Funciones aditivas y multiplicativas

La ecuación de Cauchy: el problema fundacional

La ecuación de Cauchy es $f(x+y)=f(x)+f(y)$ para todo $x,y$ en el dominio. Fue estudiada por Augustin-Louis Cauchy en 1821 y es la ecuación funcional más importante de las olimpiadas. Aparece directa o disfrazada en una fracción enorme de los problemas de ecuaciones funcionales olímpicas.

La intuición dice que la única solución "razonable" es $f(x)=cx$ para alguna constante $c\in\mathbb{R}$. En dominios discretos ($\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) esto es exactamente correcto. Pero sobre $\mathbb{R}$, sin hipótesis de regularidad, existen soluciones "patológicas" que no son lineales — las veremos en la lección 3.4.

En todas las olimpiadas de nivel Iberoamericana/Cono Sur, cuando aparece la ecuación de Cauchy el dominio es $\mathbb{Q}$ o se añade una condición de regularidad (monotonicidad, continuidad, o acotamiento en algún intervalo). En esos casos, la respuesta es siempre $f(x)=cx$.

Solución sobre $\mathbb{Q}$: demostración completa

Sea $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ solución de $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Demostraremos que $f(x)=f(1)\cdot x$ para todo $x\in\mathbb{Q}$.

**Paso 1: $f(0)=0$.** Ponemos $x=y=0$: $f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)$, luego $f(0)=0$.

**Paso 2: $f(-x)=-f(x)$.** Ponemos $y=-x$: $f(0)=f(x)+f(-x)$, luego $0=f(x)+f(-x)$.

**Paso 3: $f(nx)=nf(x)$ para $n\in\mathbb{Z}^+$.** Por inducción: $f(nx) = f((n-1)x+x) = f((n-1)x)+f(x) = (n-1)f(x)+f(x) = nf(x)$. Para $n\in\mathbb{Z}^-$: $f(nx)=f(-|n|x)=-f(|n|x)=-|n|f(x)=nf(x)$.

**Paso 4: $f(p/q)=(p/q)f(1)$ para $p/q\in\mathbb{Q}$.** Sea $q\in\mathbb{Z}^+$. Tenemos $f(1)=f(q\cdot\frac{1}{q})=q\cdot f(\frac{1}{q})$, luego $f(\frac{1}{q})=\frac{f(1)}{q}$. Entonces $f(\frac{p}{q})=p\cdot f(\frac{1}{q})=\frac{p}{q}f(1)$.

Denotando $c=f(1)$, concluimos $f(x)=cx$ para todo $x\in\mathbb{Q}$. Verificación: $f(x+y)=c(x+y)=cx+cy=f(x)+f(y)$. Correcto para cualquier $c\in\mathbb{Q}$.

La ecuación multiplicativa $f(xy)=f(x)f(y)$

La ecuación multiplicativa $f(xy)=f(x)f(y)$ para todo $x,y\in\mathbb{R}$ es la hermana de la ecuación de Cauchy. Las primeras sustituciones dan:

$x=y=0$:** $f(0)=f(0)^2$, luego $f(0)\in\{0,1\}$.

**Si $f(0)=0$:** poner $y=0$ da $f(0)=f(x)f(0)=0$ para todo $x$ — pero eso es solo $f(0)=0$. Poner $x=0$: $f(0)=f(0)\cdot f(y)=0$ no dice que $f\equiv 0$. Sin embargo, si el dominio incluye un $x_0$ con $f(x_0)\ne 0$, poner $y=0$: $f(0)=f(x_0)f(0)$, luego $f(0)(f(x_0)-1)=0$, y como $f(x_0)\ne 0$, concluimos $f(0)=1$ — contradicción. Luego si $f(0)=0$, entonces $f\equiv 0$ (la función nula).

**Si $f(0)=1$:** ponemos $y=1$: $f(x)=f(x)f(1)$, luego $f(1)\in\{0,1\}$; como $f(1)=0$ daría $f\equiv 0$ (con $f(0)=1$, absurdo), entonces $f(1)=1$. Ponemos $y=-1$: $f(-x)=f(x)f(-1)$ para todo $x$. Con $x=1$: $f(-1)=f(1)f(-1)=f(-1)$, trivial. Con $x=-1$: $f(1)=f(-1)^2=1$, luego $f(-1)=\pm 1$.

Relación con la ecuación de Cauchy. Si $f>0$ en $(0,\infty)$ y $f(xy)=f(x)f(y)$, definimos $g(t)=\log f(e^t)$. Entonces $g(s+t)=\log f(e^{s+t})=\log f(e^s\cdot e^t)=\log(f(e^s)f(e^t))=g(s)+g(t)$. Así $g$ satisface la ecuación de Cauchy, luego $g(t)=ct$, lo que da $f(x)=x^c$ para $x>0$. Las soluciones continuas positivas de la ecuación multiplicativa son exactamente las potencias $f(x)=x^c$.

Problemas iberoamericanos con ecuación de Cauchy disfrazada

Ejemplo 1 — disfraz aditivo-multiplicativo. Halla todas las $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que $f(xf(y))=yf(x)$ para todo $x,y>0$.

Ponemos $x=y=1$: $f(f(1))=f(1)$. Sea $c=f(1)$. Ponemos $y=1$: $f(xc)=f(x)$... espera, $f(xf(1))=1\cdot f(x)=f(x)$, es decir $f(cx)=f(x)$ para todo $x$. Ponemos $x=1$: $f(f(y))=yf(1)=yc$. Aplicamos $f$: $f(f(f(y)))=f(yc)$. Pero $f(f(f(y)))=f(yc)$ y $f(yc)=f(y)$ (por la relación $f(cx)=f(x)$). Luego $f(f(y))=yc$ y $f(f(y))=yc$: consistente. Probamos que $f$ es inyectiva: si $f(a)=f(b)$, entonces $yf(a)=f(af(y))=f(bf(y))=yf(b)$ para todo $y$, luego $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$. Inyectividad + $f(cx)=f(x)$ implica $cx=x$ para todo $x$, es decir $c=1$. Luego $f(1)=1$ y $f(f(y))=y$: $f$ es involución. La ecuación original $f(xf(y))=yf(x)$ con $f$ inyectiva e involución da $f(x)=1/x$. Verificación: $f(x\cdot f(y))=f(x/y)=y/x=y\cdot(1/x)=yf(x)$. Correcto.

Ejemplo 2 — Ecuador iberoamericano. $f(x+y^2)=f(x)+2f(y)f(y)$... el patrón $f(x+t)=f(x)+h(t)$ a menudo esconde una ecuación de Cauchy en $h$. El análisis es: $f(x+y^2)-f(x)=2f(y)^2$ depende solo de $y^2$, lo que fuerza que $f$ sea par (si el dominio es $\mathbb{R}$) y que $f(y^2)$ sea una función cuadrática.

Checklist: qué hacer cuando ves una ecuación funcional

1. Anota el dominio y codominio. 2. Sustituye $x=y=0$, $y=0$, $y=x$, $y=-x$ en ese orden. 3. Busca si la ecuación puede transformarse en la ecuación de Cauchy (cambio de variable $u=\log x$, $v=e^x$, etc.). 4. Determina $f(0)$, $f(1)$, $f(-1)$ como valores ancla. 5. Intenta probar inyectividad o sobreyectividad (tema de la lección 3.3). 6. Formula tu candidato y verifícalo.

Un tip poderoso: si la ecuación funcional tiene la forma $f(A(x,y))=B(f(x),f(y))$ donde $A$ y $B$ son operaciones algebraicas, pregúntate si el cambio de variable $g=\phi\circ f\circ\psi$ transforma $A$ en suma y $B$ en suma. Si la respuesta es sí, $g$ satisface la ecuación de Cauchy y puedes aplicar los resultados de esta lección.