Relaciones de Vieta para polinomios de grado alto

De las fórmulas cuadráticas al caso general

Para el polinomio cuadrático $x^2-sx+p$ con raíces $r_1, r_2$ sabemos que $r_1+r_2=s$ y $r_1 r_2=p$. Estas son las "fórmulas de Vieta" para grado 2. El objetivo de esta lección es generalizarlas a grado arbitrario $n$.

Sea $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ un polinomio de grado $n$ con raíces complejas $r_1, r_2, \ldots, r_n$ (contadas con multiplicidad). Por el Teorema Fundamental del Álgebra, $P(x) = a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$. Expandir este producto y comparar coeficientes con la forma estándar produce las relaciones de Vieta.

La idea clave es que expandir $\prod_{i=1}^n (x - r_i)$ genera todos los posibles productos de subconjuntos de raíces. Cada coeficiente del polinomio es (salvo signo y el factor $a_n$) la suma de todos los productos de $k$ raíces distintas — esto se captura con los polinomios simétricos elementales.

Las relaciones de Vieta: enunciado y demostración

Define los polinomios simétricos elementales de $r_1, \ldots, r_n$ como:

$e_1 = \sum_{i} r_i, \quad e_2 = \sum_{i < j} r_i r_j, \quad e_3 = \sum_{i < j < k} r_i r_j r_k, \quad \ldots \quad e_n = r_1 r_2 \cdots r_n.$

En general, $e_k = \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} r_{i_1} r_{i_2} \cdots r_{i_k}$, es decir, la suma de todos los productos de exactamente $k$ raíces distintas.

Teorema (Vieta). Si $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 = a_n \prod_{i=1}^n(x-r_i)$, entonces para $k=1,\ldots,n$:

$e_k = (-1)^k \,\dfrac{a_{n-k}}{a_n}.$

Demostración. Expandimos $\prod_{i=1}^n(x-r_i)$. Para obtener el término $x^{n-k}$, debemos elegir $(-r_i)$ en exactamente $k$ factores y $x$ en los $n-k$ restantes. El coeficiente de $x^{n-k}$ en $\prod(x-r_i)$ es pues $(-1)^k e_k$. Como $P(x) = a_n \prod(x-r_i)$, el coeficiente de $x^{n-k}$ es $a_n(-1)^k e_k = a_{n-k}$. Despejando, $e_k = (-1)^k a_{n-k}/a_n$.

Tabla de relaciones para grado 3 y 4

Grado 3: $P(x)=x^3+px^2+qx+r$ con raíces $r_1, r_2, r_3$:

$r_1+r_2+r_3 = -p, \quad r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3 = q, \quad r_1r_2r_3 = -r.$

Grado 4: $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ con raíces $r_1, r_2, r_3, r_4$:

$\sum r_i = -a, \quad \sum_{i<j} r_ir_j = b, \quad \sum_{i<j<k} r_ir_jr_k = -c, \quad r_1r_2r_3r_4 = d.$

Estas relaciones son el punto de partida para la mayoría de los problemas olímpicos de polinomios: dado el polinomio (o sus coeficientes), se puede calcular cualquier expresión simétrica de las raíces.

Aplicación: calcular expresiones simétricas de las raíces

Ejemplo. Sea $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$. Las raíces $r_1, r_2, r_3$ satisfacen $e_1=6$, $e_2=11$, $e_3=6$. Calcular $r_1^2+r_2^2+r_3^2$.

Usamos la identidad $r_1^2+r_2^2+r_3^2 = (r_1+r_2+r_3)^2 - 2(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3) = e_1^2 - 2e_2 = 36 - 22 = 14.$

Ejemplo 2. Para el mismo polinomio, calcular $r_1^3+r_2^3+r_3^3$.

Usamos la identidad de Newton: $p_3 = e_1 p_2 - e_2 p_1 + 3e_3$ donde $p_k = \sum r_i^k$. Tenemos $p_1=6$, $p_2=14$. Entonces $p_3 = 6\cdot14 - 11\cdot6 + 3\cdot6 = 84-66+18=36.$

Verificación: Las raíces son $1, 2, 3$, y $1^3+2^3+3^3=1+8+27=36$. Correcto.

Trampas frecuentes al usar Vieta

**Trampa 1: el signo en $e_1$.** Para $x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots$, la suma de raíces es $-a_{n-1}$, no $a_{n-1}$. El signo $(-1)^k$ es esencial y causa muchos errores.

Trampa 2: raíces repetidas. Las relaciones de Vieta cuentan cada raíz con su multiplicidad. Si $P(x)=(x-2)^2(x-3)$, entonces $r_1=r_2=2$, $r_3=3$, y $e_1=7$, $e_2=16$, $e_3=12$.

**Trampa 3: coeficiente líder $\ne 1$.** Para $2x^3-3x^2+x-5$ con raíces $r_1, r_2, r_3$: $r_1+r_2+r_3 = 3/2$ (no $3$). Siempre divide por $a_n$ antes de aplicar Vieta.

Trampa 4: asumir que las raíces son reales. Vieta vale para raíces complejas también. Si el polinomio tiene coeficientes reales, las raíces no reales vienen en pares conjugados, lo que puede simplificar los cálculos usando que $r\bar{r}=|r|^2$.