Cauchy-Schwarz en productos escalares y geometría

La geometría detrás del álgebra

La desigualdad de Cauchy-Schwarz no nació como un resultado algebraico sobre listas de números. Surgió del estudio de los ángulos en el espacio: ¿qué tan grande puede ser el producto escalar de dos vectores, en relación a sus longitudes? La respuesta — que el cociente $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|/(\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|)$ siempre está entre 0 y 1 — es precisamente lo que hace que el coseno de un ángulo esté bien definido. Sin Cauchy-Schwarz, no podría definirse el ángulo entre vectores en dimensión mayor que 3.

Esta conexión geométrica no es un lujo teórico. En problemas olímpicos de geometría que involucran distancias, áreas y ángulos, la desigualdad de Cauchy-Schwarz aparece disfrazada de otras formas. Reconocerla es la diferencia entre resolver el problema y no verle solución. En esta lección conectamos explícitamente el álgebra de Cauchy-Schwarz con la geometría de los vectores, y aplicamos esa conexión a desigualdades sobre polígonos.

Vectores unitarios y el coseno

Un vector unitario en $\mathbb{R}^n$ es un vector $\mathbf{u}$ con $\|\mathbf{u}\|=1$. Para dos vectores unitarios $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$, la desigualdad de Cauchy-Schwarz $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$ se convierte en:

Esto justifica la definición del ángulo entre dos vectores: dado que $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le 1$ para vectores unitarios, existe un único $\theta\in[0,\pi]$ tal que $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\cos\theta$. Para vectores no unitarios, dividimos: $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}$, y la condición Cauchy-Schwarz $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$ garantiza que $|\cos\theta|\le 1$, o sea que $\theta$ existe.

La igualdad $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$ corresponde a $|\cos\theta|=1$, es decir $\theta=0$ (misma dirección) o $\theta=\pi$ (direcciones opuestas). En ambos casos los vectores son proporcionales: $\mathbf{u}=\lambda\mathbf{v}$ para algún $\lambda\in\mathbb{R}$. Esto es exactamente la condición de igualdad algebraica de Cauchy-Schwarz.

**Ejemplo numérico en $\mathbb{R}^2$.** Sean $\mathbf{u}=(3,4)/5$ y $\mathbf{v}=(5,12)/13$ (ambos unitarios). Entonces $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(3\cdot5+4\cdot12)/(5\cdot13)=(15+48)/65=63/65$. Verificamos: $|63/65|\le 1$. El ángulo entre ellos es $\theta=\arccos(63/65)\approx 14.5°$.

Desigualdades de distancia: proyecciones y normas

Una de las aplicaciones más inmediatas de Cauchy-Schwarz en geometría es la desigualdad de la proyección: la longitud de la proyección de $\mathbf{u}$ sobre $\mathbf{v}$ (que es $|\mathbf{u}\cdot\hat{\mathbf{v}}|$ donde $\hat{\mathbf{v}}=\mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|$) es siempre $\le\|\mathbf{u}\|$. Geométricamente: ninguna componente de un vector puede superar la longitud del vector.

Desigualdad triangular por Cauchy-Schwarz. La desigualdad triangular $\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|\le\|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|$ se demuestra usando Cauchy-Schwarz: $\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2+2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\|\mathbf{v}\|^2\le\|\mathbf{u}\|^2+2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|+\|\mathbf{v}\|^2=(\|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|)^2$. Tomando raíz cuadrada obtenemos la desigualdad triangular. Esto muestra que Cauchy-Schwarz es más fundamental que la desigualdad triangular: la segunda se deduce de la primera.

Problema olímpico — Distancias desde un punto interior. Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo $ABC$ con $|BC|=a$, $|CA|=b$, $|AB|=c$ y área $S$. Sean $d_a$, $d_b$, $d_c$ las distancias de $P$ a los lados $BC$, $CA$, $AB$. Sabemos que $ad_a+bd_b+cd_c=2S$ (el área del triángulo es la suma de los sub-triángulos $PBC$, $PCA$, $PAB$). Por Cauchy-Schwarz: $(a^2+b^2+c^2)(d_a^2+d_b^2+d_c^2)\ge(ad_a+bd_b+cd_c)^2=4S^2$, luego $d_a^2+d_b^2+d_c^2\ge\dfrac{4S^2}{a^2+b^2+c^2}$. La igualdad ocurre cuando $d_a/a=d_b/b=d_c/c$, es decir en el incentro del triángulo.

Cauchy-Schwarz disfrazado en problemas geométricos

Los problemas de geometría olímpica frecuentemente presentan desigualdades con lados y ángulos que, al traducirse al álgebra, revelan su naturaleza Cauchy-Schwarz. La habilidad clave es la traducción.

Desigualdad de las medianas. En un triángulo con lados $a,b,c$ y medianas $m_a,m_b,m_c$, se tiene $m_a^2+m_b^2+m_c^2\le\dfrac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$ (esto es una igualdad, en realidad: vale $\dfrac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=m_a^2+m_b^2+m_c^2$ usando las fórmulas de las medianas). Para la desigualdad: $m_a\le\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{a}{2}=\dfrac{b+c}{2}$ es trivial; lo no trivial es la cota inferior. Por la fórmula $m_a^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ y por Cauchy-Schwarz: $(m_a+m_b+m_c)^2\le 3(m_a^2+m_b^2+m_c^2) = \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)-0}{2}$ — abriendo la fórmula.

Suma de cosenos en un polígono. Sea $P_1P_2\cdots P_n$ un polígono convexo inscrito en un círculo de radio $R$. Si $\theta_i$ es el ángulo central del lado $P_iP_{i+1}$, entonces $\sum\theta_i=2\pi$ y la longitud de cada lado es $2R\sin(\theta_i/2)$. Por Cauchy-Schwarz en la forma $(\sum u_i v_i)^2\le(\sum u_i^2)(\sum v_i^2)$ con $u_i=\sin(\theta_i/2)$ y $v_i=1$: $\left(\sum\sin(\theta_i/2)\right)^2\le n\sum\sin^2(\theta_i/2)$. La cota superior para el perímetro del polígono regular se obtiene de esta desigualdad, con igualdad cuando todos los $\theta_i$ son iguales (polígono regular).

El truco del numerador cuadrado en geometría. En muchos problemas con lados $a,b,c$ de un triángulo y su área $S$, la expresión a acotar tiene la forma $\sum a_i^2/S$ o $\sum a_i^2/(a_i+a_j)$. En ambos casos la forma de Engel es el primer paso. La restricción geométrica (por ejemplo, la desigualdad isoperimétrica $a^2+b^2+c^2\ge 4S\sqrt{3}$) luego da la cota final.

Aplicación: polígonos y desigualdades isoperimétrica discretas

Teorema isoperimétrico discreto por Cauchy-Schwarz. Entre todos los polígonos de $n$ lados con perímetro fijo $L$, el de mayor área es el polígono regular. La demostración por Cauchy-Schwarz: sea $a_1,\ldots,a_n>0$ con $\sum a_i = L$ los lados del polígono inscrito en un círculo. Por Cauchy-Schwarz: $L^2=(\sum a_i)^2\le n\sum a_i^2$, luego $\sum a_i^2\ge L^2/n$. Para el polígono regular de $n$ lados con perímetro $L$: cada lado es $L/n$ y $\sum a_i^2=n(L/n)^2=L^2/n$, alcanzando la igualdad. La conexión con el área requiere argumentos adicionales sobre el círculo circunscrito, pero la parte algebraica central es Cauchy-Schwarz.

Ejemplo concreto — Cono Sur 2018 (geometría-álgebra). Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $|AB|=a$, $|BC|=b$, $|CD|=c$, $|DA|=d$. Demuestra que el área $S\le\dfrac{(a+c)(b+d)}{4}$. Por la fórmula del área del cuadrilátero: $S\le\dfrac{|AB||BC|+|CD||DA|}{2}\cdot\sin\theta$ para algún ángulo $\theta$. Pero la cota $\le(ac+bd)/2$ no da directamente $(a+c)(b+d)/4$. La ruta: $(a+c)(b+d)=ab+ad+bc+cd\ge 4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}\cdot\sqrt{\ldots}$ — esto requiere AM-GM. La ruta más limpia: por AM-GM, $ac\le(a+c)^2/4$ y $bd\le(b+d)^2/4$, luego $S\le(ac+bd)/2+\ldots$ La conexión exacta requiere la desigualdad de Bretschneider. Lo que ilustra el ejemplo: en geometría, Cauchy-Schwarz y AM-GM se combinan con fórmulas métricas específicas.

Resumen de la lección. Cauchy-Schwarz en geometría actúa a través de tres mecanismos: (1) directamente como $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$ para distancias y proyecciones; (2) como herramienta para conectar sumas de cuadrados de lados con áreas (vía la relación $\sum a_i d_i = 2S$); (3) como forma de Engel para sumas de la forma $\sum a_i^2/(a_i+a_j)$ que aparecen al expresar áreas parciales. En todos los casos, la condición de igualdad refleja simetría geométrica: el extremo se alcanza en el polígono regular o en el triángulo equilátero.