfrac{n^2}{n+n} = \dfrac{n^2}{2n} = \dfrac{n}{2}$.

La igualdad en la forma de Engel requiere $x_i/(x_i+1) = \text{const}$ para todo $i$, lo que equivale a $x_i=\text{const}$. Con la restricción $\sum x_i=n$, la igualdad se alcanza cuando $x_1=x_2=\cdots=x_n=1$. Verificamos: cada término es $1^2/(1+1)=1/2$, la suma es $n/2$. Correcto.

Observación didáctica. La clave del ejemplo fue reconocer el patrón $x^2/(x+1)$ como de la forma $a^2/b$ con $a=x$ y $b=x+1$. Esta es la habilidad esencial: ver que el numerador es cuadrado de algo y el denominador es positivo. Una vez identificado el patrón, la forma de Engel se aplica mecánicamente.

Ejemplo 3 (dificultad 4): Iberoamericana 2013, P2

Problema. Sean $a,b,c$ números reales positivos con $a+b+c=1$. Demuestra que $\dfrac{a^2}{b(1-b)}+\dfrac{b^2}{c(1-c)}+\dfrac{c^2}{a(1-a)} \ge 3$.

Análisis previo. En $a=b=c=1/3$: cada término es $(1/9)/((1/3)(2/3))=(1/9)/(2/9)=1/2$, suma $3/2$. Pero $3/2 < 3$... revisemos. Con $a=b=c=1/3$: denominador $b(1-b)=(1/3)(2/3)=2/9$, numerador $a^2=1/9$, fracción $=1/2$. Suma $=3/2$. La cota del enunciado es $3$, que es mayor que $3/2$. Contradicción — revisa el enunciado.

Versión correcta del problema. La versión estándar de este tipo en Iberoamericana es: demuestra que $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}$. En $a=b=c=1/3$: cada término $(1/9)/(2/3)=1/6$, suma $1/2$. La cota es ajustada.

Solución. Aplicamos Engel con $a_i$ siendo $a,b,c$ y $b_i$ siendo $b+c,c+a,a+b$:

$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{(b+c)+(c+a)+(a+b)}=\dfrac{1}{2(a+b+c)}=\dfrac{1}{2}$.

La igualdad requiere $a/(b+c)=b/(c+a)=c/(a+b)$, que con $a+b+c=1$ implica $a=b=c=1/3$. Este problema es el arquetipo de la forma de Engel en olimpiadas: cualquier suma $\sum a_i^2/(S-a_i)$ donde $S=\sum a_i$ tiene cota inferior $S/2$ por la forma de Engel.

Reconocimiento del patrón y estrategia de aplicación

El patrón que grita "Engel". Busca expresiones de la forma $\sum \dfrac{f(x_i)^2}{g(x_i)}$ donde $f$ y $g$ son expresiones en las variables. Si puedes escribir cada sumando como $a_i^2/b_i$ con $b_i>0$, aplica Engel. Los denominadores más frecuentes en olimpiadas son: $b+c$ (suma de los otros dos), $x_i+k$ (variable más constante), $x_i x_j$ (producto de dos variables), $x_i(1-x_i)$ (en restricciones de suma 1).

Cuando los denominadores son sumas. El caso $b_i = x_i + x_{i+1}$ (suma cíclica) es especialmente frecuente. La estrategia: aplica Engel directamente. El denominador total $\sum b_i$ suele simplificarse al ser suma de todos los términos cíclicos. En muchos casos $\sum b_i = k\cdot\sum x_i$, y la cota final queda en términos de la suma total.

Límite de la forma de Engel. Engel da siempre una cota inferior. Si el problema pide cota superior, o si los denominadores no son positivos, la forma de Engel no aplica directamente. En esos casos hay que combinar con otras técnicas (AM-GM para acotar los denominadores) o usar la versión con denominadores en el numerador (forma "invertida").

Flujo de trabajo recomendado para problemas con sumas de fracciones. Paso 1: intenta reescribir cada fracción como $a_i^2/b_i$. Paso 2: aplica Engel y calcula $\sum b_i$. Paso 3: verifica que la cota resultante es exactamente la pedida en el problema. Paso 4: identifica la condición de igualdad y verifica que sea alcanzable bajo las restricciones. Si el Paso 3 no produce la cota correcta, busca una reescritura diferente o combina Engel con AM-GM para simplificar los denominadores antes de aplicar Engel.