Problemas de raíces con valor absoluto y parte entera

Raíces en el disco unitario: la condición $|r_i| \le 1$

En muchos problemas olímpicos se pide demostrar que todas las raíces de un polinomio satisfacen $|r_i| \le 1$, o determinar bajo qué condiciones sobre los coeficientes ocurre esto.

Resultado clave (Cauchy). Para $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$, todas las raíces satisfacen $|r| \le 1 + \max_k |a_k|$. Esta cota es cruda pero útil como punto de partida.

Ejemplo olímpico. Sea $P(x)=x^n-x^{n-1}-\cdots-x-1$ (el polinomio "1-2" que aparece en problemas de recurrencias). Demostrar que tiene una única raíz real positiva mayor que $1$ y que esta es menor que $2$.

Para $x>1$: $P(x)=x^n-\sum_{k=0}^{n-1}x^k = x^n - \frac{x^n-1}{x-1}$. Hay un cambio de signo entre $x=1$ (donde $P(1)=1-n<0$ para $n\ge2$) y $x=2$ (donde $P(2)=2^n-2^n+1=1>0$). Por el TVI existe raíz en $(1,2)$. La unicidad sigue del hecho de que $P'(x)>0$ en $(1,\infty)$ (verificar).

Módulo de las raíces y coeficientes enteros

Teorema de la raíz racional. Para $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ con $a_i\in\mathbb{Z}$, toda raíz racional $p/q$ (en forma reducida) satisface $p \mid a_0$ y $q \mid a_n$. En particular, toda raíz entera divide al término independiente.

Corolario importante. Si $P$ es mónico con coeficientes enteros y tiene una raíz $r$ con $|r|<1$, entonces $r$ no puede ser racional (pues las raíces racionales enteras de un polinomio mónico entero son enteros, y el único entero con $|\cdot|<1$ es $0$). Si $0$ no es raíz ($a_0\ne 0$), todas las raíces racionales tienen módulo $\ge 1$.

Ejemplo (Cono Sur 2010). Sea $P(x)=x^5-5x+1$. ¿Tiene raíces racionales? Las raíces racionales candidatas son $\pm 1$. $P(1)=1-5+1=-3\ne 0$, $P(-1)=-1+5+1=5\ne 0$. Luego no tiene raíces racionales, y $P$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ (requiere verificar que tampoco factoriza en un producto de irreducibles de grado $2$ y $3$, lo cual se hace módulo $2$: $P\equiv x^5+x+1 \pmod{2}$, que también es irreducible sobre $\mathbb{F}_2$).

Parte entera de las raíces y polinomios con raíces casi enteras

Cuando las raíces de un polinomio están "cerca" de enteros, la combinación de Vieta con estimaciones de la parte entera es muy poderosa.

Ejemplo. Sea $P(x)=x^3-9x^2+24x-16$. Sabemos que $e_1=9$, $e_2=24$, $e_3=16$. Buscamos raíces enteras: candidatos $1,2,4,8,16$. $P(1)=0$: ¡raíz! Dividiendo, $P(x)=(x-1)(x^2-8x+16)=(x-1)(x-4)^2$. Raíces: $1, 4, 4$.

Problema tipo (Iberoamericana). Las raíces de $x^3+ax^2+bx+c$ con $a,b,c\in\mathbb{Z}$ son $r_1, r_2, r_3$ con $\lfloor r_i \rfloor = n_i\in\mathbb{Z}$ dados. ¿Qué restricciones impone la integridad de los coeficientes sobre los $\{r_i-n_i\}$?

Sean $\theta_i = r_i - n_i \in [0,1)$ las partes fraccionarias. Entonces $e_1 = \sum n_i + \sum \theta_i = -a$, y como $\sum n_i \in\mathbb{Z}$ y $-a\in\mathbb{Z}$, se tiene $\sum \theta_i \in\mathbb{Z}$. Como $0 \le \theta_i < 1$, se tiene $0 \le \sum\theta_i < 3$, luego $\sum\theta_i \in \{0,1,2\}$.

La condición $\sum\theta_i = 0$ implica todas las raíces enteras. Las condiciones $\sum\theta_i=1$ y $\sum\theta_i=2$ son más sutiles y se combinan con las condiciones sobre $e_2$ y $e_3$.

Estimaciones por el valor absoluto de las sumas de Newton

Una técnica poderosa: si sabemos que $p_k = \sum r_i^k$ es entero y que $|r_i| < 1$ para todas las raíces excepto quizás algunas, podemos acotar $|p_k| \le \sum|r_i|^k$ y obtener informacion sobre las raíces grandes.

Ejemplo (tipo IMO Shortlist). Sea $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ con coeficientes enteros y $|a_0|=1$. Suponer que $P$ tiene $k$ raíces reales $r_1,\ldots,r_k$ con $|r_i|>1$. Probar que el producto $|r_1\cdots r_k|$ divide a $|a_0|=1$, luego $|r_1\cdots r_k|=1$, lo que contradice $|r_i|>1$ a menos que $k=0$.

La demostración usa que $a_0 = (-1)^n e_n = (-1)^n r_1\cdots r_n$, y como los $|r_i|$ con $|r_i|\le 1$ contribuyen $\le 1$ al producto, el producto de las raíces grandes está acotado por $|a_0|=1$.

Corolario. Todo polinomio mónico con coeficientes enteros y término independiente $\pm 1$ no tiene raíces reales con $|r|>1$ si $|a_0|=1$ (excepto en el caso trivial). Este resultado, en combinación con Vieta, fuerza muchas restricciones sobre las raíces de polinomios enteros.

Problema modelo completo: combinando Vieta y parte entera

Problema (Iberoamericana 2008 P1, adaptado). Sea $P(x)=x^4-x^3-x^2-x-1$ y sean $r_1, r_2, r_3, r_4$ sus raíces. Demostrar que $\lfloor r_i^4 \rfloor = r_i^4$ no puede ocurrir para más de una raíz real simultáneamente.

Primero calculamos $p_4 = \sum r_i^4$ con Vieta: $e_1=1, e_2=-1, e_3=-1, e_4=-1$. $p_1=1$; $p_2=e_1^2-2e_2=1+2=3$; $p_3=e_1p_2-e_2p_1+3e_3=3+1-3=1$; $p_4=e_1p_3-e_2p_2+e_3p_1-4e_4=1+3-1+4=7$.

Luego $r_1^4+r_2^4+r_3^4+r_4^4=7$. $P(1)=1-1-1-1-1=-3<0$, $P(2)=16-8-4-2-1=1>0$: hay una raíz real en $(1,2)$. $P(-1)=1+1-1+1-1=1>0$, $P(0)=-1<0$: hay una raíz real en $(-1,0)$. Las otras dos raíces son complejas (o verificamos el discriminante). La raíz positiva $r\in(1,2)$ tiene $r^4\in(1,16)$ — no necesariamente entero. El análisis detallado de la irracionalidad de $r$ (usando que $P$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$) demuestra que $r^4$ no es entero, completando el argumento.