SOS (suma de cuadrados): cuándo y cómo usarla

La idea central del método SOS

Toda desigualdad homogénea simétrica en tres variables $a, b, c$ que sea no negativa puede (en principio) escribirse como una suma ponderada de cuadrados de diferencias:

$f(a,b,c) = X(a-b)^2 + Y(b-c)^2 + Z(c-a)^2$

donde $X, Y, Z$ son expresiones en $a, b, c$ (no necesariamente constantes). Si podemos elegir $X, Y, Z \ge 0$, la desigualdad $f \ge 0$ es inmediata.

En la práctica, para expresiones simétricas en $a, b, c$ con $a+b+c$ y $abc$ fijos, los coeficientes $X, Y, Z$ resultan ser iguales (por simetría): $X = Y = Z = S$ y entonces $f = S \cdot [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$. Si $S \ge 0$, hemos terminado.

Para expresiones cíclicas (no completamente simétricas), los coeficientes $X, Y, Z$ pueden ser distintos y es necesario verificar su no negatividad con cuidado.

SOS para desigualdades simétricas de grado 4

Consideremos una desigualdad homogénea simétrica de grado $4$ en $a, b, c \ge 0$. Toda tal expresión, una vez llevada al lado izquierdo, puede escribirse como:

$f(a,b,c) = p(a-b)^2 + q(b-c)^2 + r(c-a)^2$

donde $p, q, r$ son formas cuadráticas (homogéneas de grado $2$) en $a, b, c$. Si logramos mostrar que $p, q, r \ge 0$ para $a, b, c \ge 0$, la desigualdad está demostrada.

Procedimiento sistemático:

(1) Escribe $f(a,b,c) = f(b,c,a)$ (verificar simetría o ciclicidad).

(2) Busca la descomposición $f = p(a-b)^2 + q(b-c)^2 + r(c-a)^2$ comparando coeficientes.

(3) Verifica la positividad de $p, q, r$ en el rango pedido.

Ejemplo. Demostrar $a^4+b^4+c^4 \ge a^3b+b^3c+c^3a$ para $a,b,c \ge 0$.

La diferencia es $f = a^4+b^4+c^4-a^3b-b^3c-c^3a$. Intentamos $f = p(a-b)^2+q(b-c)^2+r(c-a)^2$ con $p, q, r$ cuadráticas en $a, b, c$. Por simetría parcial (la desigualdad es cíclica, no completamente simétrica), los coeficientes son distintos. Un cálculo muestra que $p = \tfrac{1}{2}(a^2+b^2)$, $q = \tfrac{1}{2}(b^2+c^2)$... esta forma particular no cierra perfectamente. En la práctica se usa AM-GM en parejas: $a^4+a^4+b^4+b^4 \ge 4a^2b^2 \ge 4a^3b$ (incorrecto en general). El método SOS más cuidadoso para esta desigualdad requiere pasar por Schur.

La forma SOS estándar para grado 6 simétrico

El caso más frecuente en olimpiadas es una desigualdad homogénea simétrica de grado $6$ (después de normalizar: grado $2$ en los cocientes $a/b$, etc.). La representación SOS toma la forma:

$f(a,b,c) = M_1(a-b)^2 + M_2(b-c)^2 + M_3(c-a)^2$

donde $M_i$ son formas de grado $4$ (o polinomios en $a, b, c$ de grado total $4$).

Ejemplo modelo. Demostrar que para $a, b, c \ge 0$:

$2(a^6+b^6+c^6) \ge a^4(b^2+c^2)+b^4(c^2+a^2)+c^4(a^2+b^2).$

La diferencia es $f = 2a^6+2b^6+2c^6-a^4b^2-a^4c^2-b^4c^2-b^4a^2-c^4a^2-c^4b^2$.

Intentamos $f = (a^2+b^2+c^2)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2 \cdot k$... una inspección muestra que $f = (a^4+a^2b^2+b^4)/3 \cdot (a-b)^2 + \ldots$ Lo más limpio: $f = \sum_{\text{sym}} a^2(a^2-b^2)^2 / \text{algo}$. De hecho $f = \tfrac{1}{2}\sum_{\text{cíc}}(a^2-b^2)^2(a^2+b^2-c^2+\ldots)$. Para este problema, la demostración más directa usa AM-GM por parejas: $2a^6+2b^6 \ge a^4b^2+a^2b^4+a^4b^2+a^2b^4$... sumando cíclicamente y reordenando da el resultado.

Algoritmo SOS: paso a paso

Paso 1: Homogeneizar y normalizar. Si la desigualdad no es homogénea, introduce $e_1 = a+b+c$ o $e_2 = ab+bc+ca$ como restricción y trabaja con la versión homogénea.

Paso 2: Calcular la expresión "diferencia". Sea $f(a,b,c)$ la diferencia (lado izquierdo menos lado derecho). Verifica que $f(a,a,a) = 0$ (igualdad en $a=b=c$) y $f(a,a,0) = 0$ o $f(a,a,0) \ge 0$ (igualdad posible en borde).

Paso 3: Intentar la descomposición. Escribe $f = S \cdot [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$ y determina $S$ dividiendo $f$ entre $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$. Si $S$ resulta un polinomio simétrico no negativo, hemos terminado.

**Paso 4: Si $S$ puede ser negativo.** Descompone $f = S_1(a-b)^2 + S_2(b-c)^2 + S_3(c-a)^2$ con $S_i$ distintos. Esto ocurre cuando la desigualdad es cíclica. Verifica que $S_1, S_2, S_3 \ge 0$ en el dominio.

Paso 5: Si la descomposición falla. Combina SOS con Schur: escribe $f = g + h$ donde $g$ es demostrable por SOS y $h$ es la desigualdad de Schur (o un múltiplo de ella).

Cuándo SOS puro funciona: cuando la desigualdad es simétrica completa y los casos de igualdad son solo $a=b=c$ (no en el borde $c=0$). Cuando hay igualdad en $c=0$, es necesario usar Schur para la parte del borde.

Ejemplo completo: combinando SOS y AM-GM

Problema (Cono Sur, nivel). Para $a, b, c > 0$ con $a+b+c = 3$, demostrar que $a^2+b^2+c^2 + abc \ge 4$.

Solución SOS. Sea $f = a^2+b^2+c^2+abc-4$. Con $a+b+c=3$, tenemos $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) = 9-2e_2$. La desigualdad se convierte en $9-2e_2+e_3 \ge 4$, es decir $e_3 \ge 2e_2-5$.

Por AM-GM: $e_2 \le (a+b+c)^2/3 = 3$, luego $2e_2-5 \le 1$. Y por AM-GM sobre $abc$: $e_3 = abc \le (e_1/3)^3 = 1$. Estos dos hechos juntos no son suficientes directamente.

Usamos Schur $(t=1)$ con $e_1=3$: $27 + 9e_3 \ge 12e_2$, es decir $e_3 \ge \dfrac{12e_2-27}{9} = \dfrac{4e_2-9}{3}$. Queremos $e_3 \ge 2e_2-5$. Comparando: ¿$\dfrac{4e_2-9}{3} \ge 2e_2-5$? Esto equivale a $4e_2-9 \ge 6e_2-15$, es decir $6 \ge 2e_2$, i.e., $e_2 \le 3$. Y esto sí es verdad por AM-GM. Luego $e_3 \ge \dfrac{4e_2-9}{3} \ge 2e_2-5$ para $e_2 \le 3$, lo que demuestra la desigualdad. $\square$