Polinomios trigonométricos y de Chebyshev

Motivación: $\cos(n\theta)$ como polinomio en $\cos\theta$

La identidad de De Moivre dice $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$. Tomando la parte real y expandiendo por el binomio, $\cos(n\theta)$ resulta ser un polinomio en $\cos\theta$ de grado $n$. Por ejemplo:

$\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$, $\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$, $\cos(4\theta) = 8\cos^4\theta - 8\cos^2\theta + 1$.

El polinomio de Chebyshev de primera especie $T_n(x)$ se define exactamente por $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$, es decir, es el polinomio de grado $n$ en $x$ tal que al sustituir $x=\cos\theta$ recuperamos $\cos(n\theta)$.

Estos polinomios son extraordinariamente útiles en olimpiadas porque sus raíces se conocen explícitamente y permiten calcular productos y sumas trigonométricas mediante Vieta.

Definición formal y recurrencia

Definición. $T_0(x)=1$, $T_1(x)=x$. Para $n\ge 1$: $T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x).$

Verificación. Poniendo $x=\cos\theta$: $T_{n+1}(\cos\theta) = 2\cos\theta\cos(n\theta)-\cos((n-1)\theta)$. Por la identidad $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ aplicada a $A=(n+1)\theta, B=(n-1)\theta$: $2\cos\theta\cos(n\theta) = \cos((n+1)\theta)+\cos((n-1)\theta)$. Luego $T_{n+1}(\cos\theta)=\cos((n+1)\theta)$. Correcto.

Los primeros son: $T_2(x)=2x^2-1$; $T_3(x)=4x^3-3x$; $T_4(x)=8x^4-8x^2+1$; $T_5(x)=16x^5-20x^3+5x$.

Coeficiente líder. El coeficiente líder de $T_n$ es $2^{n-1}$ para $n\ge 1$ (verificar por la recurrencia: si $T_n = 2^{n-1}x^n+\cdots$, entonces $2xT_n = 2^n x^{n+1}+\cdots$ y el término $T_{n-1}$ es de grado $n-1$, luego $T_{n+1}=2^n x^{n+1}+\cdots$, confirmando el patrón).

Raíces de los polinomios de Chebyshev

**Raíces de $T_n(x)$.** Las raíces son los valores $x = \cos\theta$ con $\cos(n\theta)=0$, es decir $n\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi = \frac{(2k+1)\pi}{2}$ para $k=0,1,\ldots,n-1$.

Luego las raíces de $T_n$ son $x_k = \cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)$ para $k=0,1,\ldots,n-1$.

Son $n$ raíces distintas en $(-1,1)$ (pues $\cos$ toma valores en $(-1,1)$ para argumentos en $(0,\pi)$), como corresponde a un polinomio de grado $n$ con coeficiente líder real.

Aplicación via Vieta. Como $T_n(x) = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\left(x-\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)$, la relación de Vieta $e_1 =$ (suma de raíces) $=$ (coef. de $x^{n-1}$)/$2^{n-1}$ con signo negativo. Para $T_n$, el coeficiente de $x^{n-1}$ es $0$ cuando $n$ es par o impar (verificar): para $n$ impar, $T_n(x)$ contiene solo potencias impares de $x$; para $n$ par, solo pares. En ambos casos, el coef. de $x^{n-1}$ es $0$ para $n\ge 3$. Luego $\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n} = 0$ para todo $n\ge 2$.

Identidades trigonométricas por Vieta

Producto de cosenos. De $T_n(x) = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}(x-x_k)$, poniendo $x=0$: $T_n(0) = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}(-x_k) = (-1)^n 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$.

Como $T_n(0)=\cos(n\cdot\pi/2)$ (esto sigue de $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$ con $\theta=\pi/2$, pues $\cos(\pi/2)=0$). Así $\cos(n\pi/2) = (-1)^n 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$.

**Caso $n$ impar.** $\cos(n\pi/2)=0$ (pues $n$ impar $\Rightarrow$ $n\pi/2$ es múltiplo impar de $\pi/2$). Eso coincide con el hecho de que una de las raíces es $\cos(\pi/2)=0$ para ciertos $n$... en realidad para $n$ impar el producto incluye $k=(n-1)/2$ que da $x_{(n-1)/2}=\cos(\pi/2)=0$, de modo que el producto es $0$. Consistente.

**Caso $n$ par.** $\cos(n\pi/2)=\pm 1$ (alterna entre $-1$ y $1$ según $n\equiv 0$ o $2\pmod{4}$). Poniendo $n=2m$: $\prod_{k=0}^{2m-1}\cos\frac{(2k+1)\pi}{4m} = \frac{\cos(m\pi)}{(-1)^{2m}2^{2m-1}} = \frac{(-1)^m}{2^{2m-1}}$.

**Ejemplo concreto $n=4$:** $\prod_{k=0}^{3}\cos\frac{(2k+1)\pi}{8} = \cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{5\pi}{8}\cos\frac{7\pi}{8}$. Como $\cos\frac{5\pi}{8}=-\cos\frac{3\pi}{8}$ y $\cos\frac{7\pi}{8}=-\cos\frac{\pi}{8}$, el producto es $\cos^2\frac{\pi}{8}\cos^2\frac{3\pi}{8}$. Por la fórmula con $m=2$: $\frac{(-1)^2}{2^3}=\frac{1}{8}$. Verificar: $\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8}=\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{4}\cdot 2=\frac{\sqrt{2}}{4}$... la identidad da $1/8$ para el cuadrado, es decir $\cos^2\frac{\pi}{8}\cos^2\frac{3\pi}{8}=1/8$. Correcto.

Polinomios de Chebyshev de segunda especie y aplicaciones olímpicas

Los polinomios de Chebyshev de segunda especie $U_n(x)$ se definen por $U_n(\cos\theta)\sin\theta = \sin((n+1)\theta)$, es decir $U_n(\cos\theta)=\frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}$ (para $\theta\ne 0$). Satisfacen la misma recurrencia: $U_{n+1}(x)=2xU_n(x)-U_{n-1}(x)$ con $U_0=1$, $U_1=2x$.

Sus raíces son $x_k=\cos\frac{k\pi}{n+1}$ para $k=1,\ldots,n$.

Aplicación olímpica directa. Evaluar $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}$. Sabemos que $\frac{\sin(n\theta)}{\sin\theta} = U_{n-1}(\cos\theta)$ (polinomio en $\cos\theta$ de grado $n-1$ con coeficiente líder $2^{n-1}$ y raíces $\cos\frac{k\pi}{n}$, $k=1,\ldots,n-1$). Evaluando en $\theta=0$ (con límite), $\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin(n\theta)}{\sin\theta}=n$. Por Vieta, $U_{n-1}(1)=n = 2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}(1-\cos\frac{k\pi}{n})$.

Usando $1-\cos\frac{k\pi}{n}=2\sin^2\frac{k\pi}{2n}$: $n = 2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}2\sin^2\frac{k\pi}{2n}$. De esto se deducen identidades para productos de senos como $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$, identidad clásica que aparece frecuentemente en olimpiadas.