Polinomios simétricos elementales y el teorema fundamental

Polinomios simétricos: definición y el teorema fundamental

Un polinomio $f(r_1, r_2, \ldots, r_n)$ es simétrico si es invariante bajo cualquier permutación de las variables: $f(r_{\sigma(1)}, \ldots, r_{\sigma(n)}) = f(r_1, \ldots, r_n)$ para toda permutación $\sigma$.

Ejemplos: $r_1^2+r_2^2+r_3^2$, $r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3$, $r_1^2r_2+r_1r_2^2+\cdots$ (suma de $r_ir_j(r_i+r_j)$).

Teorema Fundamental de los Polinomios Simétricos. Todo polinomio simétrico con coeficientes en un cuerpo $\mathbb{F}$ puede escribirse de manera única como polinomio en los simétricos elementales $e_1, e_2, \ldots, e_n$ con coeficientes en $\mathbb{F}$.

Este teorema es el corazón de la teoría: dado cualquier enunciado sobre las raíces de un polinomio que involucre una expresión simétrica, esa expresión puede calcularse directamente desde los coeficientes del polinomio (que son, por Vieta, los $e_k$ salvo signo).

El algoritmo de reducción

El algoritmo para expresar $f(r_1, \ldots, r_n)$ en términos de $e_1, \ldots, e_n$ usa el orden lexicográfico en los monomios.

Algoritmo (esquema). (1) Toma el término de mayor peso lexicográfico de $f$, digamos $c\cdot r_1^{\alpha_1}r_2^{\alpha_2}\cdots r_n^{\alpha_n}$ con $\alpha_1 \ge \alpha_2 \ge \cdots \ge \alpha_n$. (2) Escribe un múltiplo apropiado del producto $e_1^{\beta_1}e_2^{\beta_2}\cdots$ que coincida con ese término. (3) Resta, y el residuo tiene menor grado. (4) Repite.

**Ejemplo: expresar $r_1^2+r_2^2+r_3^2$ en términos de $e_1, e_2, e_3$.**

El término dominante es $r_1^2$. El producto $e_1^2 = (r_1+r_2+r_3)^2 = r_1^2+r_2^2+r_3^2 + 2(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3) = p_2 + 2e_2$. Luego $p_2 = e_1^2 - 2e_2$.

**Ejemplo: expresar $r_1^2r_2+r_1^2r_3+r_2^2r_1+r_2^2r_3+r_3^2r_1+r_3^2r_2 = \sum_{i\ne j}r_i^2 r_j$ en términos de $e_k$.**

Observamos que $e_1 e_2 = (\sum r_i)(\sum_{i<j}r_ir_j) = \sum_i r_i \sum_{j<k}r_jr_k$. Al expandir, los términos $r_ir_jr_k$ con $i,j,k$ distintos aparecen tres veces (una por cada $i$ elegido), dando $3e_3$. Los términos $r_i^2 r_j$ con $i\ne j$ aparecen una vez. Luego $e_1 e_2 = \sum_{i\ne j}r_i^2r_j + 3e_3$, es decir $\sum_{i\ne j}r_i^2r_j = e_1e_2 - 3e_3$.

Identidades de Newton: sumas de potencias

Las sumas de Newton son $p_k = \sum_{i=1}^n r_i^k$. Las identidades de Newton relacionan $p_k$ con los $e_j$:

$p_k - e_1 p_{k-1} + e_2 p_{k-2} - \cdots + (-1)^{k-1} e_{k-1} p_1 + (-1)^k k e_k = 0 \quad (1 \le k \le n),$

$p_k - e_1 p_{k-1} + e_2 p_{k-2} - \cdots + (-1)^n e_n p_{k-n} = 0 \quad (k > n).$

Para $n=3$: $p_1 = e_1$; $p_2 = e_1 p_1 - 2e_2 = e_1^2-2e_2$; $p_3 = e_1 p_2 - e_2 p_1 + 3e_3$; y para $k>3$: $p_k = e_1 p_{k-1} - e_2 p_{k-2} + e_3 p_{k-3}$.

Demostración. Parte de la identidad $\prod_{i=1}^n(x-r_i) = \sum_{k=0}^n (-1)^k e_k x^{n-k}$. Se deriva formalmente respecto a $x$ tomando logaritmos: $\frac{P'(x)}{P(x)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{x-r_i} = \frac{1}{x}\sum_{i=1}^n \sum_{m=0}^\infty (r_i/x)^m = \sum_{m=0}^\infty p_{m+1}/x^{m+2}$. Multiplicando ambos lados por $P(x)$ y comparando potencias de $x$ se obtienen las identidades de Newton.

Ejemplo olímpico: problema con suma de cuartas potencias

Problema (tipo Iberoamericana). Sea $P(x) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 1$ con raíces $r_1, r_2, r_3, r_4$. Calcular $r_1^4 + r_2^4 + r_3^4 + r_4^4$.

Por Vieta: $e_1 = 2$, $e_2 = -1$, $e_3 = -2$, $e_4 = 1$.

Calculamos las sumas de Newton paso a paso:

$p_1 = e_1 = 2.$

$p_2 = e_1 p_1 - 2e_2 = 2\cdot2 - 2(-1) = 4+2 = 6.$

$p_3 = e_1 p_2 - e_2 p_1 + 3e_3 = 2\cdot6-(-1)\cdot2+3(-2) = 12+2-6 = 8.$

$p_4 = e_1 p_3 - e_2 p_2 + e_3 p_1 - 4e_4 = 2\cdot8-(-1)\cdot6+(-2)\cdot2-4\cdot1 = 16+6-4-4 = 14.$

La respuesta es $r_1^4+r_2^4+r_3^4+r_4^4 = 14$.

Aplicación avanzada: problema con condición simétrica

Problema. Las raíces $r_1, r_2, r_3$ del polinomio $x^3+px+q$ satisfacen $r_1^4+r_2^4+r_3^4 = 0$. ¿Qué relación deben cumplir $p$ y $q$?

Para $x^3+px+q$: $e_1=0$ (coef. de $x^2$ es $0$), $e_2=p$, $e_3=-q$.

Calculamos: $p_1=0$; $p_2=e_1^2-2e_2=-2p$; $p_3=e_1p_2-e_2p_1+3e_3=-3q$ (pues $e_1=0$); para $k>3$: $p_k=e_1p_{k-1}-e_2p_{k-2}+e_3p_{k-3}=-pp_{k-2}-qp_{k-3}$ (usando $e_1=0$).

$p_4 = -p\cdot p_2 - q\cdot p_1 = -p(-2p) - 0 = 2p^2.$

La condición $p_4=0$ exige $2p^2=0$, luego $p=0$. En ese caso el polinomio es $x^3+q$ con raíces $-q^{1/3}$ y dos raíces complejas, y $p_4 = 0$ se cumple trivialmente. La relación es $p=0$.