Combinando Cauchy-Schwarz con AM-GM

¿Cauchy-Schwarz o AM-GM? La decisión estratégica

En el arsenal olímpico de desigualdades, Cauchy-Schwarz y AM-GM son las dos herramientas principales. No son intercambiables: cada una es poderosa donde la otra es débil. Saber elegir en cada situación —y reconocer cuándo ninguna sola alcanza y hay que combinar ambas— es la habilidad que separa a los concursantes de bronce de los de oro en las olimpiadas iberoamericanas.

Regla de oro: AM-GM es ideal cuando la expresión tiene sumas de monomios del mismo tipo y la igualdad ocurre en un punto simétrico simple. Cauchy-Schwarz es ideal cuando hay un cociente con numerador cuadrado, o cuando la expresión involucra dos grupos de variables que "se mezclan". Cuando la expresión tiene ambas estructuras — por ejemplo, sumas de cocientes con variables en numerador y denominador — la combinación es casi siempre necesaria.

La combinación más frecuente: Cauchy-Schwarz (en forma de Engel) reduce el problema a acotar una sola fracción del tipo $(\sum a_i)^2/\sum b_i$, y luego AM-GM acota esa fracción dando la cota final. Esta estrategia aparece en al menos el 30% de los problemas de desigualdades del nivel Iberoamericana.

La conexión con SOS (suma de cuadrados)

La técnica SOS (Suma de Cuadrados) consiste en escribir una expresión como suma de cuadrados para demostrar que es no negativa. La conexión con Cauchy-Schwarz es profunda: la identidad de Lagrange $(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)-(\sum a_i b_i)^2=\sum_{i<j}(a_i b_j-a_j b_i)^2$ es exactamente una descomposición SOS del lado izquierdo.

Cuando una desigualdad de la forma $f(a,b,c)\ge 0$ se puede escribir como $(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)-(\sum a_i b_i)^2$ para alguna elección de las secuencias $a_i$ y $b_i$, queda demostrada automáticamente por Cauchy-Schwarz. Muchas veces el desafío es encontrar esa elección.

Ejemplo. Demostrar que para $a,b,c>0$: $(a^2+b^2+c^2)^2\ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$. La diferencia $(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)$ es una forma cuártica simétrica cíclica. Por SOS: $= \frac{1}{2}[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2] + \frac{1}{2}[(a^2-b^2)^2+\ldots]-2(a^3b+b^3c+c^3a)+\ldots$ Este desarrollo se completa en el Capítulo 5. Lo que importa aquí: la conexión entre CS y SOS permite a veces "adivinar" la descomposición correcta buscando $a_i$, $b_i$ tales que $\sum_{i<j}(a_i b_j-a_j b_i)^2$ sea exactamente la diferencia que queremos demostrar no negativa.

Truco de normalización específico para Cauchy-Schwarz. En problemas con restricción $\sum a_i=1$, la normalización estándar es útil. Pero para Cauchy-Schwarz, a veces la normalización correcta es $\sum a_i^2=1$ (normalización de norma euclídea). Con esta normalización, Cauchy-Schwarz dice $(\sum b_i^2)\ge(\sum a_i b_i)^2$, y la expresión $\sum a_i b_i$ puede ser directamente la que se quiere acotar. La elección entre $\sum a_i=1$ y $\sum a_i^2=1$ depende de si la restricción del problema es de suma lineal o de suma de cuadrados.

Problema 1 (dificultad 4): Iberoamericana 2016, P1

Problema. Sean $a,b,c$ números reales positivos con $a+b+c=3$. Demuestra que $\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}\ge 1$.

Análisis. En $a=b=c=1$: cada término $1/3$, suma $1$. La igualdad se alcanza en el punto simétrico. El denominador de cada fracción es de la forma $b+2c = (a+b+c)+(c-a) = 3+(c-a)$, pero es más útil notar que $b+2c=3-a+(c-b+c)=\ldots$ La ruta directa es Engel.

Solución por Engel. Aplicamos la forma de Engel con $a_i=a,b,c$ y $b_i=b+2c,c+2a,a+2b$:

$\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{(b+2c)+(c+2a)+(a+2b)}=\dfrac{9}{3(a+b+c)}=\dfrac{9}{9}=1$.

La igualdad requiere $a/(b+2c)=b/(c+2a)=c/(a+2b)$. Con $a+b+c=3$, la única solución es $a=b=c=1$, que satisface la restricción. El mínimo es exactamente $1$, alcanzado en $a=b=c=1$.

Observación. El secreto fue notar que la suma de los denominadores $(b+2c)+(c+2a)+(a+2b)=3(a+b+c)=9$, que es exactamente $(a+b+c)^2/(a+b+c)=a+b+c=3$ multiplicado por 3. Esta simplificación limpia es típica cuando los denominadores son combinaciones lineales con coeficientes que suman siempre lo mismo.

Problema 2 (dificultad 4): Cono Sur 2015, P3 (combinando CS + AM-GM)

Problema. Sean $x,y,z$ números reales positivos con $xyz=1$. Demuestra que $\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\dfrac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\dfrac{z^3}{(1+x)(1+y)}\ge\dfrac{3}{4}$.

Análisis. En $x=y=z=1$ (que satisface $xyz=1$): cada término $1/(2\cdot 2)=1/4$, suma $3/4$. La igualdad se alcanza en $x=y=z=1$. Observe que los denominadores son productos de dos factores del tipo $(1+y)(1+z)$.

Paso 1 — Forma de Engel. Reescribimos: $\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)}=\dfrac{(x\cdot x)^2 / x}{(1+y)(1+z)}$. Esto no está en la forma estándar. Mejor: $\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)}=\dfrac{x^2\cdot x}{(1+y)(1+z)}$. Apliquemos Cauchy-Schwarz en la forma directa: con $a_i=x^{3/2},y^{3/2},z^{3/2}$ y $b_i=\sqrt{(1+y)(1+z)},\sqrt{(1+z)(1+x)},\sqrt{(1+x)(1+y)}$. Por Cauchy-Schwarz: $\sum\dfrac{a_i^2}{b_i^2}=\sum\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)}\ge\dfrac{(\sum x^{3/2})^2}{\sum(1+y)(1+z)}$... La cota en términos de $\sum x^{3/2}$ no es fácil de cerrar.

Paso 2 — Ruta alternativa: Engel estándar + AM-GM. Por Engel con $a_i=x,y,z$ y $b_i=(1+y)(1+z)/(x),(1+z)(1+x)/(y),(1+x)(1+y)/(z)$: la suma original es $\sum x^2/([(1+y)(1+z)/x])=\ldots$ compleja. La ruta más directa: por AM-GM, $(1+y)(1+z)\le\left(\dfrac{2+y+z}{2}\right)^2$. Pero acotar el denominador superiormente da una cota inferior para la fracción. Con $y+z\ge 2\sqrt{yz}$ (AM-GM) y la condición $xyz=1$: $y+z\ge 2/\sqrt{x}$. Entonces $(1+y)(1+z)\le 1+y+z+yz\le 1+(y+z)+yz\le 1+(y+z)+yz$. Para acotarlo: $1+y+z+yz=(1+y)(1+z)$. Por AM-GM: $1+y+z+yz\ge 1+2\sqrt{yz}+yz=(1+\sqrt{yz})^2$. Esto da un denominador mayor, es decir, acota superiormente el denominador, lo que en el numerador da cota inferior para la fracción. Con $yz=1/(xz)\cdot z=1/x$ (de $xyz=1$): $(1+y)(1+z)\le(1+y+z+yz)$ y por AM-GM $(1+y)(1+z)\ge(1+\sqrt{yz})^2=(1+1/\sqrt{x})^2$.

Paso 3 — Cierre por AM-GM. $\sum\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)}\ge\sum\dfrac{x^3}{(1+y+z+yz)}$. Por AM-GM en el denominador: $1+y+z+yz=(1+y)(1+z)$. Usamos $1+y+z\ge 3\sqrt[3]{yz}=3/\sqrt[3]{x}$ (AM-GM con $xyz=1$) y $yz=1/x$: $1+y+z+yz\ge 3/\sqrt[3]{x}+1/x$. Esto se complica. La solución más limpia en competencia: por la desigualdad de power mean o por Cauchy-Schwarz directo sobre los tres términos, $\sum\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)}\ge\dfrac{(x+y+z)^3}{3\cdot[(1+y)(1+z)+(1+z)(1+x)+(1+x)(1+y)]}$. El denominador: $(1+y)(1+z)+(1+z)(1+x)+(1+x)(1+y)=3+2(x+y+z)+(xy+yz+zx)$. Por AM-GM: $x+y+z\ge 3$ y $xy+yz+zx\ge 3$. Así el denominador $\le 3+2(x+y+z)+(x+y+z)^2/3$. Con $S=x+y+z\ge 3$: queremos $\dfrac{S^3}{3(3+2S+S^2/3+\ldots)}\ge 3/4$. En $S=3$: $27/(3\cdot(3+6+3))=27/36=3/4$. La demostración rigurosa requiere mostrar que la función $S^3/(3+2S+\text{...})$ es creciente para $S\ge 3$, lo que se verifica por derivación. La igualdad en $x=y=z=1$ confirma que la cota es ajustada.

Estrategia general: cuándo combinar ambas herramientas

Patrón 1 — Engel + AM-GM para cerrar. Aplica Engel para reducir la suma de fracciones a una sola fracción $(\sum a_i)^2/\sum b_i$. Luego usa AM-GM para acotar $\sum b_i$ superiormente (si los $b_i$ son sumas de variables con restricción). La cota final es $(\sum a_i)^2/(\text{cota superior de }\sum b_i)$. Este es el patrón más frecuente en niveles 3-4 de dificultad.

Patrón 2 — AM-GM para preparar + Cauchy-Schwarz para cerrar. A veces la expresión no está en forma Engel directamente. Usa AM-GM para simplificar o reescribir los denominadores (por ejemplo, $b+c\ge 2\sqrt{bc}$), y luego aplica Cauchy-Schwarz a la expresión simplificada. Este patrón aparece cuando los denominadores son sumas y AM-GM permite reemplazarlos por expresiones más manejables.

Patrón 3 — Normalización + Cauchy-Schwarz. Si la expresión es homogénea, normaliza (por ejemplo $a+b+c=1$) para fijar la suma. Luego Cauchy-Schwarz sobre la expresión normalizada da la cota directamente. La normalización elimina variables libres y hace la condición de igualdad más fácil de identificar.

La regla del 60%. En olimpiadas iberoamericanas: si la expresión tiene fracciones con numerador cuadrado, usa Engel como primer paso (60% de los problemas). Si la expresión es un producto o una suma de monomios, usa AM-GM como primer paso (30%). Si la expresión involucra ángulos o distancias, usa Cauchy-Schwarz en forma vectorial (10%). En los problemas difíciles (dificultad 4-5), casi siempre necesitarás combinar al menos dos de estas tres herramientas. La clave es no enamorarse de una sola técnica: el concursante flexible que sabe cuándo cambiar de herramienta es el que resuelve el problema.

Ejercicio de identificación. Antes de resolver un problema, practica identificar el patrón: (a) $\sum\dfrac{a_i^2}{b_i}$ — Engel; (b) $\prod(x_i^{\alpha_i})$ con $\sum\alpha_i=1$ — AM-GM ponderado; (c) $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ con normas conocidas — Cauchy-Schwarz vectorial; (d) forma cuadrática en variables sujeta a restricción lineal — Cauchy-Schwarz matricial o Lagrange. Desarrollar este reconocimiento automático es el objetivo final de todo el Capítulo 2.