Introducción a las ecuaciones funcionales olímpicas

Un nuevo tipo de incógnita

En álgebra elemental la incógnita es un número. En ecuaciones funcionales la incógnita es una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (u otro dominio). El enunciado típico dice: "Halla todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ para todo $x,y\in\mathbb{R}$." El reto no es evaluar, sino describir la colección completa de funciones que satisfacen la condición.

Esta diferencia es fundamental. En un problema ordinario de álgebra, encontrar $x=3$ resuelve el problema. Aquí, encontrar que $f(x)=cx$ satisface la ecuación funcional no lo resuelve hasta que demostramos que no hay otras soluciones. Ese "no hay otras" es frecuentemente la parte más difícil.

Las ecuaciones funcionales aparecen en todas las grandes olimpiadas: IMO, Iberoamericana, Cono Sur, Balcanes, y selectivos nacionales. A diferencia de las desigualdades (donde el resultado es siempre una cota), aquí el resultado es una familia de funciones, y la solución requiere tanto encontrar candidatos como probar unicidad.

Terminología y notación esencial

Una ecuación funcional es una ecuación cuya incógnita es una función. El dominio y el codominio importan: la función $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ puede tener soluciones distintas de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ para la misma ecuación. Siempre nota el dominio al empezar.

Una función $f$ que satisface la ecuación funcional se llama solución. El objetivo es hallar todas las soluciones. Una función que parece ser solución pero aún no ha sido verificada se llama candidata. La verificación final (sustitución directa en la ecuación original) es obligatoria en toda solución olímpica.

Las soluciones más frecuentes en olimpiadas son: funciones constantes $f(x)=c$, funciones lineales $f(x)=cx+d$, funciones cuadráticas $f(x)=cx^2$, y combinaciones como $f(x)=cx^2+d$. En dominios como $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$, a veces la única solución es $f\equiv 0$ (la función identicamente cero).

Las cuatro sustituciones iniciales

La estrategia universal para comenzar un problema de ecuación funcional es la sustitución de valores especiales. Se trata de elegir valores concretos de $x$ e $y$ que simplifiquen la ecuación y revelen propiedades de $f$. Las cuatro sustituciones estándar son:

**Sustitución 1: $x=y=0$.** Casi siempre es el primer paso. Si la ecuación tiene la forma $P(f(x+y), f(x), f(y), x, y)=0$, poner $x=y=0$ da $P(f(0), f(0), f(0), 0, 0)=0$, una ecuación algebraica en $f(0)$ solamente. Esto típicamente determina $f(0)\in\{0, 1, c\}$.

**Sustitución 2: $y=0$ (o $x=0$).** Tras conocer $f(0)$, poner $y=0$ da $P(f(x), f(x), f(0), x, 0)=0$ — una ecuación en $f(x)$ y $f(0)$ solamente. Frecuentemente permite despejar $f(x)$ directamente o imponer una restricción fuerte.

**Sustitución 3: $y=x$ (la diagonal).** Produce $P(f(2x), f(x), f(x), x, x)=0$, relacionando $f(2x)$ con $f(x)$. Esto es útil para funciones de duplicación o para probar que $f$ es identicamente cero.

**Sustitución 4: $y=-x$.** Produce $P(f(0), f(x), f(-x), x, -x)=0$. Con el valor de $f(0)$ ya conocido, esto relaciona $f(x)$ con $f(-x)$ y sirve para determinar si $f$ es par, impar, o ninguna de las dos.

Ejemplo completo: la ecuación de Jensen discreta

Problema. Halla todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $f\!\left(\dfrac{x+y}{2}\right) = \dfrac{f(x)+f(y)}{2}$ para todo $x,y\in\mathbb{R}$.

**Paso 1: $x=y=0$.** $f(0) = f(0)$. No da información.

**Paso 2: $y=0$.** $f(x/2) = (f(x)+f(0))/2$. Denotemos $c=f(0)$. Entonces $f(x/2)=(f(x)+c)/2$.

**Paso 3: $x=y$.** $f(x) = f(x)$. Tampoco.

**Paso 4: sustitución $y=2z-x$.** $f(z)=(f(x)+f(2z-x))/2$ para todo $x,z$. Esta ecuación dice que $f$ es convexa y cóncava a la vez en cada punto (una función que satisface la ecuación de Jensen con igualdad). En $\mathbb{R}$ sin hipótesis de continuidad, esto no implica linealidad.

**Paso 5: probar que $g(x)=f(x)-c$ satisface $g((x+y)/2)=(g(x)+g(y))/2$ con $g(0)=0$.** Por inducción, $g(r)=rg(1)$ para todo $r\in\mathbb{Q}$. Por tanto toda solución continua es $f(x)=ax+b$. Sin continuidad existen soluciones patológicas (como en la ecuación de Cauchy, tema de la lección 3.4).

Verificación. $f(x)=ax+b$: $(a\cdot\frac{x+y}{2}+b) = \frac{(ax+b)+(ay+b)}{2} = \frac{a(x+y)}{2}+b$. Correcto.

Estructura de una solución olímpica completa

Una solución olímpica de ecuación funcional tiene tres partes claramente delimitadas: (1) Exploración — se aplican sustituciones, se extraen propiedades como $f(0)$, paridad, y restricciones; (2) Determinación de candidatos — se usa la información acumulada para conjeturar qué funciones son solución; (3) Verificación — se sustituye cada candidato directamente en la ecuación original para confirmar que satisface la ecuación para todos los valores del dominio.

Un error frecuente en olimpiadas: presentar solo la exploración y los candidatos sin la verificación final. El jurado descuenta puntos aunque los candidatos sean correctos. La verificación es siempre obligatoria.

Otro error: confundir "probar que $f(0)=0$" con "probar que $f\equiv 0$". Una ecuación funcional puede tener $f(0)=0$ con soluciones no triviales como $f(x)=x$ o $f(x)=x^2$. La determinación de $f(0)$ es solo el primer paso, no la solución completa.