La desigualdad de Schur: enunciado, casos y aplicaciones

Enunciado de la desigualdad de Schur

Sea $t > 0$ un número real y sean $a, b, c \ge 0$ números reales no negativos. La desigualdad de Schur afirma:

$a^t(a-b)(a-c) + b^t(b-a)(b-c) + c^t(c-a)(c-b) \ge 0.$

La igualdad se alcanza cuando $a = b = c$, o cuando exactamente dos de las variables son iguales y la tercera es $0$ (es decir, permutaciones de $(a, a, 0)$ con $a \ge 0$).

La demostración es elegante: sin pérdida de generalidad supongamos $a \ge b \ge c \ge 0$. Notamos que los factores $(a-b)$ y $(a-c)$ son no negativos, mientras que $(b-c)$ es no negativo y $(b-a)$ es no positivo. El término $a^t(a-b)(a-c) \ge 0$ y el término $c^t(c-a)(c-b) \ge 0$. El término problemático es $b^t(b-a)(b-c)$, que puede ser negativo. Agrupamos el primero y el tercero para absorberlo: $a^t(a-b)(a-c) + c^t(c-a)(c-b) \ge (a-b)(b-c)(a^t - c^t) \cdot \frac{1}{1} \cdots$ La desigualdad sigue de que $a \ge b \ge c$ implica $(a-b) \ge 0$, $(b-c) \ge 0$, $a^t \ge c^t$ (pues $t > 0$), y en particular la suma de los términos extremos domina el término medio.

Caso $t = 1$: la forma más usada en olimpiadas

Para $t = 1$, la desigualdad de Schur se convierte en:

$a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) \ge 0.$

Expandiendo y usando la notación de polinomios simétricos $e_1 = a+b+c$, $e_2 = ab+bc+ca$, $e_3 = abc$, $p_2 = a^2+b^2+c^2$, la expansión de Schur $(t=1)$ da:

$a^3 + b^3 + c^3 + abc \ge ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a).$

En términos de $e_1, e_2, e_3$: el lado izquierdo es $p_3 + e_3 = e_1^3 - 3e_1 e_2 + 3e_3 + e_3 = e_1^3 - 3e_1 e_2 + 4e_3$ y el lado derecho es $e_1 e_2 - 3e_3$. La desigualdad se convierte en:

$e_1^3 + 9e_3 \ge 4e_1 e_2.$

Esta forma es extraordinariamente útil porque muchos problemas olímpicos involucran condiciones como $e_1 = 1$ (variables que suman $1$) o $e_2 = 1$, y Schur da entonces una cota directa sobre $e_3$.

Caso $t = 2$ y caso general entero

Para $t = 2$, Schur da $a^2(a-b)(a-c) + b^2(b-a)(b-c) + c^2(c-a)(c-b) \ge 0$. Expandiendo en términos de $e_k$ (con $e_1 = a+b+c$, etc.):

$p_4 + p_3 \cdot e_1 \ge p_2 \cdot e_2 + p_1 \cdot e_3$... la fórmula es más compleja. En la práctica, el caso $t=2$ se usa para acotar expresiones que involucran $a^4+b^4+c^4$.

Para $t$ entero positivo, la desigualdad de Schur equivale a:

$\sum_{\text{cíc}} a^t(a-b)(a-c) \ge 0$

donde $\sum_{\text{cíc}}$ denota suma cíclica sobre $(a,b,c)$, $(b,c,a)$, $(c,a,b)$.

**Caso especial $t = 1/2$:** También se usa en olimpiadas. Para $t = 1/2$ y $a, b, c \ge 0$: $\sqrt{a}(a-b)(a-c) + \sqrt{b}(b-a)(b-c) + \sqrt{c}(c-a)(c-b) \ge 0$. Con la sustitución $a = x^2$, $b = y^2$, $c = z^2$ (para $x, y, z \ge 0$), esta se convierte en Schur con $t=1$ aplicada a $x, y, z$.

Cota inferior de $e_3$ mediante Schur

Una de las aplicaciones más importantes de Schur $(t=1)$ es obtener una cota inferior para $e_3$ en términos de $e_1$ y $e_2$. De $e_1^3 + 9e_3 \ge 4e_1 e_2$:

$e_3 \ge \dfrac{4e_1 e_2 - e_1^3}{9}.$

Ejemplo. Sea $a+b+c = 1$, $ab+bc+ca = q$. ¿Cuál es la cota inferior para $abc$? Schur $(t=1)$ da $1 + 9e_3 \ge 4q$, luego $e_3 \ge \dfrac{4q-1}{9}$.

Esta cota es ajustada: la igualdad se alcanza cuando dos variables son iguales. Si $a = b = t$ y $c = 1-2t$, entonces $q = t^2 + 2t(1-2t) = -3t^2+2t$ y $e_3 = t^2(1-2t)$. Verificar que $9e_3 = 9t^2(1-2t)$ y $4q-1 = 4(-3t^2+2t)-1 = -12t^2+8t-1$. Igualdad cuando $9t^2(1-2t) = -12t^2+8t-1$, es decir $9t^2-18t^3 = -12t^2+8t-1$, equivalente a $18t^3-21t^2+8t-1=0$. Una raíz es $t=1/3$ (igualdad $a=b=c=1/3$) y otra es $t=1/2$ (que da $c=0$). Esto confirma los casos de igualdad.

Reconocer cuándo usar Schur

Schur es la herramienta adecuada cuando el problema involucra tres variables $a, b, c \ge 0$ y la expresión a acotar es **simétrica de grado $3$ o mayor**, y las herramientas estándar (AM-GM, Cauchy-Schwarz, Muirhead) no son directamente aplicables.

Señales de que Schur puede funcionar:

(1) La expresión contiene un término $abc$ o $a^2b^2c^2$ que aparece con coeficiente positivo en el lado que queremos probar mayor.

(2) La desigualdad tiene variables no negativas y se satisface con igualdad tanto en $a=b=c$ como en $(a,a,0)$.

(3) Después de normalizar (e.g., $a+b+c=1$), la desigualdad involucra $e_2$ y $e_3$ de una forma que Schur puede acotar directamente.

Señal de alerta: si los casos de igualdad son $a=b=c$ y $a=1, b=c=0$ (no $a=b, c=0$), es posible que no sea Schur sino una combinación SOS o AM-GM.

Ejemplo de reconocimiento. Demostrar que para $a, b, c \ge 0$: $a^3+b^3+c^3+abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$. Los dos lados son iguales cuando $a=b=c$ y cuando $c=0$, $a=b$ (pues $2a^3 \ge 2a^3$). Esto coincide con los casos de igualdad de Schur $t=1$. La desigualdad es exactamente Schur $(t=1)$ expandido.