Inyectividad, sobreyectividad y paridad

Por qué importan la inyectividad y la sobreyectividad

En ecuaciones funcionales, probar que $f$ es inyectiva (uno a uno: $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$) es a menudo el paso que desbloquea la solución. Si $f$ es inyectiva, podemos "cancelar $f$" de ambos lados de una ecuación: de $f(A)=f(B)$ concluimos $A=B$. Eso transforma la ecuación funcional en una ecuación algebraica o en otra ecuación funcional más sencilla.

La sobreyectividad (para todo $z$ en el codominio existe $x$ tal que $f(x)=z$) es igualmente poderosa: permite sustituir $f(x)=z$ en otras instancias de la ecuación para obtener ecuaciones que involucran $z$ libremente. En particular, si $f$ es sobreyectiva sobre $\mathbb{R}$, podemos "elegir" $f(x)$ para que tome cualquier valor real.

Probar estas propiedades sin saber la forma explícita de $f$ es un arte. Las demostraciones casi siempre usan la propia ecuación funcional como herramienta: se manipula para producir $f(A)=f(B)$ (y entonces inyectividad da $A=B$) o se despeja $x$ en términos de otros valores de $f$ (demostrando sobreyectividad).

Cómo probar inyectividad desde la ecuación funcional

Método estándar. Suponer $f(a)=f(b)$ y usar la ecuación funcional para deducir $a=b$. La ecuación funcional debe permitir "mover" $a$ y $b$ a posiciones donde se puedan comparar.

Ejemplo. Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f(f(x)+y)=x+f(y)$ para todo $x,y$. Probemos que $f$ es inyectiva. Supongamos $f(a)=f(b)$. Sustituimos $x=a$, $y=0$: $f(f(a))=a+f(0)$. Sustituimos $x=b$, $y=0$: $f(f(b))=b+f(0)$. Como $f(a)=f(b)$, los lados izquierdos son iguales: $a+f(0)=b+f(0)$, luego $a=b$. $f$ es inyectiva.

Ejemplo (inyectividad por imagen de la composición). Si la ecuación funcional puede reescribirse como $f(g(x))=f(h(x))$ para funciones conocidas $g$ y $h$, la inyectividad de $f$ implica $g(x)=h(x)$ para todo $x$. Busca manipulaciones que produzcan esa forma.

Truco del "punto fijo". Si la ecuación funcional da $f(f(x))=x$ para todo $x$ (es decir, $f$ es una involución), entonces $f$ es automáticamente biyectiva (inyectiva y sobreyectiva): inyectiva porque $f(a)=f(b)\Rightarrow f(f(a))=f(f(b))\Rightarrow a=b$; sobreyectiva porque para cualquier $y$, $f(f(y))=y$, es decir $y$ es imagen de $f(y)$.

Cómo probar sobreyectividad

**Método 1: despejar $x$ en términos de valores de $f$.** Si la ecuación funcional es $f(x+f(y))=y+f(x)$, fijando $y$ y variando $x$, el lado izquierdo recorre todos los valores en $\{f(t+f(y)): t\in\mathbb{R}\}$. Si $x$ varía libremente y la expresión $x+f(y)$ también varía libremente, entonces $f$ es sobreyectiva.

Método 2: usar una imagen explícita. Si hallamos $f(0)=c$ y la ecuación permite escribir $f(x-c)=x$ para alguna expresión, entonces todo real $x$ es imagen de $x-c$.

Ejemplo completo. $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(f(x)+y)=x+f(y)$. Fijamos $x_0$ arbitrario y queremos $z$ con $f(z)=x_0$. Ponemos $y=0$ en la ecuación: $f(f(x))=x+f(0)$. Llamemos $c=f(0)$. Entonces $f(f(x))=x+c$. Para cualquier $x_0\in\mathbb{R}$, tomamos $x=x_0-c$ y obtenemos $f(f(x_0-c))=(x_0-c)+c=x_0$. Luego $x_0$ es imagen de $f(x_0-c)$. $f$ es sobreyectiva.

Paridad: funciones pares e impares

Una función es par si $f(-x)=f(x)$ para todo $x$, e impar si $f(-x)=-f(x)$. En ecuaciones funcionales con dominio simétrico (como $\mathbb{R}$), la paridad es una restricción adicional que se prueba o descarta con la sustitución $y=-x$.

Cómo determinar la paridad. De $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ponemos $y=-x$: $f(0)=f(x)+f(-x)$. Como $f(0)=0$ (demostrado antes), $f(-x)=-f(x)$: la ecuación de Cauchy fuerza que $f$ sea impar.

Ejemplo con función par. Sea $f(x^2+y^2)=f(x)^2+f(y)^2$ para todo $x,y\in\mathbb{R}$. Ponemos $y=0$: $f(x^2)=f(x)^2+f(0)^2$. Ponemos $x=y=0$: $f(0)=2f(0)^2$, luego $f(0)\in\{0,1/2\}$. Si $f(0)=0$: $f(x^2)=f(x)^2\ge 0$. Ponemos $x=-y$: $f(2x^2)=2f(x)^2=2f(x^2)$. Eso dice $f(2t)=2f(t)$ para $t\ge 0$ (con $t=x^2$). Ponemos $x=y$: $f(2x^2)=2f(x)^2$. Como $f(x^2)=f(x)^2$, $f((-x)^2)=f(-x)^2=f(x)^2=f(x^2)$: la función es par en su argumento cuadrado. Además $f(-x)^2=f(x)^2$, luego $f(-x)=\pm f(x)$. Si $f$ no cambia de signo, es par.

La paridad reduce a la mitad el trabajo: para funciones pares, basta conocer $f$ en $[0,\infty)$; para funciones impares, basta conocer $f$ en $[0,\infty)$ y extender por antisimetría.

Problema modelo: IMO 2010 P1 (versión simplificada)

Enunciado. Halla todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para todo $x,y\in\mathbb{R}$: $f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor$.

Este problema ilustra cómo la presencia de la función piso $\lfloor\cdot\rfloor$ requiere tratar enteros y no enteros por separado. Para enteros $n$: $f(ny)=f(n)\lfloor f(y)\rfloor$. Con $y=1$: $f(n)=f(n)\lfloor f(1)\rfloor$, luego o $f(n)=0$ para todo $n$, o $\lfloor f(1)\rfloor=1$.

**Caso $f(n)=0$ para todo entero $n$.** Con $x$ entero: $f(xy)=0$ para todo $x\in\mathbb{Z}$, $y\in\mathbb{R}$. Con $x=1$: $f(y)=0$ para todo $y$ — la función nula.

**Caso $\lfloor f(1)\rfloor=1$.** Entonces $f(1)\in[1,2)$. Análisis adicional con $x\in(1,2)$ muestra $\lfloor x\rfloor=1$ y la ecuación da $f(y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor$ — pero esto debe valer para todo $x\in(1,2)$, forzando $f$ constante en $(1,2)$. El análisis completo (omitido aquí) lleva a $f\equiv c$ para $c\in\{0\}\cup[1,2)$, o $f(x)=c$ constante con $c=0$ o $c=1$.

La clave en este problema fue usar la inyectividad parcial (en enteros) y la sobreyectividad sobre intervalos para restringir progresivamente las posibilidades.